U H- II

lOo. Applications diveuses. — Nous allons mainlenanl indi(|iicr quelques applications courantes des théories exposées ci-dessus.

Moi;VEMENT d'un SYSTEME PESANT DANS LE VIDE. LeS SCulcS forCCS

extérieures sont les poids des différents points du système. Elles ont une i-ésultanle appliquée au centre de gravité G et égale au poids total du système. Il s'ensuit, d'après le théorème du centre de gravité (11° 93), que G décrit, une parabole exactement comme si le système était réduit à un seul point . Ceci est vrai, en particulier, pour un corps solide; mais, on a aussi la même propriété pour un système de plusieurs corps solides. Par exemple, si un obus éclatait dans le vide, en un certain point de sa trajectoire, le centre de gravité des éclats continuerait à décrire la même parabole cju'avant l'explosion (' ).

Si l'on applique maintenant le théorème du moment cinéli(|ue par rappttil au centre de gravité (11° 97), on voit que ce moment doit rester constant en grandeur et en direction. S'il est nul au début du mouvement, il le demeure; indéfiniment. C'est ainsi que s'il s'agit d'un corps solide n'ayant priniitivcmeiit aucune vitesse angulaire, la même propriété persiste (-), le corps solide garde une orientation invariable; il prend un mouvement de translation.

106. Mouvement des machines; voi.a.nts. — Boriu)ns-n()us au cas simple d'une machine constituée par un aibre^ sur lequel sont calées différentes pièces, tournant, en même temps que l'arbre, autour de l'axe A de ce dernier, avec une certaine vitesse angulaire o). La machine est soumise à l'action d'un certain couple C,„, appelé co///^/r moteur., qui tend à accélérer son mouvement et qui provient du fonctionnement du moteur (thermique, électrique, hydraulique, etc.) cjni actionne la machine. Elle est soumise, en même temps, à un auli'c couple C, appelé couple résistant et de sens contraire; au précédent.

(') Dans l'air, ceci est complètement inexact, car les forces exlériiures sont considéial)lciii(Mit nio,lifi(''cs, par suite de la résistance de l'air, (pii devient beaucoup plus grande.

(-) Car, s'il prenait une vitesse angulaire quelc<in(iue, il nuîlrail un nioaienl cincli(|uc, d'après ce que nous avons vu au n" 103.

Ce couple lésislanl se compose lui-même, en <;énéral, de deux autres couples; l'un, C„ appelé couple utile, actionne les outils dont la machine a pour but d'assurer le fonctionnement; l'autre, C^ appelé couple des résistances passives, j)rovient des frottements et résistances développés dans les différents or|;anes de la macliine; il croît en même temps que la vitesse angulaire.

Appelons 1 le moment d'inertie total de la machine par rapport à l'axe A. D'après l'équation (- ), on a

Si le couple moteur est juste égal au couple résistant, la vitesse angulaire reste constante; on dit que la machine est à Vétat de régime.

Si le couple moteur dépasse le couple résistant (ce qui arrive, par

exemple, si les outils cessent de travailler), la dérivée —j- est positive,

la vitesse augmente; on dit que la machine s^ emballe. 11 est à remarquer, d'ailleurs, que cet accroissement de vitesse a pour conséquence une augmentation du couple Cp, qui finit toujours par atteindre C„j et par réaliser de nouveau liiniformité du mouveuient. Toutefois, dans la pratique, comme les grandes vitesses ainsi atteintes pourraient être dangereuses, on évite cet emballement par l'emploi d'un régulateur (n*" 171), qui a pour effet de diminuer automatiquement le couple moteur dès que la vitesse dépasse la vitesse de régime.

Enfin, si le couple moteur est inférieur au couple résistant (ce qui arrive, par exemple, si l'on supprime l'action du moteur), la

dérivée — t- est néiiative, la vitesse diminue et la machine finit par

dt ^ ^

s'arrél cr.

107. On arrive aux même conclusions si, au lieu de l'équation (i 3). on emploi*^ l'équation des fc)rces vives. Appelons T,„, T„, \p le travail moteur, h- travail utile et le travail des résistances passives pendant un iiil<'r\alle de temps (pichoncpie ( /«i '«^- O" •'

Ou voii (pic hi ii(Mi\(ll(,' \itesse est supérieure ou inh'-rieure à lan-

NOTIONS SLR LA DYNAMIQUE DES SYSTÈMES. Ilr,

clenne, suixant que le travail moteur est supérieur ou inférieur au tra\ail résistant. Pour une \aleur donnée de l'excès de travail, laii^mentation de vitesse est daulant plus faible que I est plus grand. Il v a donc intérêt, pour accroître la régularité de la machine ('), à augmenter ce moment d'inertie. C'est ce qu'on fait en calant sur l'arbre une grosse roue appelée volant, dont le moment d'inertie est très grand, parce que la plus grande partie de la niasse, (jui se trouve dans la jante, est très éloignée de l'axe.

108. Puissance. — La puissance P d' un moteur est le travail qu' il produit par unité de temps. Lorsque la machine est en régime normal, il existe une relation très simple entre la puissance et le couple moteur. On a, en effet,

Pdf ^ G„, df = C,„ (jidt :

d'où

(i5) P=.zG„oj.

La puissance est égale au produit du couple moteur par la vitesse angulaire (-). (Bien entendu, cette dernière doitèti^e évaluée en radians. )

On !A^^e\\e puissance utile P„ le travail utile par unité de temps.

Le rendement de la machine est le rapport /■ = -^ • 11 est toujours

plus petit que I, à cause du travail absorbé par les résistances passives.

109. Pendule composé. — Le pendule composé est constitué par un corps solide pesant pouvant tourner sans frottement autour dun axe horizontal A, appelé axe de suspension .

Appelons a la distance du centre de gravité G à cet axe, 'i l'angle f[ue fait le plan vertical de Taxe avec le plan ( A, G) et enfin I le moment d'inertie du pendule par rapport à A.

(') Le volaiil a seulemenl pour rùlc d'anioindi-ir les irrégularités périodiques ou passagères de la machine. Mais, s'il se produit une diminution persislanle du couple résistant, il n'empêcliera pas la macliine de s'emballer; il ralentira seulement cet emballement. Le volant ne permet donc pas la suppression du régulateur.

(■) Ceci s'applique aussi dans le cas oi'i la vitesse est variable; un obtient alors la puissance au temps t.

CIIAPITUE Vil.

Pour ohtciiir l'cqualion du iiioux ciiicnl. on jkmiI a[»[)li(juer iiidlIlV-l'cniiiient le tlicoiènie du hioiîkmiI cinf'tique ou le théorème des forces vives. Appliquons ce dernier, ainsi que nous l'avons déjà fail pour le pendule simple (n° 81). Puisque nous supposons qu'il n'j a pas de frottements, la seule force qui travaille est le poids mg du corps solide. 11 dérive d'une fonction de force, qui est éj;ale à mga cosç. On a donc

(i6) \'^''-= •.>in ffa cosç -\- h (A = oonst.).

On retombe sur le même type déquation que pour le pendule simple. On peut même identifier complètement les deux équations ( abstraction faite des constantes d'intégration) en prenant /, dans l'équation (3i) du n" 81, de telle manière que l'on ait

lin i^a 2 ,.?•

ou

ma a

en appelant K le ravon de giration du pendule par rapport à A.

Ceci nous pioiiv(î que tout pendule composé oscille de la même manière qu un certain pendule simple^ qui est appelé son pendule synchrone et dont la longueur est donnée par la formule (17).

Si l'on appelle K' le rajon cïe giration autour de l'axe parallèle à A meni- par (1, on sait (t. I, n" 18i) que K- =:= a--)- K'-. En j)ortanl dans ( I-), il \ient

( )n voit (pie / est toujours > a. On i\\)\'ir\\{' axe d^ oscillai ion l'axe V parallèle à \, situé dans le plan (A, (J ), au delà de (j et à la distance / d(; A. Sa distance a' à G est l — a^ soit, d'aju-ès (i8),

Oy)

rt = — a

ce qui s'

'Ciit

encor»!

iio)

na = K'

On \()il que la relation qui lie a et a' est symétrique. Donc, il ]■ a réiiprocilé entre les axes de suspension et d'oscillation ; si l'on

NOTIONS SLR LA DÏNAMIQUK DES SYSTÈMES. I '2 1

suspend le pendule autour de A', la durée d'oscillalion reslc la même. C'est sur cette proj)riété que repose le pendule de Kaler.

110. Mouvements osciLLATOinES d'un r.oiips souini:. — • Imaginons un corps solide S qui peut tourner autour d'un axe fixe O^, par rapport auquel il a un moment d'inertie que nous appelons 1. Sup|)osons qu'il existe une position d'équilibre et que si l'on écarte S de l'angle 'i de cette position, il j)renne naissance un couple égal à — / cp, k désignant un coefficient constant positif. Supposons, en outre, que les résistances passives aient pour effet de développer un couple égal à — «es', a désignant encore un coefficient constant j)Ositif. Ajipliquons le théorème du moment cinétique :

Nous retombons sur le type de l'équation (66) du n" 89. Nous allons donc obtenir un nioinemenf oscillatoire amorti ou apériodique . si rt ^ o, harmonique^ si a =: o. Toutes les conclusions développées au n" 89 s'appliquent, sans modification, au cas actuel; nous n'v reviendrons pas.

LES UNITÉS EN MÉCANIQUE

111. Ukités FONnAMEKTALES ht unités nÉRivÉES. — Daiis Ics Cliapilres |)récédeiiLs, nous avons introduit différentes grandeurs, sans jamais nous préoccuper des unités qui servent à les mesurer. Cela n'a aucun inconvénient quand on se |)lace à un point de vue |)uremenl théorique. Mais, dès qu'on envisage les applications pratiques, la ipiestion des unités devient, au contraire, fort im|)()rlante.

()uand on introduit, dans une science expérimentale, une grandeur mesurable d'espèce entièrement nouvelle, c'est-à-dire ne pou\ant être définie au moyen de grandeurs déjà connues, son unité ne ])cut être choisie qu'en fixant aihil ralrement un étalon, auquel on convient de donner poui" mesure un nombre déterminé, tel que i, loo, looo, etc. Une telle grandeur s' i[[)^)v\lv grandeur fonda/ne /i talc v[ l'unité cori'espcuidante est unv unité fondanirutalr.

11 arrive, an contraire (^ et cela est beaucoup pins frc'queut \ (pi'ou mlrodnlse une grandeur' nonscHe (i' suseepllble d'être d(''finie an moy(!n de grandeurs G déjà connues et qui ont dépi leurs unités. Cette définition peut toujcuiis se mettre sons la forme d'une équation et le seul fait d'écrire cette équation lni|»ll(pie \v choix de l'unité de la nouvelle grandeur. Il suffit, ponroblenir celle unlti-, de choisir les grandeurs G de telle manière que la mesure de (j', tirée de l'équation de dé finition . ail pour valeni- i ('). Lue grandeur telle que G' e>t appelée grandeur dérivée et son unih- e>l une unité dérivée.

Il \ a S(Mi\(iil pin leurs manières possd)les de choisii' I ('•fpiallon de

(') Ceci est genéiaiemcnl possible d'iirn' iiiliiiin'' dt iiiiiiiièics ; mais ou clioisit, bien entendu, ics valeurs numériques les jilus simples pour les mesures des grandeurs (j, si l'on Mul obtenir l'('*nonc<'; le plus simple pour la définition de l'unin'de G'. Mais, tous les (■•Mon(;(''s sont cvidemmcul ('•ijuivalents.

LES UNITÉS EN MÉCANIQUE. ' -iS

(létînillon et, en outre, quand on a choisi l'une d'elles, on est encore libre d'y introduire des coefdeienls numériques arljitraires ('). Dans la pratique, on s'arrange pour que les équations de délinition t)fïrenl le maximum de simplicité. Pour ce qui concerne la Mécanique, noire choix est déjà fait; il résulte de toutes les équations écrites dans les Chapitres précédents, dont chacune peut servir d'équation de définition.

11 j a aussi une certaine part d'arbitraire dans le choix des grandeurs fondamentales. Rien n'empêcherait, par exemple, de substituer le volume à la longueur fondamentale de la Géométrie. De même, en Mécanique, suivant qu'on expose la Dynamique avant la Statique ou inversement, on est conduit à prendre comme grandeur fondamentale la masse ou la force, et, eu fait, cela a donné naissance à deux systèmes diSt-rents d'unités, qui sont encore employés tous deux. On pourrait aussi adopter l'énergie, la masse et la force devenant alors toutes deux des grandeurs dérivées (-).

Suivant la manière de choisir les unités fondamentales, ou aboutit à tel ou tel système cVunités. Nous verrons, un peu plus loin, quels sont les systèmes actuellement en usage.

11;2. Changement d'unités; dimensions; homogénéité. — Imaginons, pour fixer les idées, que l'on ait choisi trois grandeurs fondamentales (X), (Y), (Z) et soit (G) une grandeur dérivée. Tout en gardantles mêmes grandeurs fondamentales, supposons maintenant que l'on change leurs unités, les nouvelles unités étant respectivement X, Y, Z fois plus petites que les anciennes. La nouvelle unité de (G) devient, de ce fait, G fois plus petite et il est bien évident que le nombre G doit être une fonction d('lcrminée des trois nombres X,

(') C'est ainsi que, pour définir l'accéiéialion, on peut clioisir l'une ou l'autre des deu\ formules

V z=z yt, e — - y t-.

Kn outre, si l'on adoptait la seconde, on |)ourrait toul aus-.i liien y supjirinier le

fai leur - : mais on introduirait le facteur 2 dans la première. (-) I.e nombre des grandeurs fondamentales conslituant un système n'esl pas

nécessairement irréductible. On conçoit, en effet, que les progrès de la Science permettent de découvrir un jour un lien entre des e;randeurs qui seuiblaient primitivc- Jiient indépendantes, ainsi qu'il est arii\é poui- la clialcnr cl le travail mécanique.

124 CH.VPITRK Vin.

^ , Z, puisque la coimaissancr des uull('■^ fondaincMlalcs cnliaîiie ca-\\c (l<'s iinitc'S drrivées. A cliaquc i;rand('iir (h'-iixc'c (G), coi r<'s|)()iid donc une certaine fonction

qui est appelée son symbole de dhnensioJis cl qui est le rapport (Id/is lequel est réduite l'unité de cette grandeur quand les unités fondamentales sont réduites respectivement dans les rapports X. \, Z. Il j-evient an même de dire que les mesures de grandeiirs déterminées de V espèce (G). (X), (^), ou (Z), sont multipliées respectivement par les nombres G, \, ^ , Z (' ).

(') ^îous vérifierons, dans tous les cas. que G est luiijnurs ilc la forme \''^ ?/,'.', a, p, y désignanl des exposants constants. ^

On peut le démontrer a priori de la manière suivante. .Soit

une relation devant exister entre les mesures x, y, z, if, quel que soit le système d'unités. (Ce sera, par exemple, l'équation de délinitioii. ) Si les unités fondamentales deviennent \, Y, Z fois^pius petites, on a lidenlilé

(^) i;G F{x\,y\,zy.).

Dé)i\()ns-la par rapport à x :

(■') Gg\.= P^ix\,y\,zZ)\;

dérivons, de même, piir rapport à \ :

Cl) gO^= F',.{x\, yY,zZ)x.

I>i\ isons f ,'| ) par ( .'5 ) :

Si nous donnons maintenant à x. y, z. des valeurs numériques queiroiiques, le second membre prend la forme -> 2 étant une (ouslanlc. liés lors, en inléi;ranl, il vient

Ci) G: X'-tpCY, Z).

l'iii faisant les mi'ines o|)crations jxtur r et z. on voit (|ue

'7) G --:: CXM.^ZV.

('. éiant une conslanle. Comme G doit être (';;al à i, si X= V — Z = 1, on en conclut que C 1; donc,

(8) G = X"\?ZY. (;. u. F. D.

LES rXlTÉS EN MÉCANIQUE. ll'>

De même qu'en Géométrie (i. II, n" 2), toutes les formules de la Mécanique, qui sont établies en laissant les unités arbitraires, doivent être homogènes. Soit, par exemple, une équation de la forme

Si l'on réduit les unités fondamentales dans les rapports X, Y, Z, les termes A, B, C sont multipliés respectivement par leurs symboles de dimensions a, b, c. Or, si l'on veut que l'équation (2) soit indépendante du choix des unités, il faut que l'opération précédente la laisse invariante quels que soient X, \, Z. Il en résulte que les trois symboles «, />, c doivent être identiques quels que soient X, \ , Z. Autrement dit, dans nHmporte quelle formule de Mécanique^ les différents tenues doivent cuoir les mêmes symboles de dimensions.

113. Ce principe d'homogénéité rend les mêmes services en Mécanique qu'en Géométrie; sa vérification fréquente dans les calcids compliqués sert de contrôle et permet qiudquefois de déceler des erreurs. Une faute d^ homogénéité est toujours une faute grave.

Il permet aussi de calculer facilement les symboles de dimensions des différentes grandeurs dérivées. Si Ton veutj par exemple, le svmbole de la grandeur (G), il suffît de prendre une formule quelconque, où ne figurent que cette grandeur et d'autres grandeurs dont ou connaît déjà les symboles. En égalant les symboles de deux termes quelconques de cette formule, on obtient une égalité d'où l'on peut tirer le symbole cherché G ( ' ).

Pour déterminer pratiquement le symbole de dimensions d'un terme monôme quelconque

(3) \. = kui'v'Uv'\

où k désigne un certain facteur numérique et où u., e, »' représentent des grandeurs dont on connaît les symboles U, V. W, il suffit de remjdacer, au second membre, les lettres w, v, tv par ie> symbole--

(') Il n'y aurait exception que si G se trouvait en facltur, avec le même exposant, dans tous les termes de la formule, autrement dit si la formule proposée se trouvait, par hasard, être homogène par rapport à la grandeur (G).

c()ri('sj)ondants, eu négligeant le fadeur numérique /, . En eilet, dans un changemeul d'unités quelconque, les nombres (jue i'ej)résentent les Iciiies M, e, iv sont respectivement multipliés par U, \ . W; il >>"eusuit évidemmeul que A est niulli|)li('' par l /'^ '/ \\ '' ci (-(la jiislilie bien noire règle pratique.

114-. Systèmes usités. — - On utilise actuellement en France trois systèmes différents d'unités.

Système C . G. S . — l.es grandeurs fondauienlales sont : lojigueur, temps, masse (').

L'unité de longueur est le centimètre, qui est la centième partie de la longueur à o° du mètre étalon, conservé dans les caveaux du pavillon de Breteuil, à Sèvres.

Lunité de temps est la seconde, qui est la fraction ^jj^^ du jour solaire moyen.

L'unité de masse est le gramme, qui est la millième partie du kilogramme étalon, également conservé au pavillon de Breteuil.

Nous passerons en revue les unités dérivées, en uièiiie temps cpie celles des deux autres svslèmcs, au n" 1 lo.

Système M. T. S . — Il n'existe oflieiellement (jue depuis la loi du 4 avril 1919. Ses grandeurs fondamentales sont les mêmes (pu* pour le système C. (î. S.; mais, les unités ont (';té choisies de manière à les rendre plus pralifpies pour les usages industriels.

L'unité de temps n'est pas changée. T>'unité de longueur est le mètre, qui vaut 100 centimètres. Enfin, i'unilé de masse est la tonne, (}ui vaut 1000 fois le kilogramme étalon et, par conséquent, 1 000000 de grammes.

Système M. A. S. — Les grandeurs loudauieutales soiil : /a/igueiir, temps, force.

L'unité de longueur est le mètre cl l'unité de temps est toujours \sl seconde. (^)uant à l'unité de force, c'est le kilo gramme- poids ou kilogramme-force , cesl-à-dire le |)(iid> à Paris i\\\ kdui;iauimemasse. Elh; ollre théoriqTU'menI le grave inconvénient de ne pas être

f) Kn G<'-<im(''trif, <in n'utilise (iiu- la |)t(nii('Te ; <'n ( !iii('eii:il i(|iic. ii;i niilisr \:\

pniiiiiii- il hi scCntidi- : en I >\ Jiarniijlli' ri eu Sl.iliijlK-, un \r^ iilili--c' Inlllrs !(•> Irui-.