CD

Sur la figure 5, nous avons seulement reproduit le diagramme des espaces, pour éviter son enchevêtrement avec le diagramme des vitesses, lequel a d'ailleurs une forme analogue (').

(') Dans tout mouvement vibratoire amorti, le diagramme des vitesses peut se déduire du diagramme des espaces par une translation suivant l'axe des temps, accompagnée d'une réduction ou d'une amplification des ordonnées dans un rapport constant.

3o <":haii'itre it.

3, On composr ffen.r mouvements vibratoires simples, de périodes très voistfies et s'vffeclwant svivani deux directions rectangulaires Ojp et Oy. Etudier le monvement résultant.

Soient

^=racoso)^, y =z b s'ir\'j)' t, {',)'=: 'j) -{- s)

les équations des deux mouvements. Raisonnons comme au n» 2o. Pendant une période T de .r, la dillerence de phase vaiie très peu et Ton peut la considérer pratiquement comme constante. On est alors ramené au n" 31 et Ton sait que îe mouvement résullanl est une vibration elliptique. Mais, comme la trajectoire dépend de 3a différejice de phase et que cette différence varie, dans le cas actuel, pro,j>ort3onneJlemeût au temps, l'ellipse se déforme conlinueUement.

Pour étudier cette déformation, posons et :=: /.'. Les équations paramétriques de l'ellipse sont

xr^acosGi)/, y = /y sin (oj ^ -i- /. ).

Comme .r oscille entre ± a el y entre zt b, on \oit d'abord que Tellipse est inscrite daos le rectangle GDG'D', dont les axes A.\' et HB' ont pour

Fî", 6.

longueurs 2a et 2b. Le point de contact M avec Cl)', par exemple, l'-l obtenti pour .r = i , soil ^:rr o; •d'où y = 6sin/.\ l^e mrnie, N est donné

par ',) I -r- /. = — ; d'où x t=z a sîn /.". On a donc ' 2

AAl =r — A'M'

b sin /. ,

B;\ =— irA" = «sin /..

On peut réunir ces deux formules en une seule, en iemar(|uaiit (|ue le point P, qualriénic sommet du rectangle MCNP, déciit la diagonale OG

MOUVEMENTS POXCTLEl^ REMARQUABLES. 3l

et, si 3C désigne la longueur GC, on a (4) C)P = csinA.

Le poinl P, ainsi que les points M, ?s', M', N', sont animés de mouvements vibratoires simples, de fréquence — ^ =F.

La connaissance des quatre points .M, N, M', X' suffit pour déterminer entièrement l'ellipse et la variation de ces points suffit pour nous indiquer comment cette courbe se déforme. Complétons toutefois cette étude par Télude de la variation des axes.

Si l'on élimine t entre les équations (2), on obtient Téqualion de l'ellipse •

( 5 ) ' ; sin /. + ■-; cos- k := <•.

a^ ah b-

Si nous passons en coordonnées polaires, nous obtenons

cos- 5 sin 2 5 . , sin- 5 co-V.

(G) — sin/.H 7^7- = ;

a- ab b- 0-

.\ous aurons les angles polaires des axes, en annulant la dérivée du pre-

mier membre par rapport a 7; on obtient ainsi, en posant — =tang«,

(-) tang2 5 ^= sin/.- tang2 tf .

Cette formule nous montre que le grand axe, par exemple, qui est évidemment compris dans l'angle COD', si l'on suppose, pour fixer les idées, a >> b, oscille périodiquement entre OC et OD', la fréquence de l'oscillation étant la fréquence F trouvée plus haut. On peut d'ailleurs préciser ce mouvement, en disant que, si l'on prend, la droite symétrique de O.^' par rapport aux axes de l'ellipse, le point de rencontre de la droite obtenue avec CD' est animé d'un mouvement vibratoire simple de fréquence F.

Signalons encore que, d'après le théorème de Monge, la somme des carrés des longueurs des axes est constante et égale à la somme des carrés des côtés du rectangle circonscrit, c'est-à-dire égale au carré de la diagonale CC

En résumé, le mouvement proposé a les apparences suivanles. Au début, le mobile décrit sensiblement l'ellipse F, d'axes AA' etBB'. Puis, cette ellipse se déforme, en s'aplatissant, et son grand axe se rapproche

de CC Au bout du temps T= -7-^, elle est infiniment aplatie, sui-

vanl ce Puis, la déformation inverse se produit, suivie de la déformation symétrique par rapport à Ox, jusqu'à ce que l'ellipse soit infiniment aplatie suivant DD', ce qui arrive au temps 3T. Enfin, l'ellipse revient vers sa forme initiale, qu'elle atteint au bout du temps 4T. Le phénomène se reproduit ensuite indéfiniment, avec la période 4T et la fréquence F, laquelle est égale à la différence des fréquences des mouvements vibratoires proposés.

Ce phénomène est, en somme, une extension du phénomène des battements étudié au n'^ 25.

Signalons, pour terminer, le cas particulier où a =^ 0, c'est-à-dire le cas où le rectangle circonscrit est un carré. On a, dans cette hypothèse,

u rzz —' Dès lors, la formule (7) nous montre que 9 est aussi égal à y- 4 4

Autrement dit, les axes de l'ellipse sont fixes et confondus avec les diagonales du carré, ce qu'on aurait d'ailleurs pu prévoir, en remarquant que tout carré circonscrit à une ellipse a nécessairement ses sommets sur les axes de cette courbe. La déformation est alors la suivante. La trajectoire est d'abord le cercle inscrit dans le carré. Puis, elle devient une ellipse, dont le grand axe est dirigé suivant CC et augmente. Au bout du temps T, elle est aplatie en CC. Puis, son grand axe diminue et, au bout du temps ^T, elle est rede\enue un cercle. Son grand axe passe ensuite sur DD' et augmente. Au temps 3T, elle est aplatie en DD' et enfin, au temps 4T, elle estrede\enue un cercle.

4. Étudier le mouvement résultant de la composition de deux moucemcnts vibratoires simples de directions rectangulaires et dont les périodes sont doubles iune de Vautre.

Soient

(i) .r:=asinoj/, j' = 6 sin (2 w^ -i- /. )

les équations des deux mouvements.

Le mouvement résultant est un mouvement cur\ iligne périodique, dont la période T est la plus grande des périodes des mouvements donnés,

c'est-à-dire ici la période -^ de la vibration suivant Ox.

Si l'on augmente ^ de — ? ',)t augmente de t. et 2w/ de 9.7:; donc,

X change de signe elj>' ne change pas. On en conclut qu'à deu\ époques distantes d'une demi-période, le mobile occupe deux positions symétriques par rapport à Oy.

La forme de la trajectoire dépend de la valeur de la constante /.. Toutefois, si l'on augmente k de 27:, y ne change pas. Si on l'augmente seulement de r, y change de signe et l'on obtient un mouvement symétrique du premier par rapport à Ox. Enfin, si l'on change k en — /. et, en même temps. ^ en — t, x tX. y changent de signe ; on obtient une trajectoire symétrique de la première par rapport à O ou, ce qui revient au même, par rapport à Ox, à cause de la symétrie du mouvement par rapport à Oy.

11 résulte de ces observations que l'on peut se borner à faire varier /.

de O à -j à une symétrie près par rapport à Or.

Pour obtenir rapidement les principales formes de la trajectoire, on peut procéder de la manière suivante.

Traçons les parallèles à Oy, dont les abscisses sont les sinus des angles o, 10?, 200, ..., 90s, loos et ces mêmes sinus changés de signe. INumérotons ces droites o, 1,2, . . ., 9, 10 et — i, — 2, .... — 9, — 10. Ajoutons que l'unité de longueur adoptée doit être a.

Traçons ensuite les parallèles à Ox, dont les ordonnées sont les sinus des angles o, 20s, 4os, ..., loo^ et ces mêmes sinus changés de signe, l'unité de longueur étant, cette fois, b. (Sur les figures 7 et 8, on a supposé a =: b.) Numérotons-les o, 2,4, . . . , 10 et — 2, — \, . . . , — 10.

Ceci étant, construisons la courbe A" nz o. A cet effet, nous marquons les points situés à l'intersection des parallèles consécutives de la première famille avec les parallèles consécutives de la deuxième famille. Nous partons du numéro o dans chaque famille. En outre, quand nous arrivons au numéro 10 ou au numéro — 10, nous revenons en arrière. Il est clair que les points ainsi marqués sont les positions du mobile aux

T 2T 3T 3qT .,,.,..

époques o , -z— , -, — 3 -; — ■> .... — j — > 1 . En les loignant par un trait con- ^ ^ ' 4o 40 4o 40 j a 1

tinu, nous avons la trajectoire complète ^fig- 7). Nous savons en outre que les points marqués sont atteints à des époques équidistantes.

Si nous voulons maintenant la trajectoire qui correspond à A= 20*?, il suffit de reprendre le même cane\ as de parallèles ; mais on part, cette fois, du numéro o pour la parallèle à Oy et du numéro 2 pour la parallèle à Ox. De même, pour avoir les courbes qui correspondent à des valeurs de A égales à 40", 6os, 8of-', loo^-', on part toujours du numéro o pour la parallèle à Oy, mais du numéro 4, •>, 8 ou 10 pour la parallèle à O.r. On obtient ainsi les cinq types de trajectoires de la figure 8. (On n'a pas reproduit, sur cette figure, les canevas de parallèles; on s'est l)orné à tracer le carré circonscrit à la trajectoire.)

On imagine aisément les formes intermédiaires.

La dernière courbe (A :=ioos) est une parabole. En ellet, pour cette Haag. — Exercices, III. 6

valeur de /.. on a

ce qui est bien l'équation d'une parabole.

Fit'- 1-

ri-

On peut réaliser pratiquement toutes ces formes de courbes, en combinant deux mouvements vibratoires dont le rapport des périodes est très

Fiiî. 8.

voisin de 2. En raisonnant comme à l'exercice précédent, on voit que, pendant la durée d'une période, tout se passe sensiblement comme si le rapport des fréquences était rigoureusement égal à 2, l'angle de décalage /. variant proportionnellement au temps. La trajectoire véritable se com-

MOUVEMENTS PONCTUELS KEMAUQU AULES. 3)

pose d'une succession darcs de courbes, reproduisant à peu près la suite des trajectoires de la (igure 8, complétées par symétrie par rapport à 0.z-. En faisant vibrer des miroirs fixés à des diapasons, on peut réaliser nialériellement des mouvements de cette sorte. C'est l'expérience connue, dans les Cours de Physique, sous le nom à& Jigiii-cs de fJssajonx.

EXERCICES PROPOSÉS

1. Un mobile M est animé d'un mouvement rectiligne et uniforme, de vitesse (' suivant la direction de cosinus directeurs («, h^ c) ; au temps o, il se trouve en M(,(,tv,, y^, c^). Un autre mobile M' est animé d'un mouvement analogue de vitesse r', suivant la direction (a', h' , c') et avec la position initiale M',^ (a',,, yij, -;'„). Trouver la condition de rencontre des deux mobiles.

2. Montrer que le milieu des deux points M et iM' de l'exercice précédent est animé d un mouvement rectiligne et uniforme, dont on déterminera le vecteur vitesse en fonction des vecteurs vitesses de M el de M'.

3. On dit que deux mouvements sont tangents au temps t si, à cette époque, les deux mobiles ont même position et même vecteur vitesse. Ecrire les équations du mouvement rectiligne et uniforme tangent, au temps /^,, à un mouvement donné par ses équations.

k. On dit que deux mouvements sont osculateurs au temps isi, à cette époque, les deux mobiles ont môme position, même vecteur \ itesse et même vecteur accélération. Ecrire les équations du mouvement uniformément varié osculateur, au temps ^o, à un mouvement donné par ses équations. Montrer que la trajectoire de ce mou\ement uniformément \arié est la parabole osculatrice à la trajectoire du mou\ement jMoposé, dont l'axe est parallèle au vecteur accélération à l'instant /,j considéré.

5. Un point M est animé d'un mouvement uniformément varié. <^>uels sont les mouvements des extrémités des vecteurs vitesse el accélération, supposés menés par M ?

(). Deux points M et M' sont animés cbacun d'un mouxement uniformément varié.

1° Ouel est le cône directeur de la surface réglée engendrée par MM'? 2° Quel est le mouvement du point I* qui divise MM' dans un rapport donné ?

36 CIIAI'ITRI- II.

l-]\;uiiiner les cas parliculiers suivants :

1° Les points M et M' ont même vecteur accélération. Montrer que le plan (le la trajectoire du point P en\eloppe un cylindre parabolique. 2° Le mouvement du point M' est rectiligne. 3" Les mouvements des deux points sont rectilignes.

7. Un point M est animé d'un mouvement uniformément varié. On le joint à un point fixe P du plan de sa trajectoire. Calculer, en fonction du temps, l'aire balayée par le vecteur PM. Où doit se trouver le point P pour que cette aire soit proportionnelle au cube de /, en choisissant convenablement l'origine des temps et l'origine des rayons vecteurs? (Le point P doit se trouver sur une parabole de même axe et de même sommet que la trajectoire et de paramètre double.)

8. Démontrer que tout mouvement rectiligne satisfaisant à la relation

est uniformément varié.

9. Un point M a pour vecteur accélération (2/4, — 53, 'j[\). Sa vitesse initiale a pour composantes (5-, 89, — 62). Construire ses diagrammes des vitesses et des accélérations langentielles.

10. On donne les élongations à trois instants donnés d'un mouvement vibratoire simple. Comment peut-on déterminer ce mouvement? Examiner le cas particulier où les trois instants sont équidistants.

11. Un point M est animé d'un mouvement vibratoire simple, de fréquence 22G. Son élongation au temps d est de ô'^^'jô et sa vitesse est de — 23™, 8 par seconde. Déterminer ce mouvement et construire ses diagrammes des espaces et des vitesses.

12. Montrer que, dans tout mouvement vibratoire simple, le diagramme qui donne la vitesse en fonction de l'élongation peut être un cercle, si l'on choisit convenablement les échelles. Gomment trouve-l-on la phase sur ce diagramme?

13. Trouver l'équation d'un mouvement vibratoire simple, sachant que le diagramme qui relie la vitesse à l'élongation est un cercle de T2''™ de rayon, l'échelle des élongalious étant la grandeur naturelle et l'échelle des vitesses étant de i'^™ pour une vitesse de 4'")35 par seconde. On sait, en outre, que la position initiale du point qui décrit le diagramme considéré a pour angle polaire 38".

MOLVEMENTS PO.NCTUKI.S REMARQUABLES. 87

lï. On compose deux mouvemenls \ibraloires simples de même période, d'amplitudes K et R' et de phases inillaies a et «'. Ecrire les formules qui donnent l'amplitude et la phase initiale du mouvement résultant. En déduire les valeurs de l'angle de décalage qui donnent l'amplitude résultante maximum ou minimum, ainsi que les conditions d'interférence.

15. Deux mouvements vibratoires simples ont pour amplitudes respectives 26 et 18 et pour fréquence commune I46. Construire leurs diagrammes des espaces, ainsi que le diagramme du mouvement résultant, en supposant que l'angle de décalage a successi\ ement les valeurs suivantes : o, 4^°^ 90°, 135", 180°.

16. Calculer l'amplitude et la phase initiale du mou\ement résultant des mouAcments vibratoires simples de même période, dont les amplitudes et les phases initiales ont les valeurs suivantes :

17. On compose trois mouvements vibratoires simples de même période et d'amplitudes constantes a, b, c. On suppose, en outre, que les phases initiales sont o, n, 211. Etudier comment varient l'amplitude et la phase du mouvement résultant, quand on fait varier «. Cas particulier où c = a. (En appliquant la règle de Fresnel, on trouve aisément que l'extrémité du vecteur représentatif du mouvement résultant décrit un limaçon de Pascal. Dans le cas particulier, le pôle de ce limaçon est en O ; la phase du mouvement résultant est égale à u.)