TT

conséquent, une fonction périodique, de période — • Il faut démontrer qu'un

peut la développer en série de la forme ( jO i, à une constante additive pré-, provenant du choix de l'origine des élongations. Posons, pour sini]>liliei

l'écriture, lof = u et appelons Fin) !a fouction y | — |> qui a pour période an.

[1 nous faut déterminer les coefficients constants «„ et b„. de telle nianièro que l'on ait identiquement

(3)1 F i II ) = - bo-h I. {a„ s\nnu -h b/i cos?iii ».

A cet effet, on emploie l'artifice suivant. Pour calculer «„, on multiplie les deux membres de l'identité par s'\n nu et I'du intègre par rapport à u entre o et 7.-. Pour bn, on procède de même, en multipliant par cos/iu. En s'appuyant sur les identités faciles à vérifier :

sin nu sin pu du = o, si n ^ />. 01=::, si n=^p:

(Sa) ' / s\n7iu co^pu du =o;

cosnu coi'pu du = o. si ji^p, et = -, si n=p.

on obtient

( 3'3 I f/„ = - / F(u)s\nnudu, bii= - i F ^ u) cos^nu du .

Nous admettrons ([ue les coefficients ainsi calculés conduisent à une série convergente et que la somme de cette série représente bien la fonction F{u).

Finalement, notre proposition est démontrée et nous connaissons le moyen de calculer les harmoniques successifs, dont la superposition doit reproduire le mouAcment donné.

Le développement (3 i) porte le nom de série de FoiiJ'ier.

27. -MouvEME.\T VIBRATOIRE AMORTI. — C'est lin mouvement défini |)ar une équation de la forme

( 34) -^ = e~^' sinw /,

k désignant une constante positive. Ce n'est jnis un mouvement périodique. Toutefois, si T désiono la période tlu sinus, le i liani^euient

3o flIAlMTKE H.

(le / (Il / -|- T donne à I éloni;aUon la valeur

( ;; ( I ri = e-A(n T) si ji co < = e-'^'^x = D:r,

en p(».sanl

Viilicmenl dit, la n(3nvelle él()ni;ali()n se (k'diiil de la première, eu la imdllpliant ]iar le lacleiir conslanl D, (juOn appelle le décrênienC el d(tnl le logarithme népt'i'ien — / T est appel(!' (^ec/Y'/»c/?^ logaritliniique. >*ous dirons cpie le niomenient défini j)ar rélongalion Xx est liornot liélique, dans le rapp(»n D. du mouvement (U'fini |)ar r('d(:»ng"aliiin ,r.

D'après cela, il suffit, pour connaître le mouvemenl en entier, de l'étudier p(nidaiit un intervalle ([uelconque de longneur T, par exemple entre les ieuij)s o el T. Le mouvement pendant la ( n + l'y^^^ période se déduira du mouvement pendant la première |)ériode par \M\v liomolliétie dans le rapport 13". Puisque D <^ i, ce rapport décroît constauiuient et tend vers zéro, |)our n infini. Le mouvemenl devient donc de plus en |)lus restreint et tend asjmptoticpiement vers le repos. C'est ponr cela (ju'on dit qu'il est amorti. L'amortissement est d'autant plus orand, au Ixiul dun n(unhre donné n de périodes, que le d(''erenienl D est plus petit, c'est-à-dire (pie l'exposant / T ot plus grand.

L'amortissement au hou! d un teui])s t donné est uiesuré par le lacteur e'^^. Ce fact(;ur est d'autant plus petit que /. est |)lus grand. C.'est donc ce coeKicienl /. ijui mesure, en quelque sorte, la /v//)/V//7g' de l amortissement.

2S. Etade du mouvement pendant la première période. — Calculons la vitesse

(3-1 \> ■= -—=:e-'''{ — / siiuo/ -I- (0 costo/)-

cit '

i'-^lle s'annide ponr

(hiaiid t croît de o à ï. o)t croît de o à a — ; donc tango)/ s'annule deux fois. .Si nous supposons d) positif, la vitesse s'annule pour la

MOUVEMENTS POKCTIELS RKMARQIABLES.

preml(^rr fois au temps t, compris cnlre o et -;- et, pour la seconde

fois, au temps ^0= ^i+ ~' ^^^ élongalions correspondantes sont

Xi = e—'''t sin o) ti = e'

On a le tableau de variation suivant :