INTRODUCTION

1. La Mécanique est la science qui a pour bul l'étude des phénomènes de mouvement (et, comme cas particulier, de repos) ou })hénomènes mécaniques. A ce titre, c'est donc une science purement expérimentale. '

Effectivement, ses lois actuelles doivent leur existence aux observations les plus vulgaires, interprétées par les esprits géniaux des Galilée, des Kepler, des Newton. Mais, k cause de leur simplicité et de leur grande généralité, elles ont perdu peu à peu leur caractère expérimental et ont Uni par s'imposer comme des axiomes analogues à ceux de la Géométrie.

Geci explique pourquoi la Mécanique rentre à la fois dans le domaine des Mathématiciens (sous le nom de Mécanique rationnelle) et dans celui des Physiciens (sous le nom de Mécanique appliquée. Mécanique physique. Mécanique expérimentale).

Dans les Chapitres qui vont suivre, nous nous placerons, en j)r('mier lieu, au point de vue du mathématicien. Nous donnerons des délinitions et fei'ons des conventions purement abstraites, dont nous tirercms ensuite les conséquences logiques. Puis, nous montrerons comment ces considérations se rattachent à certains phénomènes expérimentaux, qu'elles permettent d'étudier j^ratiquement, avec une approximation plus ou moins grande.

H.v.iG. — Cours, m. 1

2 INTRODUCTIOA\

On divise la Mécanique en trois parties :

La Cinémalique. qui est l'étude purement descriptive des mouvements ;

La Dynamique, qui est Tétude des conditions dans lesquelles se produisent les mouvements;

La Statique, qui est l'étude des conditions dans lesquelles il n'y a pas mouvement.

;2. Mouvement du point.— Soit un trièdre de coordonnées Oxyz, que nous appellerons le trièdre de référence ou encore le trièdre fixe. Soient maintenant un point géométrique M(^, j-, ::) et une variable indépendante f, que nous appellerons le temps. Supposons que ^, j', c soient des fonctions déterminées de t :

(I) ^=/(0, r = é'{f), z = /ut).

Nous dirons que lorsque t croît dune manière continue (généralement à partir de zéro), le point M est en mouvement par rapport au TRii-:nRE Oxyz. Les formules (0 définissent ce mouvemenl : ce sont les équations du mouvement.

La courbe décrite par M, dont les équations (i) sont les équations paramétriques, porte le nom de trajectoire.

Telles sont les définitions mathématiques. ^ oyons maintenant quelles sont les réalités expérimentales., dont elles constituent l'abstraction.

3. D'abord, le point géométrique n'existe pas dans la NaUire, mais seulement dans l'esprit des mathématiciens. En Mécanique appliquée, on le remplace par le point matériel., que l'on délinil habituellement comme étant constitué par une petite portion de matière. Il n'y a pas lieu de discuter la valeur philosophique de cette délinition. à laquelle on doit garder un caraclère purement empirique. Le [)oint matériel varie suivant les phénomènes envisagés : c'est un o])us pour le Balisticien, une planète pour l'Asti'onome, une molécule pour le IMiysicien. En règle générale, ses dimensions sont petites par i-apport aux distances qu'il parcourt.

Si nous essayons maintenant de situer un point matériel dans

I esjïace. nous coiislatons lotit de suite que cela nous est impossible, si ce point est unique dans l'Univers ('). Nous sommes obligés de considérer, en même temps, d'autres points, formant une figure indéformable et dont l'ensemble constitue le lepcre^ par rapport auquel nous pouvons maintenant situer notre premier point. Ce repère sera, par exemple, la Teri'e [)Our l'e Balisticien, la Terre ou le Soleil pour l'Astronome, l'éther pour le Physicien. C'est lui que nous schématisons par notre trièdre de référence.

A quoi correspond maintenani la variable / ? lOul le monde j)ossède, sans v avoir jamais rélléclii, la notion intuiLi^c du temps. Si l'on cherche à l'approfondir et à justilier les conventions sur lesc|uelles repose sa mesure, on est imiuédialemenl entraîné dans de longues et délicates considérations pliilosophique>, (jui ont fait couler des flots d'encre, mais qui ne sauraient trouver leur j)lace dans cet Ouvrage. Nous nous contenterons siuiplenient de dire (pie, dans la pratique, le temps se tnesure avec des horlo(>es.

Lue fois en possession des notions de point matériel, d'espace relatif et de temps, il nous est facile de passer à la notion de mouvement relatif. I.e point matériel M est dit en mouvement par rapport au repère li si sa position j)ar rapport à ce repère vai'ic; avec le temps.

II revient évidemment an même de dire que ses coordonnées, j)ar rapport au trièdre de référence que nous attachons à R, eliangt^nt avec le temj)S, sont des fonctions du leuq^s. Nous retombons sur notre définition mathématique.

Toutes les fois que l'on paile de mouvement, il est absolument indispensable de préciser le repère auquel ce mouvement est rapporté. •Sinon, on parle un langage incompréhensible (^). Dans tout problème de Mi'canicpie, qu'il s'agisse de M(''eanique rationnelle ou appliquée, la prenil('r<' chose à faire est de choisir le trièdre de i èj'èrence-

\. \ rrF.ssK KT aiicllÉkation. — Reprenons le mouvement délini par les ('-(piations ( i ).

(') |i;iiis (cili' lii lidii. riuus m: (ii:\u:is piis mibliir do Ciiic ab^^lraclion de noire propre < orps. (/csl ccl oulili, éiiiiriciiiinciit difficile à réaliser, ijiii fait que beaucoup «le gons prélemJent'coni cvoir l'espace el le mouvement ai)Solus. Ils se prennent euxmêmes pour Irif'drc de référence.

f'; l.c mou\fmenl a6.vo/« ne se «onçoiL pas davarUaf;(; (|ue l'eipaïc absolu {voir la Noie précédente), 'l'ous les mouvciiioiils iiui poili-til <:i' nom ne soiil que des rnouNetnenls relatifs parliculiers.

NOTIONS GÉNÉRALI-S DE CINÉMATIQUE. 5

On appelle vecteur vitesse du poini M au temps tXa rléiive i^eoniét tique {l. II, n" lOo) du^ vecteur OM. ou, [)lus oéncralenicnt, du vecteur l*M, P désionant un point quelconque lixe par rapport au trièdre de référence, c'est-à-dire de coordonnées constantes. Cette dérivée i;éoniétricpie est indépendante du clioix du point P. puisciue les deux

vecteurs P.\I et OM diffèrent par le vecteur constant OP et, par con- >équent, ont la même dérivée.

Au point de vue expérimental, tout le monde possède la notion vulgaire de vitesse. On parle couramment d'une vitesse de tant de kilomètres à l'heure ou de tant de mètres par seconde. Mais, cette notion n'offre un caractère précis que dans le cas particulier d'un mouvement rectiligne et uniforme. Pour l'étendre au cas d'un mouvement curviligne quelconque, on définit d'abord le vecteur vitesse

mv ,, ... ...

moyenne — - — ■, au moyen d un mouvement rectiligne et uniiorme;

puis, on passe à la limite, en faisant tendre A^ vers zéro. Cela conduit précisément à la dérivée géométricjue envisagée ci-dessus. Nous n'insistons pas davantage sur ces considérations classiques élémentaires.

Les trois composantes du vecteur vitesse \ du [xiint M suivant les axes Oxyz sont (t. II, n" lOo)

dx , dy , dz ,

' "" dt ^ dt - ' - dt

Si l'on observe cpie les projections de M sur K) x ou Oxy ont pour abscisse x ou pour abscisse et ordonnée x et j' et si Ton a|)plique les formules (' 2 ) à ces projections, on voit c[u'on peut énoncer le I liéorème sui\ant :

THKonicME. — La projection du point M sur un axe fixe ou sur un plan fixe a pour vecteur vitesse la projection sur cet axe ou sur ce plan du vecteur vitesse de M.

Si les axes sont rectangulaires, la longueur f du \ecleur vitesse est évidemment donnée par la formule

b CIIAPITHE I.

6. On appelle vecteur accélération lu dérivée géométrique du vecteur vitesse.

Ail [Miiai (le vue ex[)érinieuial, eetle notion est plus complexe que celle de la \ilesse. Dans la prali(pic. on dit qu'un mouvement s'accélère (juand sa vitesse auginenle et Ton sent \at;uenïent que c'est le taux <le ctl accroissement de vitesse cpii doit servir de mesure à laccéléralion. Or, ce qui permet d'éxaluer le taux d'un accroissement, eesl |)récisément la dérivée. On est ainsi conduit à la définition ci-dessus. On prend la dériNée géométrique, parce qu'il faut être renseigné non seulement sur la variation de grandeur, mais aussi sur la variation de direction du \ecteur vitesse.

Les composantes du vecteur accélération v sont les dérivées des eomposautes du vecteur vitesse, c'est-à-dire, d'après les formules (2),

Elles donnent lieu à un théorème analogue à celui qui a été énoncé ])our le \ecteur vitesse.

Hodo^raplie. — ]Ment)us |>ar un |)oint fixe quelcon(|ue, par

exemple [)ar Ic^ point O, un Nceleur O ni équipollent au vecteur \itesM' du |)oint M. La courbe décrite par m porte le nom (ï/iodoi;rap/i<'. Si Ton considère le mouvement de m sur cet hodograplie, son \eet( iir vitesse est la dérivée géométrique de O/??, donc du vecteur \ite.ssc de M. (^est, par e(tiisé(pient, le \ecteur accélération de M.

Le> vecteurs \ilesse el accéléiatlon d iiu point nmlule 1\I peuvent être ((lu^idérc'b eoniuie des vecteurs libres (t. II. n" 99). Toutefois, on b'iir dduiie indiiiaiiement le point M pour origine.

6. l'jtoi'iui.i Es i:t Fou\]iLi;s nu kiisks. — Thlokème. — Le vecteur r Liesse est langent à la Irojecloirc.

Il es|. CM cllii. la liimic du \ cciciir — - — , qui est poiti' |)ar la sécante MM', laquelle leiid \er.s la tangente en M.

\ liesse algrhrKjUi'. — Supposons «pie la tiai<'<loire soit orientée dans un sens (pieleoiupie. Nous appellerons vitesse algébrique la

niesuro a]g('l)riqiie c tin \ecteur vitesse sur la (lenii-lan!;enle positive (t. IF, n° 1 1 ). Si .s est Tabscisse cur\ ilii^ne de M au temps t, on a

ds dl

Cela est vrai en \aleur al)solue, parce qu'on peut écrire