X :=: a COS (i)t -\- b cos 3 (ù t

aS CHAPITRE II.

^I. On compose deux inouvemenls vibraloires simples de même direction, de même amplitude, de phases initiales nulles el de frcquences doubles Tune de l'autre. Construire, sur le môme graphique, les diagrammes des mouvements composants et résultant.

'2'2. Trouver les harmoniques des mou\ements sui\ants :

j: nn sin^ùjf, a- zir cos*o)^, ./■ ^ sin-2 cj^ cos'oj^.

23. Un point M vibre sur un segment de 12"^"", y de long, avec une fréquence égale à 34o. Le mouvement est uniforme dans les deux sens; mais, la vitesse dans un sens est douille de la vitesse dans l'autre sens. Trouver les harmoniques.

2i. Un point M vibre sur un segment AB, de milieu O et de longueur 36'"™, 4, avec une fréquence égale à 235. De 0 à B, le mouvement est uniformément retardé, la vitesse en B étant nulle; de B à O, le mouvement est uniformément accéléré, la vitesse en O redevenant égale à ce qu'elle était primitivement. De O en A et de A en O, on a un mouvement analogue. Trouver les harmoniques.

(On pourra d'abord cliercher le développement de la vitesse, puis intégrer une fois, ou bien chercher le développement de l'accélération, puis intégrer deux fois. Cf. Exercice résolu n° 2.)

25. Calculer raccélération en fonction de la \itesse el de l'élongation dans un mouvement vil)ratoire amorti.

26. Construire les diagrammes des espaces et des vitesses d'un mouvement vibratoire amorti, dont la fréquence est de 6 vibrations par seconde el dont le décrément est 0,9. Au bout de combien de temps l'amplitude est-elle réduite au ,J^, de sa valeur initiale?

• 27. Etendre la règle de Fresnel à la composition de deux mouNcments

vibratoires amortis, de même direction, de même période el de même

décrément.

28. ICtudierle mouvement résultant des deux mouvements piécédents, en supposant que les périodes ne sont pas égales, mais seulement très voisines.

29. On compose deux mouvements vil)raloires amortis, de décréments diflérenls et de périodes quelconques. Montrer qu'au bout d'un temps suffisamment long, le mouvement résultant se réduit sensiblement a celui des mouvements proposés qui a le plus grand décrément.

f Mettre en facteur l'exponentielle qui a le [.lus Ciiilile expo-ant.)

MOtVEMKMS PONCTUELS Kli.MAUQlABLKS . SQ

30. Composer un mouvemenl vibratoire simple d'amplilude i, de f'ré(|uence 88 et dirigé suivant Oj;- avec un mouvemenl vibratoire simple de même fréquence, d'am])lilude 0,82, dirigé suixant une droite 0-; inclinée à 53° sur Ox et en avance sur le premier de -^ de période.

On calculera, en particulier, les époques où le mobile passe aux. sommets de la trajectoire, ainsi que les coordonnées de ces sommets.

(Pour avoir les époques de passage aux sommets, écrire que la vitesse est perpendiculaire à l'accélération, ou, ce qui revient au même, que la vitesse est maximum ou minimum.)

31. Même question pour trois mouvements dirigés suivant les axes rectangulaires Or, Oj', Oz et dont les amplitudes et phases initiales respectives sont (i , o) ; (1 ,34, 36°) ; (0,78, — 58°).

32. On compose deux mouvemenls vibratoires simples rectangulaires, dont les amplitudes, phases initiales et fréquences sont respectivement (2, 90°, 100) et (i, o, loi). Construire la trajectoire entre les époques o et 0,01 ; o, 12 et o, i3 ; 0,24 et o,25.

33. Un point M décrit une ellipse suivant la loi des aires par rapport au centre et à la vitesse de i tour par seconde. En même temps, l'ellipse tourne autour de son centre avec la vitesse uniforme de i tour [)ar seconde. Quel est le mouvement résultant du point M ? (iMouvement circulaire uniforme.)

3i. On reprend le point M précédent et, sur la perpendiculaire menée par M au plan de l'ellipse, on considère un point P animé d'un mouvement vibratoire simple de fréquence 2. Quel est le mouvement résultant du point P?(\ibralion elliptique.)

35. Un point M vibre sur OX, le centre de la vibration étant à la distance a de O, l'amplitude étant ù et la fréquence i. En même temps, OX tourne autour de O avec une vitesse uniforme de i tour par seconde. I']tudierle mouvement résultant. (La trajectoire est un limaçon de Pascal.)

3G. Un point M décrit un cercle d'un mouvement uniforme, à la vitesse de i tour par seconde. l'>n même temps, le centre de ce cercle est animé d'un mouvement vibratoire elliptique de rré(|uence i. l'étudier le mouvement résultant. Examiner le cas particulier où le plan de la vibration ellipli(iue coïncide avec le plan du cercle, ainsi (|ue le cas où cette vibration se réduit à une vibration rectiligne située dans le plan du cercle ou perpendiculaire à ce plan. [

4o CHAPITRE II. — MOUVEMENTS PONCTUELS REMAUQUABLES.

37. Etudier le mouvement résultant de deux mouvements vibratoires simples de directions rectangulaires et dont le rapport des périodes est 3

ou bien -• (C/. Exercice résolu n° h-.)

38. Etudier le mouvement résultant de deux mouvements vibratoires amortis, de même période et de même décrément, mais de directions

Tï

rectangulaires, et décalés de - l'un par rapport à l'autre. (La trajectoire

est une spirale logarithmique, parcourue avec une vitesse angulaire uniforme.)

39. Un cercle de 20'™ de ravon est parcouru par un point M, d'un mouvement uniforme, à la vitesse de 800 tours par minute. En même temps, le cercle est animé d'une translation uniforme, suivant une direction perpendiculaire à son plan et dont la vitesse est de 10" par seconde. Calculer le pas, la vitesse et l'accélération du mouvement résultant.

EXERCICES RESOLUS

1. Calculer les composantes de la vitesse et de Vaccélération en coordonnées polaires, au moyen de la composition des mouvements.

Soit le point M de coordonnées polaires /• et 9 par rapport aux axes fixes Ojry. Nous nous proposons, comme au n° 10, de calculer les composantes de son vecteur vitesse et de son \ecteur accélération suivant

les axes OXY, d'angles polaires respectifs 9 el 9 -\ — '-• Mais, au lieu de

suivre une méthode directe, nous allons nous appuyer sur la composition des mouvements, en prenant comme mouvement d"" entraînement intermédiaire le mouvement de l'angle OW par rapport à Oxy, qui est une rotation, de vitesse angulaire oj =: 9' .

I*our le vecteur vitesse, le résultat est immédiat. La vitesse relative du point M est un vecteur porté par OX et de mesure algébrique /'. Sa vitesse d'entraînement est un vecteur parallèle à OY et de mesure algébrique /cj = /•'5'. La vitesse absolue étant la somme de ces deux vecteurs, on retrouve les formules du n° 10.

Passons au vecteur accélération. A cet effet, nous allons nous servir

de riiodograplie. Nous menons le vecteur U/« = MV et il nous faut prendre la vitesse du point m. Pour cela, nous appliquons toujours le théorème de la composition des vitesses. Les coordonnées relatives de m sont

Les composantes de sa vitesse relative sont donc (2) X'=r", \'=r9"^r'9'.

Quant aux composantes de sa vitesse d'entraînement, on les obtient

en prenant le moment, par rapport à M, du vecteur instantané de rotation, lequel a pour composantes sur les axes OX, OY et sur Taxe perpendiculaire OZ

En appliquant les formules (6) du n" 37, on trouve que les composantes de la vitesse d'entraînement sont

En les ajoutant à (2), on a finalement les composantes de la vitesse absolue de /«, c'est-à-dire du vecteur accélération de M :

(5) ■/^=/-"-r&'% y,= r9"-^:ir'0'.

On retrouve les formules (19) du n° 10.

2. Étudier le nioinement plan qui résulte de la composition d\tne translation circulaire uniforme arec une rotation uniforme autour d'un axe perpendiculaire au plan de la translation.

Les trajectoires sont des courbes cycloïdales et ont été étudiées dans le Chapitre XXXIX du Tome II; nous ne nous en occuperons pas. Nous allons simplement étudier la distribution des vitesses et des accélérations.

Soit (l la trace au temps t de l'axe delà rotation et soit O le centre du cercle décrit par ce point, dans la translation. Soient r,) la vitesse angulaire de la rotation autour de C et 00' la vitesse angulaire de C autour de O.

— -> Vitesses. — Nous a\ons à composer une translation de vitesse CW

perpendiculaire à OC et égale à OC X co'.avec une rotation de vitesse

angulaire 03 autour de C {fig. <^). Nous savons (n° k\) qu'il y aune

rotation tangente, dont le centre I est le centre instantané de rotation.

Son vecteur instantané doit être équivalent au système S formé par le

vecteur Ci2 perpendiculaire au plan du mouvement et de mesure algébrique '>) et par le couple d'axe CW . C'est donc un vecteur équipollent

à Ci2 et dont l'origine I doit être telle que le moment résultant de S par rapport à ce point soit nul. Autrement dit, on doit avoir

(1) CW-hCÎi,l = 0.

Comme CW est perpendiculaire à CO, I doit se trouver sur CO. Si

CIXKMATIQIE DU COttPS SOLIDi:. 43

l'on mesure les vecteurs de([) sur la demi-droile déduite de OC par une relation de -\ — ^ autour de O, cette égalité devient

On en déduit

OC X w' H- Cl X OJ = o.

Cl^COx — .

CiJ

Cette égalité nous donne la position de I. Connaissant ce point, la vitesse d'un point M quelconque est un vecteur M V perpendiculaire à IM et égal à IM x oj. ( D'une manière précise, MYest équipollent au vecteur

déduit de IM x o) par une rotation de ^^ — autour de I.

On peut aussi arriver à ce résultat par un raisonnement [)Ius élémentaire. La vitesse relative de M est M\ perpendiculaire à CM et égal

Fig. 9.

à CM X 03. Sa vitesse d'entraînement est C\V, que nous menons en \'V.

La vitesse absolue est la somme géométrique MV de ces deux vecteurs.

Menons Ml perpendiculaire à M\ et soit I son point de rencontre

avec OC. Les triangles MCI et M\'\ sont semblables, comme ayant

leurs côtés perpendiculaires, (^omme le vecteur M\ ' se déduit du vecteur MC par une rotation de '- suivie d'une homolhétie dans le raji-

port oj, on déduit le triangle MV'N du triangle iMCl par la même opéralion. On en conclut que CI se déduit de Y' V ou de CW par une rolaiioii de -!- — } suivie d'une homothétie dans le rapport — • Comme CW se

déduit de CO par une rotation de '-■, suivie d'une homothétie de

rapport co', on a l'égalité géométrique

CI= COx -,

(jui n'est autre que (3) et qui nous montre que l est fixe, quel que soit le point INI considéré.

Si nous re\ enons maintenant à nos deux triangles, nous en concluons

encore que M\ se déduit de Ml par la rotation de '- ^ suivie de Tlio-

mothétie de rapport w. Autrement dit, c'est le vecteur vitesse qu'aurait le point M dans une rotation de vitesse angulaire w autour de 1.

Comme 01 et Cl sont constants, les lieux de 1 sont un cercle de centre O dans le plan fixe et un cercle de centre C dans le plan mobile. Si l'on se reporte au n" 42, on en conclut que le mouvement proposé peut être engendré par le roulement du second cercle sur le premier, conformément à ce que nous avons appris dans le Chapitre XWIX du Tome 11.

Accélérations. — Le mouvement d'entraînement étant une translation, nous avons le droit de composer les accélérations comme les vitesses (n° 16). Les rotations étant, d'autre part, uniformes, les accélérations relative et d'entraînement sont respectivement équipollentes aux

\ ecteurs w-.MG et c.:)'^.CO (n" 38). L'accélération absolue du point ]\1 est donc

MC

CO

( 5 ) -M y = 0)^ . M c + oj'- . CO = OJ -

Considérons le point J défini par

Légalité (5) peut s'écrire

(7 ) M y = oj= ( MC -1- GJ ) = f.)^ . M J .

On en conclut (ju'à chaque instant la distribution des accélérations est la même que dans une rotation uniforme, de vitesse angulaire h)

CINÉMATIQUE DU CORPS SOLIDE, /p

et de centre J. Ce point J s'appelle centre des accélérations. C'est le seul point du plan qui ait une accélération nulle. Tous les points dont le vecteur accélération a une grandeur donnée se trouvent sur un cercle de centre J.

Si l'on compare (6) et (4), on en conclut facilement (jue J est le pied sur OC de la polaire de O par rapport au cercle roulette.

Cherchons Taccéléralion normale du point M, dans le cas particulier où il décrit une épi- ou hypocycloïde^ c'est-à-dire lorsque CM ^=: Cl.

Il faut projeter le vecteur w-.MJ sur la normale MI. Projetons le point J en J'. L'accélération normale est o)-.MJ'. Or MJ';= MC -l-C'J'. D'autre part, le triangle CIM étant isoscèle, on a MC'=: -Ml. Puis, d'après (6) et (4). nous pouvons écrire

(8) Ci=l'±\cO=('^\\'^,CV=--Ci.

En projetant sur MI, nous obtenons

Donc

2Gl)

1 I . ■! ■ • I 0)((jj'H- (0 ) ~t

donc, le vecteur accélération normale est MI.

Si P désigne le centre de courbure de la trajectoiie, on en déduit

'^ " P ~ AÎP '

d'où

(II) MP = oMl ^=:2M^. \

Si Ton se rappelle que— = — ^ , il serait facile de mettre celte for- ''' CO mule sous la forme (20) du n° 51)7 du Tome 11.