Un point M se meut sur le paraboloïde P
Sa projection surO:;a une vitesse c constante et sa projection sur 0:0/ a une vitesse aréolaire constante A. Déterminer le mouvement. Quelle est la nature de la projection de la trajectoire sur xOyl Montrer que, si r et A \ arient proporlionnelleinent, tous les vecteurs vitesses sont tangents à un même paraboloïde de révolution, de même axe et de même sommet que 1*. Quelle espèce de courbe est clia(iue liodograplie? (Introduire les coordonnées semi-polaires. Comparer avec l'Exercice proposé n° 2 du Chapitre XXVII du Tome 11.)
39. l 11 point M décrit, avec la vitesse aréolaire — -^ la courbe
^=ry'2C0S(p, • j' ^= — sin © cos cp.
Calculer / en fonction de 9. Construire l'iiodographe. Calculer, en fonction de o, les composantes suivant les axes et les composantes intrinsèques du vecteur accélération.
hO. On fait tourner le trièdre de référence d»; l'angle 0 autour de O- ;
NOTIONS GENERALKS DE CINEMATIQUE. il
puis, on lui imprime la translation h suivant O^. On obtient ainsi le trièdreAXYZ. On suppose que A et 6^ sont des fonctions connues du temps et l'on considère un point M qui se dé})lace, suivant une certaine loi, sur AX.
i" Déterminer cette loi pour que l'accélération et la vitesse absolues de M soient dans un même plan avec AX.
2° On suppose h=^k9. Traiter complètement la question précédente, dans cette hypothèse. Calculer 0 en fonction de i pour que raccélération de M fasse, en outre, un angle constant avec AX. *
mouveme:>ts ponctuels remarquables.
EXERCICES RESOLUS
1. On compose trois nioui'enients vibratoires simples cV amplitudes respectives i, a, b et de phases initiales ^^^ 120°, — 120". On suppose
que a et b carient^ de telle manière que le rapport garde une valeur
constante /.. Étudier les variations d' amplitude et de phase initiale du mouvement résultant. Calculer l'amplitude minimum et la phase correspondante. Quelles valeurs faut-il donner à a et à b pour qu^il y ait interférence?
Appliquons la règle de Fresnel. Nous formons le contour polygonal OPAB {fig. 3). Le mouvement résultant est représenté par le
vecteur OB.
Fi-. 3.
(^)uand a et b varient dans les conditions de l'énoncé, le triangle PAB
reste liomotliélique à lui-même, puisque le rapport — — reste égal à /. . l^e
lieu du point B est la demi-droite PB. La variation des éléments du mouvement résultant devient alors évidente.
Si a croît de o à ce, l'amplitude H de ce mouvement commence par
MOUVEMENTS PONCrtTMLS «EMARQUABLES. 20
décroître à partir de i, passe par un minimum, quand B est en M, projection de O sur VB, puis croît indéfiniment. Quant à la phase 9, elle
croît constamment de 0° à 120»+ 9, 0 désignant l'angle APB. La valeur
de o qui correspond au minimum d'amplitude est POM = 3o»+ 5. La valeur correspondante de a est PA', le point A' étant obtenu en menant MA' parallèle à BA.
Pour qu'il y ait interférence, il faut et il suffit que B vienne en O. Le triangle PAB est alors équîlatéral et l'on doit avoir a t=r 6 :=: i .
Nous avons répondu à toutes les questions de l'énoncé. Toutefois, on peut se proposer de trouver l-es expressions analytiques, en fonction de /.", des éléments correspondant au minimum d'amplitude, éléments que nous nous sommes contentés d'indiquer sur la figure et que l'on pourrait d'ailleurs, dans la pratique, mesurer avec une précision suffisante, sur un grapliique exécuté à une assez grande échelle.
Si l'on préfère faire des calculs, au lieu de faire un dessin, on commence par calculer l'angle d. La relation des sinus, appliquée au triangle PAB, donne
sin 6 sin (60° -h 6) __ ^/3 cos5 + sin 0
d'où l'on tire
(I) tango :=^''^^
Ayant 0, l'amplitude minimum est donnée par le triangle rectangle OMP :
(2) Pv'= sin((;)o°— 6).
(^)uant à la phase o' correspondante, nous avons vu qu'elle est égale à ?>i)''-\- h. Enfin, la valeur de a nous est donnée en appliquant la relation des sinus au triangle PMA' et remarquant que PM ziz cos ( Go" — B) :
ka cos {Cn)° — 6*)
sin0 sin 60° '
d'où
2 sin 5 cos(6o° — 0)
Les formules (i), (2), (3) donnent tous les éléments demandés et sont toutes calculables par logarithmes.
On peut aussi soiivre une voie purement analyli<(ue. L'élongation du
mouvement résultant est
.r = sin &)f + (7 sin (o^ + 120°) + Ar/ sin (00/ — 120"),
sin oj /
rtCOS GJ^
On en déduit
2 — «(( + /.') . «V^(i — A) av/5(i — A) (6)cosc;= \r: -, sincp— ^ ^ ., -S tangos -î—^- r^-
En dérivant (5) par rapport à a, on pourra calculer le minimum d'amplitude. En portant ensuite dans (6), on aura la valeur correspondante de o. iXous laissons au lecteur le soin de développer ces calculs et de comparer les résultats avec ceux de la méthode précédente.
2. Un point jNI décrit un segment AB de 12™™, 7 de long, alternativement dans les deux sens, avec une vitesse constante, qui est la même à l'aller et au retour. Il effectue, de la sorte, 3^o vibrations par seconde. Chercher le fondamental et les harmoniques successifs de ce mouvement ribratoire.
On peut procéder de deux manières : soit chercher directement le développement de iélongation en série de Fourier; soit chercher le développement de la vitesse et intégrer ensuite par rapport au temps. Nous allons suivre celte seconde méthode, qui donne des calculs un peu plus simples.
Calculons d'abord la vitesse constante du mobile. En une seconde, il parcourt 680 fois le segment AB, c'est-à-dire 6S0 x 12'"°% 7 = 8636™"". En unités G. G. S., sa vitesse est donc égale à 863,6. La fréquence est, d'autre part, égale à 34o. Posons, dès lors (a° 26),
Posons, en outre, (2)
La fonction y de la variable // admet pour période 27ï; elle est égale à + I , pour o<M<7retà — i, pour tt < f/ < 27r. Appliquons, dès lors, les formules (33) du n° 26.
Nous avons d'abord
[i cos n udu — / >- 0 ^-n
COS // udu
car les intégrales du crochet sont nulles toutes deux, si w^fo, et elles sont égales et, par conséquent, se détruisent, si n=io. Nous avons ensuite
I sin nu du — f ^innudu
Si n est pair, «„=:o; si n est impair, fl„= — • On a donc
si n ( 2 /i + I ) « 2 /i + I
Portons dans (2) et intégrons par rapport à t; en tenant compte de (1) et posant, pour abréger l'écriture, le crochet égal à c, nous avons
'i rzdu .r = b8 X 1 2 , 7 X - / yr^ —
— — cos u
cos 3// cos5«
cos( 2n -i- i) u
G désignant une constante d'intégration. J^our déterminer cette constante, faisons m= -• Le mobile doit se trouver au milieu de AB ; de
sorte que si nous prenons ce milieu pour origine des élongations, G doit
être nulle (').
Si nous revenons maintenant au millimètre pour unité de longueur, nous avons, en définitive,
— -- kcos u
cos3« cos5«
cos (2/1+ l)u
( )n voit que les harmoniques de rang impair seuls existent et que leur amplitude est inversement proportionnelle au carré de ce rang.
Nous conseillons au lecteur d'établir maintenant cette formule par l'application directe des formules (33) à a:. Il remarquera que l'on a
et
, pour o < '/ <! ~
u ) pour - < « < 2 7î.
(') On peut aussi calculer C par la formule
X du.
■l6 CHAPITRE II.
3. Construire les diagrammes des espaces et des vitesses du mou rem en t
(i) :r=:'j.38e-«i-*'x siii (1,9.')/),
en s'a/ /étant à la fin de la période penda/it laquelle le facteur d' a/zior-
tissement attei/it ta valeur — •
Clierclions d'abord combien il faudra prendre de périodes. Le facteur damorlissement devant être inférieur à — , son in\erse doit èlre i)lus
Kl
grand que lo; on doit donc avoir
o,io^loi:e>i ou ^>- ; — — =1:1^,7.
D'autre part, la période est '^ ^ z=z 3,223. Elle est contenue environ
.5,5 fois dans 17.7. Nous devons donc construire les diagrammes pendant six périodes.
Nous allons d'abord faire les calculs pour la première période; nous en déduirons les périodes suivantes au moyen dn décrément.
Calculons la vitesse; nous avons, en posant 1,95^ ■=z o,
(2) (>■ iz: 23:8 g— M3' [ — (t,i3 sino 4- 1,95 COS9].
Ellle s'annule jjour
