NOTIONS SUR LA DYNAMIQUIÎ DES SYSTEMES. I I I
par rapport au centre de gravité sans clianger les forces appliquées au système.
98. Forces vives. — On appelle /'o/"C6^ vive du système la somme des forces vives de tous ses points. \Jénergie cinétique en est la moitié.
On peut appliquer le théorème des forces vives séparément à tous les points du système. En ajoutant toutes les égalités ol)lenues, on ol)tient le théorème suivant :
THÉORt:ME [des forces vives). — La diffrrenticUe de l énergie cinétique d\in système est égale à la somme algébrique des travaux élémentaires de toutes les forces qui lui sont appliquées. '
Ou encore : L' accroissement algébrique cVénergie cinétique pendant un intervalle de temps quelconque est égal au travail total de toutes les forces appliquées au système pendant cet intervalle.
Supposons qu'on applique ce théorème dans le mouvement autour du centre de gravité considéré au numéro précédent. Au travail des anciennes forces, il
faut ajouter le travail des forces d'entraînement — my. Or, si ( ar, jk, z) sont les coordonnées de M par rapport aux nouveaux axes, ce travail a pour expression
S [ — m ( ç" <^.r -h r" dy -\- V' dz )] = — ;" '^m dx — r" S m dy — XI' S m dz.
Cliacune des sommes du second membre est nulle, car l»?.r, par exemple, est égal au produit par M de l'abscisse de G par rapport aux nouveaux axes, abscisse qui est nulle, puisque G est l'origine de ceux-ci. Gomme ceci a lieu quel que soit t, on a bien aussi Z m dx = o.
Finalement, on voit qu'il est encore permis de négliger les forces d'entraînement, comme cela est arrivé déjà pour le théorème du moment cinétiiiue, et l'on peut énoncer le tliéorème suivant :
TiiÉORÈiME. — On peut appliquer le théorème des forces vives dans le mouvement autour du centre de gravité, en gardant les mêmes forces que dans le mouvement absolu (').
prenant les vitesses par rapport au Iriédre mol>ile Gxyz. Mais, il revient au même de prendre les vitesses par rapport à Oxyz. Les deux systèmes de quantités de mouvement ne difTèrent, en effet, que par le système des quantités de mouvement dues aux vitesses d'entraînement, lequel équivaut à un vecteur unique d'origine G et, par conséquent, de moment nui par rapport à ce point.
(') Bien entendu, il faut prendre les nouvelles vitesses à l;i fois pour le calcul de la force vive et pour le calcul du triivail élémentaire.
1 r.l CIIAITIRE VII.
99. Fonction de foiîces. — Quand un syslènu' S dépend dua certain nombre de ]>aianiètres. le travail élémentaire des forces qui lui sont appliquées, pour un déplacement élémentaire quelconque, se présente sous la forme d'une expression linéaire par rapport aux différentielles de ces paramètres. On dit qu'fï y a une fonction de forces U, lorsciue ce travail est la différentielle totale de U. La fonction — U est appelée fonction potentielle ou simplement potentiel.
Lorsqu'il en est ainsi, le tra\ ail entre deux positions quelconques S„ et S, est égal à l'accroissement algébrique U, — Uo de la fonction des forces ou à la diminution du potentiel. 11 est indépendant de la succession des états intermédiaires du système.
Si l'on applique le théorème des forces vives, il donne lieu, comme dans le cas du point (n" 6o), à Vintêgrale des forces vives :
où T désigne l'énergie cinétique du système.
Si l'on désigne par V le potentiel, ceci peut s'écrire
\ ç.?,\,son\en\.A\)\^i'\é\' énergie potentielle Qlh\ somme constante T -f- \ est appelée énergie totale. L'égalité (6) constitue, en quelque sorte, le schéma du principe de la conser\'ation de l'énergie. Mais, en réalité, il ne se jirésente jamais dans la Nature sous cette forme simple et, pour lui garder toute sa généralité, on est obligé de faire rentrer dans le terme V toutes sortes d'énergies physiques, dont les variations sont dans un rapport constant avec le travail mécanique et dont les princi[)alcs sont les énergies calorifique et électrique.
100. Forces intérieures. — Si l'on considère deux points quelconques M et M' d'un systèuie, ils exercent l'un sur l'autre deux réactions égales et opposées (n° 54). L'ensemble de toutes ces réactions constitue ce qu'on appelle les forces intérieures du système. Elles forment évidemment un systèuie de vecteurs écpiixalent à un système nul. Il en résulte (ju Clles son! saus iniluence sur la somuie géouK'trique et sur le moiueul résulliiul de toutes les forces appliqui'-es au .système. Donc :
Tni';nni;viE. — On peut appli(juer les théorèmes du centre de gra-
NOTIONS SCn 1..V DVNAMlQLt: DES SYSTKMKS. Il3
vifé (ou de la projection des quantités de mou^'ement) et du moment cinétique, en négligeant les forces intérieures.
Ceci est très Importanl. parce que. la plupart du temps, on ne connaît pas ces forces intérieures, cpii sont des réactions.
101. On peut se demander si cette extension s'applique aussi au lliéorème des forces vives. Mais, il est facile de voir (pie cela n'est pas, en «iénéral. Prenons, par exemple, un système réduit à deux points M et P. Soit R la valeur de la réaction qu'ils exercent l'un sur l'autre, ou, d'une manière plus précise, la mesure algébrique de la réaction exercée par P sur M, la droite I\IP étant orientée de M vers P. Soient M' et P' deux positions voisines. Le travail élémentaire des forces intérieures est
R.Î\nrcosM'MP + R.PP'cosP'PM =— Rcfr (i).
en appelant dv l'accroissement de la distance des deux points. On voit <(u'il n'est nul que si les deux points demeurent à une jdistance invariable l'un de l'autre. On ne peut donc affirmer la nullité du travail des forces intérieures que dans le cas où le .système est indéformable, c'est-à-dire dans le cas d'un corps solide.
10'2 Travail des forces appliquées a un corps solide. — Nous avons vu (n" 45 I que tout mouvement d'un corps solide est, à cbaque instant, tanl^entau mouvement résultant d'une translation et d'une rotation. Soient (?<, v. w) les composantes de la vitesse de translation et {p, q, r) les composantes du vecteur instantané de rotation, suivant des axes rectangulaires quelconques. Si [x, jK, -2 1 désignent les coordonnées, par rapport à ces axes, d'un point M quelconque du corps solide, la vitesse de ce point a ])Our composantes
u ^ qz — ry, v -^ rx — /;;:, w -i- pj — qx.
Si l'on appelle (X, Y, Z) les composantes de la force appliquée en M, le travail élémentaire entre les temps t el t -^ dt est
<r/S = ^[X( u -{- qz — ry ) -T- \ (i> -i- rx — pz ) -{- Z{ ix> -r- py — (J^)] dt.
Ordonnons-le par rapport à «, v, w, p, q, r :
rfê = [«i:X-^t'lY-i-(pXZ-+-/^i:(;jZ— z\)-^qZ{z\ — x7.)-^r^{x\—y\)]dt.
Or, les sommes du crochet ne sont autre chose ([ue les coordonnées du système de vecteurs formé par les forces appliquées au corps solide et l'on reconnaît dans le crochet l'expression aiialytii|iii' (t. Il, Clia]). \ III. Exercice
(') Cf. Tome II, Cliapitre XIII, Exercice n'solu a» 1.
IIaag. — Cours, III. 8
I l j CHAPITRE VII.
propose n'^ H ) du moment relatif tle ce système et du systeMiie [p, q^ r, «, c, iv). Donc :
TiiicoRKMR. — Le travail élémentaire, pendant le temps dt, des forces appliquées à un corj>s solide est é i;^al au produit par dt du moment relatif du système de vecteurs constitué par ces forces et du système de vecteurs constitué par le vecteur instantané de rotation et le couple dont l'axe est la vitesse instantanée de translation.
Si, à l'instanl considéré, le mouvement du corps solide est tangent à une translation, le travail est, au facteur dt près, le produit scalaire de la vitesse instantanée de translation et de la somme géométrique des forces.
Si, au contraire, le mouvement est tangent à une rotation, le travail est. au facteur dt près, le produit de la vitesse angulaire par le moment résultant des forces par rapport à l'axe instantané de rotation.
Si les forces forment un système équivalent à zéro, le travail est nul. (l'est précisément ce qui a lieu pour le système des forces intérieures {cf. n" 101 ).
Coiioi.L.viRi;. — Dans un système quelconque, le travail des forces intérieures est indépendant du trièdre de référence.
En effet, d'abord, nous savons que ces forces elles-mêmes sont indépendantes du trièdre de référence ( n° 54). Dès lors, si l'on change de trièdre de référence, le nouveau travail élémentaire <t?è' est lié à l'ancien f/G, parla rela-
tioa
dîû = <r/S'-i- c?Ge,
d^e désignant le travail dû aux vitesses d'entraînement. Or, dans l'évaluation de ce dernier, tout se passe comme si le système était solide, puisque les vitesses d'entraînement sont obtenues en considérant tous les points comme solidaires du nouveau trièdre de référence (n" lo). Nous pouvons donc appli- <|uer le théorème ci-dessus et, comme les forces intérieures forment un système équivalent à zéro, le travail d^^. est nul. Donc, d^ = dQ' .
103. (^oRi's TOURNANTS. — Un proljlèinc 1res impoilanl dans la pralKjue et dont on rencontre de frt'cjuenlcs applicalions dans l'industrie est l'élude du uioun emeul d'un eorps solide (jiii ne peut (pie Loiirner autour d'un axe fixe. Prenons cet axe j)Our axe des :; et appelons 'o razinml du eoi-ps solide S par rapport à un plan fixe passant par O:;, fjui sera, j)ar exemple, le plan des c.r. i^our former l'écpiation dKïérentielle du niouveinent, nous pouvons apj)li(pier i\v\\x niétliodes :
1. Méthode du moment cinétique. — j\ous allons écriic^ que la dérivée, j)ar rapport à t, du moment cinétique par rapport à Oz est
NOTIONS SUR LA DYNAMIQUE DES SYSTEMES. Il')
('■giiie au moment résultant G des forces par rapport à O;, moment qu'on appelle habituellement le couple appliqué au corps solide.
11 s'agit d'évaluer le moment cinétique par rapport à O^. Soient M un point quelconque de S et P sa projection sur O^. Le moment cinétique de M par rapport à Oz est le moment de son vecteur quantité de mouvement par rapport à P. Or, si m désigne la masse de M, /• la dislance MF et w la vitesse angulaire, le vecteur quantité de mouvement est égal à/;î/"to; en outre, il est perpendiculaire au plan Or M. Son moment par rapport à P a pour mesure algébrique sur Oz : mi^iû.r ^ jnf'-(x). Cela est évident en valeur absolue; cela l'est aussi en signe, car le moment et le vecteur instantané de rotation doivent avoir même sens, ainsi qu'on le constate en se reportant à leurs définitions.
i>.e moment cinétique de tout le corps solide est maintenant
en appelant I le moment d'inertie de S par rapport à Or. Donc :
Théorème. — ■ Le moment cinétique d'un corps solide tournant par rapport à son axe de rotation est égalau produit de sa vitesse angulaire par son moment dHnertie par rapport à cet axe.
Si nous appliquons maintenant le théorème rappelé plus haut, nous obtenons l'équation différentielle du mouvement :
' ' dt
ou
104. II. Méthode de la force vive. — La vitesse du point M est r tu, sa force vive est m/-co-; celle du corps solide tout entier est donc
S nir- ',)' = (0- S mr- = I tu- ; d'où :
THÉouiiME. — La force vive d'un corps solide tournant est égale au produit du carré de sa vitesse angulaire par son moment d^ inertie par rapport à l'axe de rotation.
l'.valuons maintenant le travail élémentaire des forces pour une
I l6 CHAPITRE VII.
riUalion de langle (/'c. On pourrait le déduire du lliéorènie du n° 102. Nous préférons indiquer la niélhode élénienlaire suivante :
Calculons le travail de la force F appliquée au point M. AcelcHel, imaginons qu'on ait pris des axes de référence tels que M soit situé sur la partie positive de Ox. Le déplacement élémentaire de M a alors ])our composantes
^.r = o, (/y = rdo, dz = o.
Si X, ^ , Z sont les composantes de F, le travail élémentaire <st donc, d'après la formule (8) du n" GO, ^ rdo = N^^tc, en appelant N le moment de F par rapport à O^. Si l'on applicjue ce résultat à toutes les forces appliquées à S, on obtient, en additionnant,
(9) c^C = SNf/o = f/ç(lN) = Grfo,
ce qui s'énonce :
iHKORr.MK. — Le travail élémentaire des forces appliquées à nn corps solide tournant est égal au produit du couple par l'angle élémentaire de rotation (').
Il nous est maintenant facile d'appliquer le théorème des forces vives. On a
dl-\ co- \ = Cd^ =: Cm dt
ou, en faisant le calcul indiqué au premier membre,
I (I) r/(-j = ('. (jj dt .
Vax divisant jiar (.)«'//, on retrouve l'écpiation ['j).
On peut aussi appliquer le théorème des forces vives [)cn(hml 1111 intervalle de temjis fini :
{\0) - (iM- — 0J5)=/ C(/cp.
Si le couple V, ol une simple lonction de C2, d j a fonction de forces (Il ; U = i Cdo
') Cfi aiif^lc (loil. bien tnlciidu, cire ('-value en radians.
