C = QR
Ces équations conviennent non seulement à l'équilibre, mais aussi à la rotation uniforme.
Le cabestan est un treuil à axe vertical, qui possède généralement quatre manivelles égales et à angle droit. Si la même force P est appliquée à chacune d'elles, on a un couple moteur C = 4/P? qu'il suffit de porter dans l'équation (24).
Haag. — Cours, III. 12
162. Engrenage. — Soient deux roues dentées, dont les axes O et O' sont fixes et qui engrènent en A {fig- 22). Appliquons-leur les
couples C et C et cherchons la condition d'équilibre en négligeant les frottements. Le plus simple est d'employer les travaux virtuels. Si O tourne de l'angle s, O' tourne de ï— £ et en sens contraire, si, comme le suppose la figure, les roues sont tangentes extérieurement. Les travaux des deux couples sont Ce et — C'-^e. La condition d'équilibre est donc
Les couples doivent être de même sens et proportionnels aux rayons des roues, ou, ce qui revient au même, à leurs nombres de dents.
163. Effort sur une dent. — Soil F rellorl exercé par la roue O' sur la roue 0, en supposant, pour simplifier, qu'il n'y a qu'une seule paire de dents en contact. Son moment par rapport à O doit être égal et opposé au couple C. Or, on sait que la normale au point de contact M passe toujours par le point
de contact A des circonférences primitives (n°4.3). Soit a rano;le MAO'. Le bras de levier de F est, en négligeant le frottement, la distance de 0 à MA, soit OB = R sina. On a donc
(v>6 j C = FR sina ou F
R sin a
Le sens de la force F est d'ailleurs celui indiqué par la figure 22, en sup|>osant, pour fixer les idées, que O' est la roue menante et que les rotations ont lieu dans les sens indiqués par les flèches. La réaction de O sur O' est, de même,
égale a
R' sinx
En égalant à la valeur que donne ('?,6), on retrouve (9.5).
La formule ('G) nous montre que, si l'on veut une pression constante sur les dents en prise, il faut que l'angle y. reste constant pendant toute la durée du contact. Les dents en forme de développante de cercle (cf. Chapitre III, Exercice proposé n" 27) répondent seules à cette condition.
Dans la pratique, l'angle a est voisin d'un angle droit (75" pour les engrenages à développante de cercle) et l'on peut confondre son sinus avec l'unité.
C C L'effort sur les deux dents en prise est alors F — ^ = — ,.
Rappelons que tout ce qui précède s'applique tant que les roues tournent d'un mouvement uniforme.
16i. Plan inclink. — Soit un plan faisant l'angle t avec le plan liorizontal et sur lequel repose un corps solide S de poids Q. Appliquons-lui une force quelconque V située dans le plan passant par son
Fiir. 2.3.
centre de gravité et perpendiculaire aux horizontales du plan incliné et cherchons la condition d'équilibre, en supposant un coefficient de frottement uniforme /.
Les forces P et Q, se rencontrant, admettent une résultante. Nous supposerons que leur point de rencontre est assez |)rès du plan incliné pour que cette résultante passe à l'intérieur de la base de sustentation (n" 113). La seule condition d'équilibre est alors que le rapport de la composante tangenUelle à la composante normale soit plus petit que/ en valeur absolui-.
163. Pour définir avec préci-ion la foice F, clioisissons un axe OX dirigé suivant la ligne de plus grande penle doscendanle et un axe ()Y perpendiculaire au jilau et dirigé vers le bas {fig. -y.'i). Nous appellerons I' la mesure algébrique de la force donnée sur la demi-droite OÀ d'angle polaire a, cet angle pouvant être supposé comjjris entre o et -, si l'on accepte les valeurs négatives de P. Mn projetant les deux forées P et Q sur OX et sur OY, nous obicnons les compo-anles t;mgeiiliolle et normale de leiu- ré-ultante, soit
F = P eo>a -H Q sin /.
X = P sin a -i- Q eo> /.
l80 CHAPITRE X.
Posons, conformément à la inélliode générale exposée au n" 132, — = x.
Nous eu lirons la valeur du rapport — = y :
siiii — X cos J
X sina — cosa
Les valeurs de y convenanl à l'équilibre sont celles qui correspondent aux valeurs àc x comprises entre — /et -h/'. En outre, comme la composante N doit être positive, on doit avoii
. cos/
Poui' interpréter commodément ces conditions, considérons la courbe représentée par l'équation (28). C'est une hyperbole équilatère, qui a pour asymptotes les droites
( B) X = col a,
cos/ (A) y= :
D'après (29), les points situés au-dessus de (A) seuls conviennent; nous n'avons donc à nous occuper que de la branche supérieure II de notre liy[)erbole, les points de la branche inférieure correspondant à un dérolleineni enlie le plan incliné et le corps S.
L'a/c d'équilibre est la j)ortion de II comprise entre les droites D et D' parallèles à Oy el d'abscisses respectives /' d — /. Il faut connaître la position de ( B) par rapport à ces droites, c'est-à-dire comparer cota à
f = langcp = col I - — ç j
et a
-/=eot(^^ +
Nous aurons donc à tenir compte de la position de 0>. par rapport à l'an t; le [JiO;i.'
(/y Si l'on ralcule maintenant la dérivée -^ » on trouve qu'elle a le signe
dx
de cos(a -(-/). Ce signe dépen<l donc de la valeur de a |)ar rapport à - — 1,
c'est-à-dire de la position de ()}. par rapport à la verticale descendante OZ. La position relative de OZ et âr O [x dépend d'ailh-urs des valeurs relatives de /et de ç. Nous pouvons maintenant très aisément faire notre discussion.
1(1(1. I. 9 < /. — OZ est dans l'angle \< ) \s. :
1° O). est dans l'angle XOZ. — Nous avons la figure 2^, a. Ii]lle nous mont re (|iril \ a nii arc fini d'équilibre Kl'". \.c |)oint de rencontre C de M avec Oar,
qui a pour abscisse lang/, est extéiieur à cet arc. l^os ordonnées des points F et F',
sini — fcosi s\ni -^ fcosi
(3o) yi= T-- — '- ' yi = — -r-- — '
^ ' "^ /?ina — cosa -^ ysina-f-cosa
sont toutes deux négatives. L'équilibre n'est possible que pour des valeurs de y comprises entre ces deux limites. Autrement dit, la force P doit être
Fis. 24.
fi
'' le
(oc-)
dirigée vers le haut et comprise entre deux limites déterminées. Si elle dépasse, en valeur absolue, la limite supérieure — ^sQ, le point représentatif M sort de l'arc d'équilibre par F', x devient < — f, il y a glissement vers le haut. Si, au contraire, [ P | est inférieure à — ^'iQ, M sort par F, x devient >/", il y a glissement vers le bas.
2° OÀ est dans l'angle ZO\x. — On a la figure i^-ib. L'arc d'équilibre n'existe pas, H étant tout entière à droite de D. F^'équilibre est impossible quelle que soit P; il y a toujours glissement vers le bas.
3° OÀ est dans l'angle \x.O\x'. — On a la figure 24, c. L'arc d'équilibre est infini; il est tout entier au-dessus de Ox. Si P < Qj^i, il y a glissement vers le bas. Si P > Q^i, il y a équilibre. La force est alors dirigée vers le plan et l'équilibre persiste si grande que soit «a valeur; il y a arc-hoittenient (n" [Ai).
4° OX est dans l'angle jjl'OX'. — Figure >4,d. Arc d'équilibre FF'. Conclusions analogues à celles de 1°, avec cette différence que ^ doit être positif pour l'équilibre; autrement dit, la force doit être dirigée vers le plan. Si elle est trop faible, il y a glissement vers le bas; si elle est trop forte, il y a glissement vers le haut.
Ce cas comprend le cas limite où O). se confond avec OX'. On a alors a = -; l'équation (28) devient
V = sin i — X cost.
H est une droite. .Ahtis, il n'v a rien à changer aux conclusions précédentes. Ce cas pourrait d'ailleurs aussi être considéré comme cas limite de i", pour a := o.
l8-2 CHAIMTJtE X.
