I- j^sinç
172 CIIAPITUE X.
La poulje ne cominence à tourner qne lorsque — atteint le seconii membre. On voit donc que la puissance doit être snpiii'ienie à la résistance.
137. Glissement de la corde sur la i;orge de la poulie. — La condition d'équilibre précédente est une condition nécessaire. Mais, nous ne pouvons affirmer qu'elle est sullisanle que si nous su|)posons que le système est solide, c'esl-à-dire si nous admettons que la corde ne glisse pas sur la poulie. Cherchons à quelle condition il en est ainsi.
11 nous faut envisager séparément l'équilibre de la corde, que nous assimilons à un fil parfaitement llexible (M et inextensible. D'abord, comme nous négligeons son poids, la teu'^ion en A (Jig. 16) est V et la tension en B est Q
(n" 14-6). Occupons-nous maintenant de l'arc AB. Sur cliaque élément INllM' s'exerce la réaction de la poulie, dont nous désignons les composanle.> normale et tangenlielle par N ds et ¥ ds. Si nous supposons que le glissement est sur le point de se produire dans le sens BA, que nous prendrons comme sens positif de rotation, la force de frottement F ds est dirigée dans le sens négatif et égale à fS ds, f désignant le coefficient de frottement de la corde sur la poulie.
Cela posé, écrivons. les équations intrinsèques de l'équilibre ( n° 148)
l'éliminons F et N, en tenant con)pte de F ~- /N : (i4)
Cette équation s'intègre iminédiatcnienl et donne, eu prenant l> pour origine
d'V T 'ds ~-' V,'
(') Dans la réalilc, les cordes oui <lc la raideur: on eu licMil ipicliiuefois ionipl<- (cf. lilxercico proposé 11" 10).
APPLICATIONS DE LA STATIQUE. l'j'i
des arcs et se rappelant que la tension en ce point est Q,
(i5) T = qe^'
ou, en introduisant Vajigle 0 d'enroulement^ compté à partir du rayon Oli,
(i6) T = QeA
Enfin, si nous appelons a l'angle total d'enroulement, depuis B jusqu'à A (i), nous avons
I i7j P = Qe/='.
Telle est la puissance à partir de laquelle commence le glissement. Donc, les conclusions du numéro précédent ne sont valables que si le second membre (le (12) est inférieur à ef"-.
Pratiquement, cette condition est toujours remplie, car le rapport — est
très petit.
158. Puissance transmise par une poulie de transmission. — Dans le cas d'une poulie de transmission, la poulie est soumise à 1 action d'un couple moteur ou résistant, suivant que la poulie est menante ou menée. Déplus, la corde est ordinairement une courroie. Soit G le couple, que nous supposerons moteur, pour fixer les idées.
L'ensemble des réactions de la courroie sur la poulie forme un système équivalent à l'ensemble des tensions P et Q des deux brins, puisque les réactions opposées de la poulie sur la courroie doivent former un système nul avec ces deux tensions, en vertu des conditions universelles il'équilibre. Comme nous supposons le régime permanent, les forces P et Q et le couple G doivent former un système nul. Geci nous prouve d'abord que le brin le plus tendu doit être dirigé en sens inverse de la rotation, comme l'indique d'ailleurs le bon sens. (Sur la figure i5, si l'on suppose toujours P >■ Q, la roue doit tourner dans le sens de A vers B. On aurait des conclusions inverses si la poulie était menée, au lieu d'être menante.) En outre, on doit avoir
(18) G ==(P— Q)R= QR(>/a i) = pR(, e-/a^.
Si 0) désigne la vitesse angulaire, la puissance transmise est (11° 108)
(19) W = Cr.>=.P\io>(i — e-f^).
(') Cet angle est généralement inférieur à ait, pour les poulies employées pour la
transmission d'un mouvement. Mais, si l'on veut ohlcnir une grande valeur du
p rappoit — ) on peut enrouler la corde plusieurs fois. C'est ce que font, par exemple,
les marins, (|uand ils veulent arrêter un baleau.
174 CUAl'ITRE X.
Io9. PotLiE AroiîiLi:; ASSEMBLAGES DE POULIES. — Considérons une poulie mobile, c'esl-à-dire dont l'axe n'est plus lixe, mais supporte une certaine charge, de poids R i^fig- i~)- Négligeons le frottement
Fig. 17.
du tourillon. La poulie est soumise aux forces P et Q et aux réaclions de son axe. En prenant, comme au n° ioo, les moments par rapport à cet axe, nous voyons d'abord que P = Q. Considérons maintenant tout le système formé par la poulie et son axe; il est soumis aux forces extérieures P, Q, R. Ces forces doivent former un système nul. Donc, R doit être dirigé suivant la bissectrice des brins et égal à
' 20) R = 2P cosa.
Pour une valeur donnée de R, la tension des brins est minimum et
égale à — pour a = o, c'est-à-dire quand les brins soni parallèles, ce
(pii est généralement réalisé.
Dans la pratique, on ul dise la poulie mobile en al lâchant l'extrémité du brin B à un poini fixe cl en faisant passer le brin A sur une poulie (i\e, qui a simplemeni pour rôle de changer le sens de la Icnsion. On suspend en O le poids R à soulever et l'on lire sur le brin libre
delà corde. Une foice — esl suKisiinlc pour faire monter d'un mou-
vement uniforme le poids R. Nbii^ il faul remarquer ([ue, conformémeul au ibéorème des travaux \irtu(ds, l'exlrémité de la corde doit j)arcourir un chemin double de celui dont s'élève R. (7esl ce que l'on exprime vulgairement en disant que ce que l'on gagne en force, on le perd en cbrimii parcouru.
On peut comljiner |)lusieurs poulies mobiles, de nianière à multi[)li('r leurs eUets, comme l'indique la (igure 18. Le brin libre de
APPLICATIOXS^DE LA STATIPIE- 17^
chacune d'elles est attaché à l'axejde la précédente et le poids R est suspendu à l'axe de la dernière. La tension de la corde est divisée
Fig. .8
tR
par 2 quand on passe d'une poulie à la précédente. De sorte que la tension de la première corde est
si Ji est le nombre des poulies mobiles. Nous laissons au lecteur le soin de vérifier encore dans ce cas le théorème des travaux virtuels.
160. Ce dispositif est très avantageux; mais il est peu commode, à cause de la multiplicité des points fixes. On emploie de préférence le palan qui est constitué par deux moufles ou groupes de n poulies montées sur la même chape, soit avec des axes parallèles {fig- 19)'; soit avec le même axe (/^o. 20) (les poulies étant, bien entendu, indépendantes ). La moufle du haut est fixe ; celle du bas supporte le poids Q à soulever. Une seule corde passe sur toutes les poulies; une de ses extrémités est fixe (on l'attache ordinairement à la chape de la moufle supérieure); sur l'autre, s'exerce la puissance P. La théorie générale de la poulie fixe ou mobile s'applique toujours et nous prouve que la tension est la même tout du long de la corde. Comme tous les brins sont sensiblement parallèles, la moufle inférieure est soumise à 2/i tensions verticales dirigées de bas en haut et égales à i*. Elle est soumise, d'autre part, au poids Q. On a donc, d'après les conditions universelles,
Vérifions, à titre d'exercice, le théorème des travaux virtuels. Si Ton
allonoe le brin libre de x^ la puissance'efïectue le travail Po;. Si y est la quantité dont monte la moufle inférieure, le travail de la résis-
tance est — Qj. On doit donc avoir Vx = Qy. Or, la distance des centres de deux poulies consécutives a diminué dey; donc les deux
Fi;
brins tangents à ces deux poulies se sont raccourcis chacun de y. Le raccourcissement total de la longueur de corde enroulée est 2ny; comme il est égal à l'allongement du brin libre, on a ;r = 2ny et la
formnlc à vérifier revient à (22).
16J . Treuil. — Le treuil est un cylindre de révolution pouvant tourner autour de son axe, lequel est horizontal. Sur ce cylindre est enroulée une corde, dont une extrémité est libre et supporte le poids Q
Fig. 2,
°<im
à soulever et dont l'autre extrémité est fixée au treuil. Sur l'axe est calée une manivelle OA, à l'extrémité de laquelle est appliquée la puissance P. Négligeons les frottements des tourillons et écrivons que le moment résultant des forces P et Q par rapport à l'axe est nul. Si nous supposons, pour simplifier, que P est perpendiculaire à l'axe et à la manivelle ^(ce qui lui donne le plus grand moment), l'équation d'équilibre est, en appelant R le rayon du treuil et /la longueur de la manivelle,
(23 j P/=QR ou P = Qy.
Le lecteur vérifiera sans peine qu'on arrive au même résultat par les travaux virtuels.
Au lieu d'appliquer au treuil la force P, on peut lui appliquer un couple moteur C et l'on a
