P =— OC X '^U

Celte formule peut s'interpréter en disant que la vitesse du point B est êquipollente à la vitesse qu'aurait le point C, s'il était invariablement lié à la manivelle.

Cette vitesse s'annule quand C vient en 0, c'est-à-dire quand A passe en l> ou en E' ou, comme on dit, par les points morts.

On peut aussi songer à chercher le maximum de OC, afin d'en déduire le maxinuim de vitesse de B ; mais cette question n'est pas simple et conduit à une équalion du troisième degré.

Le mouvement du point B est un mouvement oscillatoire périodique, dont la période est la durée d'un tour complet de manivelle, c'rst-à-dire

T = — '- ' Cherchons l'équation de ce mouvement, c'est-à-dire l'expres-

sion de l'abscisse .r de B en fonction du temps ou. ce qui revient au même, en fonction de l'angle polaire a = w ^ de A. Appelons 'jj l'angle

(bA, BOJ = \AB, Oj: j. En projetant le contour OAB sur O.r, nous avons

(4) X =z Rcosu ^r- 1 coso.

Reste à calcnler o en fonction de u. Si nous appliquons la relation des sinus au triangle ABO, nous avons

si no sin«

C) .'"ir = -r-

Les formules (4) et (5) résolvent la question.

48 CHAPITRE m.

On peut en déduire, par exemple, la vitesse de B et retrouver la formule (3). Nous laissons au lecteur le soin de faire ce calcul facile. Nous allons plutôt cherclier à calculer une expression plus simple, mais

approchée de a-, en nous appuyant sur ce fait que le rapport e = — • est

toujours assez petit et ne dépasse guère, dans la pratique, la valeur-- L'équation (5) nous donne

sincp ^= e sin u ; d'où

coso = (i — c^ sin-j«)-.

Développons le second membre par la série du binôme, en négligeant

les termes en e'' et de degré supérieur (si e=z -^ e"* = - — i

— e- sur // =z 1 { I — cos 'i «).

Portant dans (4), il \ient

(6) JC = il l — — |-t-R( cos « + y cos 2 11

On \oil qu'avi;c celte approximation le mouvement du point B résulte de la superposition de deux mou\emenls vibratoires simples, de

périodes T et — • Le centre du mouvement a pour abscisse /( i ■ — 7" ) j

il est sensiblement à une distance de O égale à la longueur de la bielle.

Le second harmonique a une amplitude qui est dans le rapport y avec

l'amplitude du premier. Ce rapport est, dans la pratique, de l'ordre de -^ el l'on ne commet pas une bien grosse erreur en réduisant le mouvement à son premier harmonique. Gela re\ient à admettre q\ie le mouvement de la tige est identique au mouvement \ ibratoire simple que possède la piojection de A sur O.r.

Avec la formule (6), la vitesse et l'accélération de B deviennent

(7) tr = — Roj sin « (i H- e cos//),

(8) y =3 — ]\f,r (cos M -^- e cos 2 «) = — Ko)-| cos// -\- e{2 cos^ // — i)].

Le trinôme en cos« qui se trouve dans le crochet de y s'annule jxmr une seule valeui-, comprise entre o et i et dont le dé\ eloppement suivant

CINÉMATIQUE DU CORPS SOI-IOE. 49

les premières puissances de e est

(9) cos//i=:e(i — ne^).

Cette formule donne la position de la manivelle qui correspond au maximum de vitesse de la tige. En portant dans (7), on a la valeur de ce maximum :

(10) "1= W'iA I H

4. On considère deux disques plans limités par les courbes G et C, pouvant tourner respectivement autour des points fixes O et O' et assujettis à rester constamment en contact. Calculer le rapport de leurs vitesses angulaires, ainsi que la vitesse de glissement d'un disque sur l'autre.

Soit M le point de conlacl des deux courbes C et C au temps t. La vitesse de ce point par rapport à C et sa vitesse par rapport à G' doivent être toutes deux dirigées suivant la tangente commune MT. Si l'on applique le théorème de la composition des vitesses, on en conclut cjue

la vitesse d'entraînement MG, dans le mouvement de G' par rapport à C, par exemple, doit être aussi dirigée suivant cette tangente, et c'est précisément celte vitesse que l'on appelle la vitesse de glissement de G' sur G.

Pour trouver le vecteur MG, nous devons considérer le mouvement de G' par rapport à G. Ge mouvement est un mouvement plan, dont

nous allons chercher le vecleur instantané de rotation £2. A cet effet, remarquons que si l'on compose le mouvement absolu de G avec le mouvement de G' par rapport à G, on doit trouver le iiioii\ement absolu

de G. Il s'ensuit que le vecteur o', d'origine O', doit être équivalent au

système formé par le vecteur w, d'origine U, et par le \ecteur inconnu i^.

Autrement dit, ce vecteur il doit être la résultante des deux vecteurs (.)'

et — oj. Il a donc pour origine le point A de 0C>' tel ({ue

ÂÔ 0)'

AO' f-J

en outre, il doit avoir pour mesure algébrique f>>' — o) sur la perpendiculaire au plan de figure, (jue nous avons implicitement supposée Haag. — Exercices, III. l

5o cu.vi'iTiu; MI.

orientée dans un sens ([tielconque. Ceci rc.vicnl i\ dire que le mouvement de C par rapport à C donne lieu à la même distribution des vitesses qu'une rotation, de vitesse angulaire (>/ ■ — o), s'edectuant autour du point A, dt'terminé par (i).

Gela étant, pour que la vitesse d'entraînement MG de M soit dirigée suivant MT, il faut et il suffit que A se trouve sur la normale commune MN. Nous arrivons donc à la règle suivante :

Le rapport des vitesses angulaires est donnée à chaque instant, par la formule (t), où A désigne le point de rencontre de la ligne des centres 00' avec la normale commune MN auor deux disques.

Quant à la vitesse de glissement G, elle est due à la rotation aulour de A; elle est donc donnée par h» formule

(2) G = A.M.^Oj r„).

Il est bien entendu que. dans tout ceci, les vitesses angulaires <,) et m sont algébriques. Elles sont tle même signe, c'est-à-dire que les deux disques tournent dans le même sens, si la normale MN passe à l'extérieur du segment OU'. Les deux disques tournent, au contraire, dans des sens opposés, si M\ passe entre O et O'. Dans ce dernier cas, les vitesses angulaires s'ajoutent en valeur al)solue, dans l'expression {•?.) de la vitesse de glissement.

Pour que le /apport des vitesses angulaires reste constant, il faut et il suffit que A reste fixe sur OO . Par rapport aux plans des deux disques, il décrit alors des circonférences, de centres respectifs O et O'. Dans le mouvement de C par rapport à (], la deuxième circonférence roule sur la première. Autrement dit, les mouvements des deux disques sont ceux que réalisent deux roues :lentées, de centres O et O', engrenant l'une avec l'autre et dont les circonférences primitives sont tangentes en A. Les courbes C et G' constituent deux profils conjugués (n" 4-3), pouvant servir de profils aux dents de l'engrenage.

EXERCICES PROPOSÉS

1. Un corps solide tourne autour d'un axe de cosinus directeurs (rt, h^ c) avec la vitesse angulaire o). Galculer les composantes, suivant les axes de coordonnées, du vecteur vitesse du point M(.r, y, z). [Appliquer les formules (6) du n° 37.]

2. lùudier la composition des accélérations, dans le cas où le mouve-

CINÉMATIOl'E DU CORPS SOI.IDi:. 5l

ment d'entraînement est une rotation uniforme autour d'un axe fixe. I l^rendre l'axe de la rotation pour axe des -: du Irièdre mobile O^ry;;. Si (-r, >', z) sont les coordonnées relatives du point M, les coordonnées du point m qui décrit Thodoi^raphe sont

X r= ce' — ojy

r,)jC,

Calculer les composantes de sa vitesse suivant les axes mobiles, en lui appliquant les mêmes formules, déduites du théorème de la composition des vitesses et du théorème du n° 37. On trouve, en interprétant les formules ainsi obtenues, que l'accélération complémentaire (n° 16) est le double du vecteur vitesse d'entraînement que posséderait le point P(j? , y', ; ), extrémité du vecteur équipollent à la vitesse relative de M, mené par O.]

3. Ln volant tourne à la vitesse de i5o tours par minute. Calculer l'accélération, en unités C. O.S., d'un point situé à 3"" de l'axe. Comparer celte accélération avec l'accélération de la pesanteur,

k. Une turbine centripète est constituée par une série d'aubes telles que AA {Ji^^. ii)) faisant les angles a et a' avec les circonférences e.xté-

Fic. II.

rieure C et intérieure C. L'eau qui traverse cette turbine est amenée en A par un distributeur, dont l'aube DA fait l'angle b avec C. Soit i' la vitesse d'arrivée de l'eau. Soient R et R' les rayons de C et de C et co la vitesse angulaire de la turbine. Quelle doit être celte vitesse pour que l'eau pénètre dans la turbine sans choc contre les aubes? (Cela veut dire que la vitesse de l'eau par rapport à la turbine doit être dirigée tangen-

32 CIIAPITRK III.

liellement à laube AA'.) On suppose que la vitesse radiale de sortie est dans un rapport connu k avec la vitesse radiale d'entrée. Calculer (juel doit être l'angle a' pour que récoulement de Teau à la sortie se fasse radialenient, c'est-à-dire suivant le ravon A'O. Examiner le cas particulier où a est un angle droit.

Application numérique :

h = 20°. a = 90°, (• = 8"^ , 5o : sec. R = 2R'=o'",6o, A- = 2.

Calculer la vitesse de la turbine en nombre de tours par minute. (On trouve environ \9- tours par minute et un angle de sortie égal à 55"^.)

0. Une droite OX tourne d'un mouvement uniforme autour du point fixe O. Un point M décrit en môme temps cette droite d'un mouvement uniforme. Etudier le mouvement absolu de ce point. Chercher la trajectoire, le vecteur vitesse, rhodoL;raphe, le vecteur accélération. (L'hodographe peut se déduire d'une développante de cercle en prenant le svmélrique de chaque point par rapport au centre de courbure. Le vecteur accélération peut être obtenu au moven de l'hodographe ou bien au moyen de l'Exercice n° 2.)

G. Quel est le lieu des points qui ont une \ itesse ou une accélération de grandeur donnée dans un mouvement hélicoïdal?

7. Reprendre l'Exercice résolu n° 2, en remplaçant la translation circulaire par une translation rectiligne et uniforme. Quels sont les liodographes des différents points du plan? (Cercles concentriques.)

8. Un point M est animé d'un mouvement hélicoïdal d'axe A. l'Audier le mouvement de sa projection oblique sur un plan j)erpendiculaire à A. (Se ramène au mouvement de l'exercice précédent.)

0. L liiilice d'un navire fait iio louis parininute. Son pas est de 5'" ,5(). Le recul est de 10 pour 100 (c'est-à-dire que l'avancement du navire est inférieur de 10 pour 100 à ce qu'il serait si l'hélice pouvait être assimilée à une vis de même pas se vissant dans son écrou). Calculer la vitesse du navire en kilomètres à l'heure et en nœuds. (Le nœud est la vitesse de i mille marin par heuie; le mille marin vaut i855'".)

10. Une roue dentée de iv.*^'" de ravon et de T)», dents engrène avec une vis sans fin. Quel doit être le pas de celte vis et quel est le rapport des vitesses angulaires de la roue et de la vis?

CINÉMATIQUE DU CORPS SOLIDK. 53

10 bis. Une vis V porte deux filetages de pas A et /.'. Le premier filetage est engagé dans un écrou fixe E et le deuxième dans un écrou E', qui peut glisser le long de Taxe, mais ne peut pas tourner. De combien avance E' par tour de vis? (A" — A'. En prenant des pas très voisins, on peut obtenir un mouvement très lent.)

11. Un corps solide est animé d'un mouvement liélicoïdal. (D'après le n° 45, on pourrait supposer un mouvement quelconque.) On considère, à l'instant t, un point M de ce corps solide et son vecteur

vitesse M\.

i" Lieux de V et de la droite MV quand M décrit une droite donnée D {Cf. t. il. Exercice résolu n° i du Chapitre VIIL)

2° Lieu de M tel que la droite MV passe par un point donné. (Cf. t. II, Exercice proposé n° 33 du Chapitre \ III.)

12. Démontrer les propriétés suivantes du mouvement hélicoïdal (ou, d'après le n° io, du mouvement le plus général) d un corps solide.

1° Les vitesses des dilTérents points d'une droite D ont même projection sur celte droite. Cas où cette projection est nulle;

2° Les plans normaux aux trajectoires des dillerents points de D passent par une même droite D'. Cas où les droites D et D' sont confondues ;

3° Dans tout plan P entraîné par le corps solide, il v a un point M dont la vitesse est perpendiculaire à P,

(Ces propriétés sont la traduction cinématique de propriétés connues de la théorie des vecteurs. Cf. t. II, n°^ llo, l'26, 1:^5.)

13. Une sphère S est animée d'un mouvement hélicoïdal autour d'un axe passant par son centre. Trouver, sur elle, une courbe qui soit orthogonale aux trajectoires de tous ses points. (Les tangentes à cette courbe doivent appartenir à un complexe linéaire. Cy. t. II, Chap. XIV, Exercice résolu n° k.)

\ï. Reprendre l'Exercice n° 5, en supposant que la droite < )X tourne autour d'un axe O-, qui ne lui est pas perpendiculaire.

l.'i. < )n reprend l'exercice précédent et l'on detnande de déterminer le mouvement de OX pour que la vitesse absolue de M soit constante.

16. Démontrer le théorème de Savary (t. Il, Cliap. XXXIX, Exercice résolu n" 1) par la composition des rotations. [Soient C la courbe

54 CHAPITRE m.

base, C la courbe roulelle, 1 leur poiut de contact, 1 .r la tani^enle et 1 )' ia normale. Soient maintenant A et A' les deux profils conjugués, liés invariablement le premier à C, le second à C. Soit M leur point de contact, MX la tangente et MY la normale. Soient enfin O, O', P, P' les centres de courbure de C, C, A, A'. 11 faut prouver que les droites OP et O'P' se coupent en un point N. situé sur la perpendiculaire IN à IM. A cet efl'et, on considère le mou\ement de XAH par rapport à ccly comme pouvant être obtenu indifféremment par l'une ou l'autre des compositions représentées par les égalités symboliques

(XMY, xly) = (XMV, A) + (C, a^\y),

(XMY, .rlj-) = (XMY, A') + (C', .ri/).

On en déduit, par la composition des vecteurs instantanés de rotation (n° 46), que le point N doit être le centre instantané de rotation du mouvement des premiers membres. Mais, on sait que MY passe par I ( n" ï'2): on en conclut (n°4-2, théorème 11) que N se trouve sur la perpendiculaire à cette droite menée par 1.]

17. On donne, dans un même plan, deux manivelles OA et O'A', qui peuvent tourner respectivement autour de O et de O'. Elles sont reliées par une bielle AA'. Démontrer que le rapport de leurs vitesses angu-

' "rTT

lalres — = , B désignant le point de rencontre de 00' avec la

w BO'

bielle. En déduire les points morts de O'A' (c'est-à-dire les positions

de vitesse nulle), dans l'hypotlièse où Ton a les inégalités suivantes :