TÂ7T

le premier facteur du second membre tend \ers i (t. I, n° 172) et le second tend vers |r[. Cela est vrai en signe, parce que le vecteur vitesse est dirigé dans le sens des s croissants ou décroissants, suivant

^ , . . , ds . ■ , .

que la dérivée -j- est positive ou négative.

On peut aussi remarquer que les formules (2) s'écrivent

,. dx ds

\ y = i'h, \ - = ce,

a, b^ c désignant les cosinus directeurs de la demi-tangente positive (t. Il, n" 193). Il suffit alors d'appliquer le théorème fondaniental des projections (t. Il, n° 19) pour obtenir à la fois le théorème ci-dessus et la formule ( j).

On dit qu'un mouvement cur\ iligne est ujiijorme lorsque sa vitesse algébrique est constante. En intégrant la formule (4)? il revient au même de dire que 5 est une fonction linéaire du temps ou, d une manière plus banale, que le chemin parcouru est proportionnel au temps.

— ^ 7. Vitesse aréolaire. — Prenons le moment du \ecteur \itesse l\l\

par rapport à O; (t. Il, n" 109) :

(fi)

iM\', (J ; = xy' — yx' .

Le second nuniixe peut s interpréter simplement, si l'on considère la projection I* de ]M sur xOy et l'aire A baiajée par le ra\(>ii vecteur OP. On a. en elfet (t. I, n" l7o),

dK = y (x dy — y dx

8 CIIAIMTRK I.

donc

d\ I / dy dx

^'^ 'dF'^9.V'di~^''7n

(]rlle dérivée porlo le nom de vitesse aréolaiie de J' par rappiutàO.

D'après (6), le moment de MN par rapport à Oz est égal au double de la vitesse aréolaire de la projection de M sur xO y par rapport à ().

Si 0 el 6 sont les coordonnées polaires de P, la vitesse aréolaire de (.(' j)oint est (t. T, n" 175)

dK I rfO dt i. ^ dl

Lorscpie la vitesse aréolaire est constante, l'aire balayée par le rajon vecteur OP est proportionnelle au temps; on dit que le mouvement obéit à la loi des aires sur le plan des xy et par rapport à O.

«S. Composa \Ti:s PKïRCii'ALES ol intriivskoles de L'AcciiLi'.nAïiojN'. — Dérivons les formules (5) par rapport au temps. En utilisant la première formule de Frenet (t. 11, n" 326), on peut écrire

da da ds a' 'dï ^ ~ds dl "^ T\ ^'

R désignant le rajon de courbure de la trajectoire et rt , 6 , c les cosinus directeurs de la normale principale. Dès lors, on a

d\ X dv <■* , dv , V- , , f/r i'^ ,

^•" '•'^= 1?7- =^"-^ û"' ^^'= ^^^ K ^' -== 777'" ïï^'-

Ces formules nous montrent, en vertu du tliédréme des piojccLions, que b; vei'leur accélération peut être considéré comme la somme géométrique de deux vecteurs, l'un porté |)ar la langenle à la IrajiM;toire et ayant pour mesure algébrique sur la ilrnii-langcntc |)<)sili\c

dv

dt

l'auli

Ire porte j»ar la noiinab; |)r-incij)ale v\ ayant pnur mesure algé- 1)1 Kiue

NOTIONS GENEllALES DE CINEMATIOL E. '.)

I.e premier de ces vecteurs porlc le nom d'accrlération UiDiiCiUielle; le second s'appelle accélération normale.

Leur somme «géométrique se trou\e dans le plan I.MN ; donc :

Tniioiii-ME. — Le vccleur accélération se i/o(ivc dans le plan oscillateur ci la trajectoire.

La formule ( i i) montre cpie "n, a le sii;ne de Pi; donc :

TiiÉoukui:. — Le vecteur accélération est dirigé du même côté que la trajectoire par rapport à tout plan tangent autre que le plan osculalcur. Si la trajectoire est plane., on peut dire, plus briè* vement, que le vecteur accélération est dirigé du côté de la concavité de cette ligne.

L'accélération normale est aussi appelée accélération centripète^ pour rappeler qu'elle est dirigée vers le centre de courbure.

Les deux vecteurs -'^ et ">,• sont appelés composantes principales du vecteur accétération, parce que ce sont ses composantes suivant les axes du trièdre principal (t. II, n" 324), la composante suivant la binormale étant nulle. On les appelle aussi composantes intrinsèques., parce quelles sont entièrement d('terminées par le mouvement; elles ne dépendent pas, comme *'.r, "'>. "rr d'un choix arbitraire d'axes de coordonnées (' ).

D'après la formule ( lo), l'accélération tangentielle mesuré laccroissement de la vitesse algébrique, c'est-à-dire de la grandeur de la vitesse. D'après la formule (ii), l'accélération normale est proportionnelle à la courbure de la trajectoire; elle mesure donc la vitesse de rotation de la tangente à celte courbe ou, si Ton veut, les changements d'orientation du vecteur vitesse.

TnÉoiŒME. — Pour qiC un moinement eur%iligne soit unijo/nie, il faut et il suffit que son vecteur accélération soit constamment normal éi la trajectoire.

Cela résulte manifestement de la formule (lo).

(') Cela no veut pas dire ([u'elles sont iiiclcpcmlantes du choix du Iricdic de référcme. Si l'on prend un deuxième trièdre de référence moliilc par rapport au premier, le mouvement est cliangc, donc aussi les composantes intrinsèques. Celles-ci ne demeurent invariantes (|ue si le deuxiènu' trièdre est fixe, comme le premier.

lO CHAPITRE I.

Dans ce cas, il n"v a pas accélération, au sens vulgaire du mol, |)uis(jue la vitesse reste constante, mais seulement au sens géomé- Iriquc: le vecteur accélération a pour unique efl'et de changer la direction de la vitesse et non sa grandeur.

9. l)i \GUA\r\ii:s. — Supposons connue la trajectoire et occuponsnous seulement de la manière dont elle est parcourue par le mobile ou, comme on dit, de la loi du mouvement. Cette loi est déterminée par la fonction

qui délinil ce qu'on appelle quelc|uefois la loi des espaces.

Pour obtenir une vue d'ensemble du mouvement, il est souvent commode de construire la courbe (12). en portant les temps en abscisses et les espaces en ordonnées. On obllenl ainsi le diagramme des espaces.

Cette représentation graphique esta peu près indispensable, toutes les fois qu'on a affaire à un mouvement étudié expérimenlalemeni et pour k'tpiel la fonction /( l) n"a, par conséquent, aucune existence analvlujuc.

Joules Icb fois que cela est |)0ssible, on essaie d'oi)tenir directement ce diagramme, en enregisiralil le mouvement, par un dispositif ])lus ou moins analogue à celui de l'appareil bien connu du général Morin. Sinon, on mesure, à des intervalles réguliers, l'espace parcouru et l'on en déduit autant de jjoints du diagramme. On trace ensuite une ligne régulière ( ' ) j)iissanl aussi [uèsque |)()ssibl<' de tous ces j)0inls.

Dans les graj)hiques des clieinins de fer, on joint les points cpii reprc'senienl les stations j)ar des segments de droites, ce qui revient à adrueiire qu'entre deux stations conséculives, le mouvement du

('; NiMis ciiU-ri(J<)iis |)iir la iiuil ne liiiiL pas s'asUeiniiie à i)usser riyouirijsoinciil par tous les points, ce qui donnerait lieu, pour peu que les points soient rapprochés^ a <ies sinuosités invraisenit)lal)les, pai' suite des erreurs expcrinienlales inévitables. On s'arranf;e pour laisser à [)eii près autant de points d'un côté de la rourbe que <le l'autre. Si un point est très éloigné, on admet qu'il est faux et l'on n'en lient pas compte; il v aurait lieu de recommencer la mesure correspondante, qui a drt être enlacliée d'une erreur grossière. Mais, bien <'iitendii, il faut être très prudent dans de semblables interprétations.

NOTIONS GÉNÉUALKS I)K CIMCMATIO» K- '•

train «\sl uniforme. Cela est évidenuncnl taux; mais on ne se préoccupe pas travoir une représentation exacte du mouvement, ce cpii serait d'ailleurs impossible, car ce mouvement peut dépendre d»toutes sortes de circonstances accidentelles variaJ)lcs d'un jour à Tautre.

(^uand on possède le diagramme des espaces, on peut mesurer la vitesse en chaque point, car, d'après la formule (4), c'est tout simplement la pente du diagramme. Quand on évalue cette pente, il faut bien prendre garde aux échelles adoptées sur l'axe des temps et sur l'axe des espaces. Si l'on veut par exemple la vitesse en mètres par seconde, on se déplace sur la tangente, jusqu'à ce que l'abscisse se soit augmentée d'un nombre rond n de *?econdcs, mesurées sur l'échelle des temps. On compte le nombre N de mètres parcourus, sur l'échelle des espaces. La vitesse cherchée est —•

A la simple inspection du diagramme des espaces, on reconnaît immédiatement les phases où le mouvement est accéléré et celles où le mouvement est retardé. Les j)remières correspondent, en elFcl, aux régions du diai;ramme où la concavité est tournée vers le haut (l'axe des espaces étant supposé orienté vers le haut), puisque la pente est croissante, tandis que les secondes correspondent aux régions concaves vers le bas. En un point d'inllexion, la vitesse passe par un maximum ou par un minimum.

Si l'on veut être renseigné avec plus de précision sur les variation^ de la vitesse, on construit sa courbe représentative ou diagramme des vitesses.

On V est d'ailleurs conduit directement dans toute étude cxpéiimenlale où l'on détermine un mouvement par des mesures de la vitesse. On procède, pour la construction du diagramme, comme il a été explitpié plus haut, soit par enregistrement direct, soit par des mesures échelonnées.

Le diagramme des vitesses peut évidemment être déduit du diagramme des espaces, par des mesures de pentes.

Inversement, connaissant le diagramme des vitesses, on peut remonter au diagramme des espaces. On a, en efïet,

On aura donc autant de points ([u'on voudra du diagramme des

I i. CHAPITRE I.

espaces, en mesuranl (J^ar la inélliode des trapèzes, par exemple) l'aire eomprise entre le diagramme des vitesses, les axes 0/ et Or et. une ordonnée quelconque.

Dans celle mesure, il faut encore faire très attention aux unités. Si la vitesse est r\ aluée en mètres par seconde, par exemple, le n()mbr(; (pii mesure Taire d'un trapèze est obtenu en multipliant sa hauteur, (•valuée en secondes, par la demi-somme de ses bases, évaluées en mètres par seconde. Ce nombre représente un espace parcouru (■value en mètres.

La j^enle du diagramme des vitesses donne raecélérati»»n langentielle. en \ertu de la formule (lo).

On peut enfin considérer un (liagrainme des accélérations langentielles. (jui permettrait de remonter, par une quadrature, au diagramme des vitesses, à condition de connaître la vitesse initiale. Mais, ce diagramme est beaucoup moins usité que les précédents.

10. Etude d'un moi viîmiînt en cooudonm':ks curvu-ignes. — Jl csi quelqucfuis commode, pour rètiide d'un inouveinenl, d'employer des coordonnée^ antres que les coordonnées cartésiennes, par exemple des coordonnées polaires ou semi-polaires. Soit, d'une manière généiale, un système quelconque de coordonnées p, (/, /■ lié au Irièdre de réfi-rence par les formules

F.es composantes du vecteur vitesse suivant (ixyz sont données par

et par les deux formules analogues. On peut en conclure que ce vecteur est la sonune géométrique de trois vecteuis ayant pour eomposanles respectives les premiers termes, les seeonds termes et les lioisièmes termes des trois ioimules telles que fi5). Le premier de ces trois vecteurs est proportionnel a p \ il est, en outre, porté par la tangente à la courbe le long de laquelle/) varie seul. En dérivant une seconde fois, on pourrait cliercher les composantes suivant le- mêmes directions du vecteur accélération. Mais, cela donne généialenient (l<-- calculs beaucoup plus eonipli(jués.

\p|di(pioiis ces c()nsid<''ralions au cas des coordonnées senupfda/rcs. La composaiilc sui\aiit O :; n'est pas eliangée. Occupons-nous donc seidemenl des composantes du plan (b's ,7'i'. Les loiiMulcs ( I ^ ) sont, dans ce cas,

(iGj .r = pco-0, j/^^csinO.

NOTIONS GÉNÉRALES DE CINÉMAÏIQIE. l )

Dérivons-les par rapport à t :

(17) 57'= p'cosG — pO'siu6, v' = p'>iiiO -H pO'cosO.

On en déduil, comme il a élé expliqué plus liaul, ([ue le recteur vitesse a pour composcinte p' sdcvaut l'axe 0\, d'angle polaire 0 et oh' snis-anl l'axe 0\ ^ cVangle polaire ^ -\- - ( ' )•

Ces deux composantes étant rectangulaires, on en déduit

formule qui peut aussi se déduire, en divisant par (-'It)-, de la formule (()) du n° 173 du Tome 1.

Dérivons une nouvelle fois les formules (17) :

x"= (p"— p6'2) cosO — (p6"-H -îp'!)') sinO, y = (p"— pO'2) sinO -+- (pO"-f- ap'O') cosO.

On en conclut que les composantes du vecteur accélération suivant OX et OY sont

(19) p"— pO'2 et pO"H-2p'6'.

La seconde s'écrit aussi

^ ^ p dt ' p dt'

On en conclut que lorsque le vecteur accélération passe constamment par le point fixe O (^), le mouvement obéit à la loi des aires par rapport à ce point.

f^renons maintenant les coordonnées polaires dans l'espace (t. ff, n" 40). Les formules de passage sont

X = ;• sin 0 coso, j' = /• siiiO sln ç, -C = /'cosO.

Dérivons-les :

.r'= /'sinO COS9 — /• siii 0 sinç 9'-!- /• co^O coscpO', >''= /-'sinO siii ç -f- /• sinO cos'^s'— /• cosO sincpf»', ;;'=r'oosO ■ — /-in 0 0'.

Si Ion introduit les a\e- 0\, OY, (")Z, qui ont |)our ;Hi,i;le- pidaiie- ie>|>ec-

(') Un arriverait au inéine rosullal, eu projolaiU direclemcal le \ odeur vitesse et se servant des formules (1) du n" 25'2 du Tome II. (-) Ou, plus généralement, rencontre Oc.

l4 CHAPITRE T.

lifs (0, ç), ( o. y -H - 1 7 / 6 H- -) r ) j les composantes du vecteur vitesse suivant ces axes sont ^>i) /•■, rcp'sinO, /-O'.

Nous ne oalcnlerons pas les composantes du vecteur accélération, qui sont trop compliquées.

11. iMorvKMEiNï i)'i \ COUPS SOLIDE. — Repreiioiis noire iricdre de réfc'rence Oxyz. On peut imaginer siniultanémenL plusieurs points mobiles par rapport à ce trièdre. On peut même en imaginer une infinité, formant un milieu continu à une, deux ou trois dimensions. Nous ne considérerons que le cas particulier où tous ces points restent à des dislances invariables les uns des autres ou, comme on dit, constituent un système indéformable ou corps solide.

A ce système, nous altaeherons un trièdre O'jc'y';', qui lui sera in\ariablement lié et dont il suffira de connaître la position pour connaître celle du corps solide. Cette position peut être définie par les coordonnées (^o? J^o? ^o ) du point O' et par les neuf cosinus directeurs de O' x\ O JK 5 O -s'^ lesquels peuvent être remplacés par les trois angles d'Euler (t. Il, n° 36). Si ces quantités sont des fonctions connues du temps, elles définissent le mouvement du trièdre 0'.-»'^''^' ou, ce (pii rcNicnl au même, du cor]>s solide qui lui est allaidit', pai" raj)])orl au trièdre de référence Oxyz.

Comme le nombre des |)aramèlres indépendants dont dépend le trièdre mobile est égal à six (b^s trois coordonnées de O' et les trois angles d'Euler), on voit quele jnouvcment le plus général d'un corps solide dépend de six fonctions du temps.

Quand ce mouvement est donné, on peut connaître le mouvement i\v ii"iinp(»rle quel j)oinl M entraîné par le corps solide. Pour ])réciser de quel point il s'agit, on se donnera, ])ar exeuq)l(', ses trois coordonnées {x\ r', z) par rapport à O' x' y' z' . Les formules du changement de coordonnées feront ensuite connaître ses coor<b)nnées {x^y^ z) par rap|)oi'l à Oxyz^ en fonction du lcinj)s. Aulremcut dit. elles (bmnei-onl les équations du mouvement.

\u point de vue expérimental, le corps solide n'existe pas, car tous les corps se défonncnl plus ou moins sous Faction des dillV'rents agents physiques (pii peuvent s'exercer sur eux. IMais on peut en av<Hi' d(;s aj)|»roximations, telles qu'un organe di; machine, un proj<'c-

NOTIONS GÉNÉRALES DE CINÉMATIQUE. l 'i

tile crarlillerie, la Terre, etc. En les assimilant à des solides matliématiques, on peut étudier leurs mouvements avec une approximation qui reste suffisante, tant que les erreurs que l'on peut se |)ermettre sont très supérieures aux déformations réelles subies par le corps (').

l!2. Composition des mouvements. — ■ Dans toute question de Mécanique, on peut ciioisir comme on veut le trièdre de référence. I^orsque celui-ci est imposé à l'avance, on a toujours le droit, si l'on espère en recueillir des simplifications, de prendre un trièdre de référence auxiliaire, de même qu'en Géométrie analytique il est souvent avantageux de faire des cliangements de cooi'données. Etudions donc ce qui se passe quand on rapporte successivement le moii\emcnl d'un mèuie point M à deux triédres de référence dilTérents T el T'.

Débarrassons-nous d'abord du cas où les triédres sont fixes Vun par rapport à Vautre. La seule différence entre les deux mouvements consiste dans la position de la trajectoire par rapport au trièdre de référence. A chaque instant f, les deux trajectoires se superposent dans toute la partie parcourue antérieurement par le mobile. Mais, la configuration qu'elles forment chacune avec leur trièdre de référence respectif n'est pas la même. Si, par la pensée, on amène T' à coïncider avec T, en entraînant sa trajectoire, on obtient une courbe G' qui ne coïncide plus avec la trajectoire G relative à T, mais qui est une courbe égale, puisqu'on peut l'amener de nouveau à coïncider avec G par le déplacement qui ramènerait T' dans sa position primitive.

La loi du mouvement sur la trajectoire est la même pour les deux triédres, puisque, entre deux instants quelconques, le même arc est parcouru par le mobile, quel que soit le trièdre de référence considéré. Par suite, à chaque instant, les deux vecteurs vitesse coïncident; mais ils n'ont pas la môme position par rapport aux deux tiièdr(\s. On peut en dire autant des deux vecteurs accélération.

En résumé, on peut dire qu'au point de vue cinématique des deux mouvements sont identiques. Le cdiangement d(! trièdre de référence est, au fond, un \ulgaire changenu'ut de coordonnées, comme on en fait en Géométrie; anal^tupie.

(') Il n'en est plus ainsi lorsqu'on doit tenir compte des déplacements qui sont du même ordre de grandeur que les déformations, comme dans la théorie de l'élasticité ou des mouvements vibratoires.

I(j CHAI'ITHK I.

[',]. Arrivons iiiaiiilcnani au véiilahle (•liaai;eiuenl do repère, c'està-dire au cas où les deux tiièdres sont mobiles l' un par rapport à l'autre.

"Nous couvicnrlrons dappclcr luouvenmiit absolu le inouvemeiil de M par rapport à T, inomcnienl relatif le mouvement de xM par rapport à T (>l mouvement d^ entraînement le mouvement de T' par rapport à T. (iClte lerminolo!;;ie est purement conventionnelle vX l'on pourrait 1res bien, en particulier, intervertir les rôles des deux Irièdrcs.

Xous dirons encore cpie le niou\ement absolu est la résultante ou la composition du mouvement relatif et du mouvement d'entraînemenl. ^ou^ écrirons svmbolifpiement

IMu> iiénrralenienl, on peu! inuii^iner une chaîne de trièdres T, T,. To, . . ., T,(^(, r„, dont chacun est animé d'un mouvement connu par rap{)orl au précédent. Si Ion connaît le mouvement de M par rapport à T,,. on peut évidcmnicnt connaître le mouvement de M |)ar rappoi'l à chacun des Iriédres précédents et, en parlicuher, par rapport au j)reniier T. \ous dirons encore que le mou\emenl par ra])[)oi'l à T est la lésullante ou la composition du mouvement par rapport à T„ et de ehiicun des mouvements d'entraînement intermédiaires; ce que nous éiriions svnd)oli(picmenl

( -Vi I ( -M , T ) = / M. T„ I -r- ( T„ . T„, ) -4- . . . ^ ( T.,, T , ) + ( T , , T I.

Inversement, étant donu(' h' moiixemcnl de M j)ar i"a])port à 1, on peut le décomposer en plusieurs autres, par l'introduction d'un ou plusieurs trièdres intermédiaires, eonsliliiant avec T uik- chaîne analo<iue à la précédmile. On lait, en i;énéral, uiir Iclh' décomposition dans le but de remplacer un mouvement complicpK- par une somme ( symbolique) de mou\emenls simples. C'est ainsi que les mouvements des planètes par rappoi't à la Terre, qui sont des mouvements très complifpi(''>, pciiNciil éti'c (•oiisid(''r<''s coihiik' nv^dt^int de leurs mou- V(;meiils par iapj)i)il au Soleil et du m()U\(!meiit du Soled par rapport à la Terre, lescpu^is sont l()us très simples.

I i. i\v> (h'Iinilions élaiil posées, re\enonsau cas de deux trièdres T (M 'J" .

NOnO.NS GÉMiRALES DE ClAÉMATryL IC. I"

Lv |)()inl M décrit une trajectoire absolue (1 |)ar nippoil à T cl une trajectoire relati^^c C par rapport à T'. Ces trajectoires ne coïncident plus, comme au n" 1*2 et en voici la raison. Considérons les points l' et Q, l'especlivement solidaires de T' et de T, qui coïncident au temps t avec IM. (Nous les appellerons les points coïncidants de T' et de T au temps t.) Dans le cas du n" 12, ils continuaient, par la suite, à être confondus, ce qui entraînait la coïncidence des trajectoires. Dans le cas actuel, au contraire, ils se séparent immédiatement après le temps f, de sorte qu'à chaque instant les deux trajectoires n'ont en commun que la position aelueUe du mobile. Ce sont deux courbes qui, non seulement ne coïncident pas, mais qui ont généralement des formes différentes et ne sont pas superposables.

io. Composition ues Vitesses. — Nous appellerons vitesse absolue la vitesse de M par rapport à T, vitesse relative la vitesse de M par rapport à T' et vitesse d^efitratnement la vitesse du point coïncidant P de T' par rapport à S. Nous allons chercher quelle relation existe entre ces trois vecteurs, et c'est en cela que consiste le problème de la composition des vitesses. En Mathématiques élémentaires, on enseigne une solution géométrique intuitive, que nous supposerons connue du lecteur. Nous nous contenterons de donner la solution analytique suivante.

Soient (.r, y, z) les coordonnées absolues (c'est-à-dire par rapport à T) de M au temps t et (a?', y' y z') ses coordonnées relatives (c'està-dire par rapport à T') au même instant. Les premières définissent le mou\ ement absolu et les secondes le mouvement relatif. On passe des unes aux autres par les formules bien connues du changement de coordonnées, dont les coefficients sont des fonctions du temps entièrement déterminées par la connaissance du mouvement d'entraînement. Dans le cas particulier où ce mouvement n'existe pas, c'està-dire lorsque T' est fixe par rapport à T, ces coefficients sont constants.

Il nous est inutile d'écrire explicitement ces fornuiles, qui donnent x., y, z en fonction de x\ y' ^ z' ; écrivons simplement sous la forme symbolique

Considérons maintenant x\ y\ z' comme des fonctions du temps IIaag. — Cours, III. -'

dx

~di

! of dx' ~ \ dx' dl

à.f dy' "" dy' dl

df dz' X df ' dz' dl ' dl

iS CHAPITRE T.

cl dérivous tolalemenl j)ar rapport à /; nous avons (l. J, 11° 130)

et les deux formules analogues.

Les premiers membres sont les com|)Osanles de la vitesse absolue suivant les axes Oxyz. Essayons maintenant de retrouver, dans les seconds membres, les composantes des vitesses relative et d'entraînement. Pour retrouver la vitesse relative, il nous suffit de supposer que T' est fixe par rapport à T, puisque la vitesse absolue se réduit alors à la \itesse relative, de sorte que les composantes de cette dernière sont ce que deviennent les seconds membres de (25) dans

l'hypothèse envisagée. Or, les coefficients des formules (24) sont

1 1 1 . • , • ii àf dg dh

maintenant constants, de sorte que les dérivées partielles -— > — - > — -

1 '^ dt Ot dt

sont nulles. Les autres dérivées restent, d'autre part, les mêmes, que les coefficients dépendent ou non du temps. Il suit de là que les composantes de la vitesse relative (suivant les axes Oxyz^ bien entendu) sont les parenthèses des formules (25) et analogues.

Pour mettre en évidence la vitesse d'entraînement, nous supposons maintenant que M est immobile |>ar rapport à T'; autrement dit, nous lui substituons son point coïncidant P. La vitesse absolue se réduit à la vitesse d'entraînement, de sorte que les comj)osantes de cette dernière sont ce que deviennetil les seconds membres de (25). Or, les (-oordonnées relatives x\ j\ z sont actuellement constantes; leurs dérivées sont nulles et le second membre de (25) se réduit à son dernier terme.

En définitive, les seconds membres des formules (aS) et analogues se décomposent en deux groupes, constitués respectivement par les composantes de la vitesse relative et de la \itesse denlraînemcnt. D'après le théorème des projections, nous ;i\ons donc le théorème suivant :

Ini'oiuvvii;. — La vitesse absolue est la somme itéomrtriqiie de la vitesse relative et de la vitesse d^ entraînement .

(^ette proposition j)eut s'étendi-e sans diflicnlté au cas d'uni.' chaîne (pielconqne de trièdrcs (n" 13). l'^n rap[)li(piant au ])oint coïncidant de ( h;if|iic liièdrc par rapj)orl aux deux trièfbcs précédents et addilioiiii;int tontes les égalités géomèliifpics .linsi (tbteniies. on al)0utit

à cette eonclusiou que la vitesse résiilfante est la somme géo)nétvique des vitesses composantes.

16. Composition hes accélérations. — Les accéléi'alions al)Solue, relative et d'entrainement se définissent comme les vitesses correspondantes.

Proposons-nous encoi-ede voir s'il existe une relation entre ces trois vecteurs. A cet efTet, dérivons (io); nous obtenons une formule que nous mettons sous la forme

en posant

Ox &r dt

Si l'on raisonne comme au numéro piécédent, on constate que A, B, G sont les composantes de l'accélération relative (') et que A", B", G" sont les composantes de l'accélération d'entraînemeot. Mais, il reste les termes A'. B', C, qui s'évanouissent dans chacune des deux, hypothèses envisagées successivement. On conclut de là que l'accélération absolue n'est pas égale à la somme géométrique des accélérations relative et d'entraînement; il faut compléter cette somme par un troisième vecteur, qui porte le nom d'accélération complémentaire o>Vi de Coriolis et dont nous ne pouvons donner ici linterprétatiou cinématique.

11 y a touU^tois un cas {-) où les accélérations se composent comme les \it€sses ; c'est celui où le mouvement d'entraînement est une translation (n" 3i). On peut aloi^ prendre les deux trièdres ])arallèles et, si Xo, yo, ^0 sont les coordonnées absolues de l'origine de T', les formules (24) se réduisent à

(3o) .r = TQ-hx', y = j-Q-i-y, j: = z,)-{- z'.

En les dérivant une ou deux fois, on obtient la composition des vitesses ou la composition des accélérations.

(') Les expressions de A, B, C seraient phis compliquées que ne l'indique (27) si les fonctions/, g, h étaient des fonctions quelconques de x\ y', z' . Mais, il ne faut pas oublier que ce sont des fonctions linéaires. Cette simplification est d'ailleurs sans importance au point de vue de notre raisonnement.

(•) On démontre qu'il n'y en a pas d'autre.

Nous allons étudier, dans ce Chapitre, quelques mousemcnls particuliers (lu point, qui se rencontrent fréquemment en Mécanique appliqué<\

17. MoUVEMKM' UliCTILlGIVE KT UJS'IFOKME. — CliercllonS le UIOUXC-

ment le j)lus général, dont le vecteur vitesse soit constant, en grandeur et en direction. Soient (a, b, c) ses composantes. Ce sont (n" A) les déri\ées de x, )^, c par rapport au temps. En intégrant, nous en déduisons

(n x=at-{-a', y = /)f-^b', 3 = c^ -h c',

a'i 6', c' désignant trois constantes. Telles sont les équations du mouvement demandé.

La trajectoire est une droite (t. il. n° i)o), de paramétres directeurs a. 0, c et passant ])ar le point («', b', c'), qui est la position initiale du mobile, c'est-à-dire sa position au temps zéro.

Le chemin j)arcouru entre le temps o et le temps t est

il est juoportionnel au temps.

Le vecteur accélération a ses trois composantes nulles et réciproquement, si ce vecteur est nul, les trois conij)Osantes du vecteur vitesse sont constantes, le mou\cuicnt c.si rectiligne et uniforme.

IH. Moi \ i: mknt i;MJOK\ir,Mi;>T vauik. — Clieichons maintenant le mouNeiiieni le plus général, doul le vecteur accélération soit constant en l'ra/idri/r d (ui direction. Soient {-.^a, ib, ic) ses eom-

MOUVEMENTS PONCTUELS REAUBQUABLES. Il

posantes. Par intégration, on en (lédiiil les composantes du vecteur vitesse :

(3) x' = lat -\- a' , y =^ xbt -h h' , z' = ■?ct ^ c' ,

«', b\ c désignant trois constantes, qui sont les composantes du vecteur vitesse initiale. Sur ces équations, on reconnaît que V hodoaraphe est luie droite^ parcourue cV un mouvement uniforme; ce (juon aurait pu prévoir, en vertu du numéro précédent et en se souvenant que le vecteur accélération est le vecteur vitesse de Ihodographe.

Intégrons maintenant les équations (3) :

(4) X = af^ -^ a t -i- a' , y = bt-^^ b' t + b", :■ — ct--T- c' f -i- c",

a\ b\ c" désignant trois nouvelles constantes, qui sont les coordonnées de la position initiale du mobile.

Sur ces équations, on reconnaît que la trajecloire est une parabole, dont l'axe a pour paramétres directeurs {a, b, c) et, par conséquent, est parallèle au vecteur accélération.

L'équation de son plan s'uhlient en éliminant t- et t entre les trois équations (/,)

(5) Il ^ — a" a a' Il = o.

ht passage au sommet a lieu lorsque la vitesse est perpendiculaire à l'axe, donc au vecteur accélération, ce qui donne la condition

(6) ai^iat -\- a ) -^ b{ibt -^ b' ) -^ c[ ict -\- c \ = o .

De celte équation du premier degré, on tire t\ en portant dans (4) on aurait les coordonnées du sonuiiet.

On peut remarquer que le premier membre de (6; est le quart de la dérivée de x'--k-y--^ z'-, c'est-à-dire de v- par rapport à t. Donc, le sommet de la parabole est le point où la vitesse est minimum.

19. EQuAT^o^'s canoniques nu mouvement. — On peut sinqjlilier considérablement les équations (4)? pat' "n choix convenable des axes de coordonnées et de l'origine des temps. Nous [)rcnons d'abord le |)Ian de la trajectoire comme plan des xy, ce qui^annule les constantes c, c'. c" . Prenons ensuite i)y [)arallèle au \eeteur accélération : cela nous donne

JVeuons enfin pour origine des coordonnées le sonunel el pour origine des temps Tinslanl où le mobile passe en ce poinl, les axes étant, bien entendu, rectangulaires. Nous avons les conditions

Finalement, les équations ( \) se réduisent, en posant a' = f/, à

(7) x = af. jK = ^T''-

Telles sont les équations canoniques du mouvement unitormément varié.

La première montre que la projection de la vitesse sur la tangente au sommet de la parabole est constante et égale à w, cela résulte d'ailleurs de ce que celte tO'ngente est perpendiculaire au vecteur accélération.

En éliminant t entre les équations (n), on obtient Téquation de la trajectoire

Elle nous montre que le paramètre de la parabole est — •

20. Cas DL MOU VEMKAT iŒci:in<;jNE. — I Nui i' quc la parabolc ( N ) soi I une droite, il faut et il suffit (jue u =0, c'est-à-dire que la vitesse ;» un instant quelconque soit parallèle à l'accélération. Si Ion levient aux é(piati(uis générales (/\)i ceci se traduit par les conditions

a' h' c ch b e

qui seraient, du leslc, faciLes à établir dircelenieul. D'après la seconde équation (7), la vitesse

<'n| pidporlioiincllc iiu tcirqjs. si fou «hoisil pour oiiginc linslaul où la \ liesse est nulle, (^uanl à l'espace parcoucu depuis le même instant, il est projKtrtîonnel au earié du lem|ts.

Le mouxemeiit esl dit accclérr jorsfjue la \ilesse croîl eu valeur' absolue el rrlai (h'' dans le cas conlraire. Il est l'acile de Nérilier que

l'on se trouve dans la première ou dans la seconde clrGonstance, su'lvanl que t' et y sont de même signe ou de signes contraires. Si l'on élimine t entre (7) et (10), on obtient la relation

qui caractérise, parmi tous les mouvements rectilignes, le mouvement uniformément varié {cf. Exercice proposé n" 8).

21. Mouvement vibratoire simple. — On appelle mouvement vibratoire simple^ ou harmonique, ou sinusoïdal^ ou pendulaire un mouvement rectiligne représenté par l'équation

(I-.'. ) ,r = R sin w ^,

où R et (.0 désignent deux conslanles.

L'origine O s'appelle le centre du mouvement; l'ahscisse x s'appelle Yélongation; la constante R s'appelle V amplitude des élongations ou simplement Y amplitude; l'angle tôt s'appelle \di phase.

Le mouvement est périodique. Si T désigne sa période, on doit avoir

si n [/.) ( / -1- T I ] ES si n (.0 /,

quel que soit /. Ceci exige que wT soit un multiple de it.. La plus petite valeur satisfaisant à cette condition est.

Telle est la valeur de la période.

On appelle vibration le mouvement du moljile pendant une période. Le mouvement indéfini se compose évidemment d'une succession de vibrations identiques.

On appelle fréquence le nombre de vibrations qui se produisent pendant l'unité de temps (laquelle est ordinairemenl la seconde). Comme la durée d'une vibration est T, la fréquence

c'est V inverse de la période.

Si l'on calcule w en fonction de T ou de y, l'équalion (12) [uend

lune des deux formes

(i5) jr = Rsin ^2- — j.

(16) .r= Rsin(i-/n.

La vitesse el raccélération sont données par les formules

(17) p = R f,) cos w /■,

(18) y= — RM-sinw<.

Signalons les deux relations évidentes

2^2. Etude n'u.\E viiiiivrioN. ■ — Celle élude résulte immédiatement des variations bien connues des fonctions circulaires. Si nous étudions, par exemple, le mouvement pendant la période (o, T), nous avons le tal)leau suivant :

— lî

Ro)

On \(»il (juc le mobile oscille entre deux positions extrêmes, d(jnl la dislance commune au centre de vibration est égale à l'amplitude R. La vitesse oscille également entre deux valeurs o])poisées R(o et — R(o, qui sont atteintes lorsque le mobile passe au centre. La valeur abs(due R(o de cette vitesse maximum est appelée amplitude de vitesse.

!23. Décalage d'un mouvement vibuatoike simi-le. — Décaler un mouvement vibratoire simple, c'est augmenter sa phase d'un angle constant 0. appelé angle de décalage. Si Ton décale de 0 le uiouvemcnl (1?-), son érpiation devient

( ■>.\ I .r = R siri(o)/ 4- 0 ).

On voil (pie cela icvicnl à \n\ changement d'origine des temps., la nou\<llc ori;;ine étant l'instant où la |)liase est égale à 0. Le dc-calage IIP change (\<n\e pas la nature du /noui'mient ; il ne fait cpic l'avaiicer ou \(' retarder, lavaucc ajgébiicpie étant égale à - •

MOUVEMENTS PONCTUELS UEMAnQUABLES. ^5

On peut assiijeltir l'angle de décalage à être compris entre o et arc ou bien entre — t: et + ir, car si l'on augmente 9 de 2 7r, la formule (21) montre que l'on retombe sur le même mouvement. Autrement dit, l'avance peut toujours être évaluée en fraction de période, cette fraction pouvant être rendue inférieure à - en valeur absolue, si Ion admet les avances négatives, cest-à-dire les retards.

Représentation de FresiieJ. — Les mou\ements ajant une période donnée différent les uns des autres par leur amplitude R et par leur phase initiale ou angle de décalage 0. Dans les applications, on représente chacun cV eux par un vecteur de longueur V^etdUingle polaire 9, par rapport à un axe polaire quelconque OX. Si, à cet axe polaire, on adjoint l'axe perpendiculaire 0\ (t. il, n'^ 40), les composantes de ce vecteur représentatif suivant OX et 0\ sont

( '■'. ) a = R 00s 6, 6 = R sin 0.

Si l'on développe le sinus de l'équation (21), elle s'écrit

( 23 1 .r = rt sin M t -+- h cos m t.

Ceci nous montre que toute équation de la forme (28) représente un mouvement vibratoire simple, dont le vecteur représentatif a pour composantes a et b. Son amplitude et sa phase initiale sont données par les formules (22), qu'il faudrait résoudre comme il a été indiqué au n° 40 du Tome II.

!2i. CoMPOS[TION DE PLUSIEURS MOU VEAEEJNTS VIBK.VTOrUES SIMPLES DE AIÈmE CENTRE, DE MIIME DIRECTION ET DE MEME PÉRIODE. CoUsidérOnS

les n mouvements définis par les équations

' ■.>4 ; Xi = cii sin oj t H- bi co« oj t i t ^ i , ■?, 3, . . . , « ).

Par définition, on appelle niouvenioit résultant ( ' ) le mou\ement i)l)tenu en faisant la soni/ne algéb/i(/ue des élongalions :

( 2j ) :r = X Xi = I Z a,- ) sin '-» / ^- ( S />/ 1 cos (o /.

(') ()m peut l'inlerpréler au sens ordinaire de la eoniposiliou des mouveinenls, en imaginant que le centre de i liacjuc vibration soil animé, par rapport au eenlre de la vibration précédente, du mouvement qui est précisément défini par celle dernière.

26 CHAPITRE ri.

D'après ce qui a été vu au numéro précédent, ce mouvement résultant est aussi un mouvement vibratoire simple, de même centre, de même direction et de même période que les proposés. En vertu du théorème des projections et de la formule (25). on peut énoncer le théorème suivant, ordinairement connu sous le nom de règle de Fresnel :

TiiiioiiÈAiE. — Le vecteur représenlaLiJ du mouvement résultant est la somme géométrique des vecteurs représentatifs des mouvements composants.

Dans le cas particulier où cette somme géométrique est nulle, le mouvement résultant est le repos; les mouvements proposés se détruisent;, on dit qu'ils interfèrent ou qu'il y a interférence. Ceci arrive, par exemple, quand on compose deux mouvements de même amplitude et décalés de t:, c'est-à-dire en avance, l'un par rap[)ort à l'autre, d'une demi-période.

î2o. Composition de deux mouvements de périodes très voisines; BATTEMENTS. — Imaginons que l'on compose le mouvement (12) avec le mouvement

( 26 I x' = K' siii w'^,

o>' étant 1res voisin de (o, c'esl-à-dire cpie, si Ton pose

le rapport — est supposé très petit.

Le mouvement résultant n'est évidemment pas un mouvement vil)ratoire simple. Mais, occupons-nous seulement de ce qui se passe pendant une p(';riod(; T du j)i(niicr iiioii\ cnifiil, (riiiu- laçon plus précise, entre les époques / el /-f-T. J^a din'érence de phase entre les deux mouvements varie de zlixid-^-T). Son accroissement sT = 2-est très petit <'t peut être négligé. Dès loi's, pendant la durée dUine vibration., on p(Mi( considérer les deux mouvements comme ayant même période, mais ayant une difTérence de phase égale à ti. On est alors ramené au prohième étudié au numéro précédent, l^e inouveluenl r(''siiltriiil esl ;q)proximati\ emeni un nioiivement de même j)éii(Mle que les |iid|)os('"s cl (|<iiil le \eeleiir re|uésenlal il est donné

MOUVEMENTS PO.XCTlTEtS REMARQUABLES. 27

par la règle de Fresnel. Si l'on porte le vecteur OA = R sur OX, puis, à partir de A, le vecteur AB, de longueur R' et d'angle polaire £ /,

FiK.

le mouvement vibratoire résultant est. à l'instant t. représenté par le

vecteur OB.

Le lieu du point B est un cercle de centre A et de ravon R . Il permet de sui\re aisément la variation des éléments delà vibration résultante et, en particulier, de son amplitude, qui est représentée par la distance OB. Cette amplitude est maximum, lorsque B est en B|, c'Iest-à-dire lorsque tt est un multiple de 27c. Ce maximum est R -j- R', c'est-à-dire la somme des jimplitudes des nu)uvements proposés. L'amplitude minimum est atteinte lorsque B> est en Bo, c'est-à-dire lorsque zt est un multiple impair de -; elle est égale à la différence des amplitudes des vibrations données. Eu particulier, si ces dernières sont égales, les minima sont nuls : il y a interférence à chaque passage de B en B2.

La \ariation de tamplitude OB est périodique ( ' ), la période étant la durée d'une révolution complète de B. soit '^-^' La fréquence F de cette variation est

en appelant y et y' les fréquences des mouvements proposés.

('; On le voit aussi sur la foriiiul»; ([ui doane r»inplitudo résultante U-= R-H- R'--t- U-5P co-izt.

Ce phénomène de variation périodique de ramplitude porle le nom de phénomène des battements. D'après la formule (28), on peut énoncer la proposition suivante :

Thkorj^me. — La fréquence des battements est égale et la différence des fréquences des vibrations composantes.

Les battements sont d'aulanl plus espacés (pie ces dernières sont plus voisines. 11 peut arriver, par exemple, qu'on puisse les compter facilement et, par conséquent, mesurer F. Si Ton connaît Tune des fréquences/ et/', on pourra en déduire Tautre.

26. Composition de mouveaients vibuatoiues de fuéoue.xcks multiples. — Soit un nombre quelconque, (ini ou infini, de mouvements \il)raloires de la forme

( yg ) Tu = a„ siii /J co / -h b a cos/2 10 /,

n étant un eiillcr p()>itif, que nous appellerons le rang du uiouvemenl correspondant, lequel sera appelé le /i'^""" harmonique. Le premier harmonique, qui est aussi appelé le mouvement fondamental, a la ])lus longue période et la plus petite fréquence '■ f^= -z' ^^^ fi'*^~

quencc du n'''""' liaruioni(pie est/,;= -^ =1 nf. Les fréquences des harmoniques sont donc les multiples successifs de la frétjuence du fondamental.

Composons maintenant tous ces mouvements vibratoires, suivant la formule I 3o I a" = X.r„ = Zi <7„sin /mo/ -;- b,, cos/<(o/ 1.

Le mouveuienl lésultaiit n"e,st pas un inou\emenl vibratoire sinq)le. ^L'^is, c'est tout de UK'me un mouvement périodique., ayant pour période la période du fondamental. On dit encore que c'est un mouvement vibratoire, mais \\n n>ouvement vibratoire composé. La fréquence est encor<' le iioMd)re de vibiations par seconde; c'est évidemment bi fr(''(pienee (bi loiidaineiilid .

lléeiproquement, tout mouvement vibratoire., de périod(! — j peut être considéré comme la résultante cV un nombre fini ou infini de mouvements vibratoires simples, dont les fréquences sont les multiples de la fréijuance du mniivrinenl proposé.

Soit, en eflV'l. x ^ /( t) la loi du mouvement donné. /( /,) désignant, par