ETUDE UES COURBES PLANES ES COORDONNEES POLAIRES

D'ailleurs, si Ton pose oj ^ = A, on a

cos/i

I — 2 ces 2 A

— = iH- ^ A- +

La sous-asymptote est i et o — [ est positif. D'oi^i l'asymptote et la branche (B).

Nous pouvons maintenant construire la courbe OAEGB, que nous complétons ensuite par symétries. (Unité de longueur : it = 5""".)

2, Construire la courbe o =r -; — i-^; -. •

' 4 sin- 0) -h sin OJ -i- i

La plus petite période de o est it.. Si l'on change o> eu t. — oo, p ne

change pas; il y a symétrie par rapport à Oy. Nous pouvons nous bor-

ner a taire varier co de — - a H j car tt — oj variera de — a -î ce qui

nous donnera un intervalle total de longueur 27r.

Le trinôme du second degré en sin o) qui constitue le dénominateur de p n'a pas de racines. Donc, o n'est jamais infini. ( )n a

(i ) (~) = (8 sinoj H- i) coso).

dette dérivée a, dans l'intervalle | — -' > H ) ? le signe de 8 sin oj + i ,

/> lequel change pour sin oj =r — -, oj = — 8»?, p = — - (point H, y?.;,'. 27).

Tableau :

OJ — 100". — 8'. o. -4-100".

^ 4 ij ^ (1

S; oc CO I '/i

Dans ce Tableau, nous indiquons les valeurs de la sous-tangente, déduites de la formule (1).

On pourrait se contenter de ces résultats pour construire approximativement la courbe, en joignant les quatre points A, B, (^, D par une ligne admettant les tangentes indiquées (la tangente en C fait 4'^" avec ^'^) ( fto- 27). Mais, si l'on veut un tracé précis, il est indispensable

de chercher des renseignements supplémentaires. Etudions, par exemple,

la concavité de la courbe : il nous faut le signe de Or

-j + (- ) :^3(3 — 4sin-03).

(n° 2oo).

Comme le rayon vecteur est toujours positif, la courbe est concave vers le p<Me tant que Ton a

sin- M <C - •

Si ron se borne à Fintervalle

ceci revient a

En particulier, aux points A et D, la convexité est tournée vers le pôle; en B et C, c'est au contraire la concavité.

Pour Cl) ^ dz - j on a deux points d'inflexion E, F. Leurs rayons vec-

teucs sont

OEzir

= o,^i et OF

8 — v/3 ' 8 H- v"3 Les sous-tangentes correspondantes sont et

^ = o,:ii,

soit

I 4V';5 r + 4v/3 o ,3'i et o, 25.

Cherchons encore les points où la tangente est parallèle à i)a\ On doit