R + IV

Ce dispositif est fréquemment employé dans l'industrie, entre autres dans certains changements de vitesse de bicyclette.)

22. Une roue dentée C, de rayon R, peut tourner autour de son centreO avec une vitesse angulaire a. Un satellite C, de rayon R'=/nR, roule extérieurement sur C. Soit A son centre et soit b la \itesse angulaire de OA. Une manivelle AB est solidaire de C. Elle est articulée en R avec une bielle BD, de longueur égale à 0.\, laquelle est articulée en D avec une autre manivelle OD, égale et parallèle à AB, mobile autour de 0 et de vitesse angulaire c. Trouver la relation qui existe entre les trois vitesses angulaires «, 6, c. Que devient cette relation quand on fixe lune des trois pièces C, OA, OD?

[La vitesse angulaire de OD est [la même cjue celle de S. On ramène le cas général à celui où OA est fixe et l'on trouve

23. Reprendre l'exercice précédent, en intercalant entre C et G' un satellite auxiliaire G". (G" a pour unique efl'et de renverser le sens de rotation de G' par rapport à OA; ce qui revient à changer le signe de m dans la formule précédente. Dans le cas où la roue G est fixe, on a

b ni

On peut faire tourner OD dans un sens ou dans l'autre, suivant que H' est plus petit ou plus grand que R. Si les deux roues sont égales, OD reste immobile. Si les deux roues ont des rayons très voisins, on peut obtenir une rotation très lente de OD, c'est-à-dire une très grande démultiplication entre les vitesses de OA et de OD.)

2i. Deux roues dentées égales A et A' sont montées folles sur le même axe. Une pièce M tourne autour de cet axe avec la vitesse angulaire cj. Elle porte les axes de deux satellites S et S' également fous et eng'-enant extérieurement entre eux, S engrenant en outre extérieurement avec A, et S' avec A'. Démontrer que la somme des vitesses angulaires des deux roues est égale à 20). (Se ramener, parla composition des vitesses angulaires, au cas où .M est fixe; les deux roues tournent alors avec la mêmi» vitesse, en sens contraire. Ge dispositif porte le nom de difjéreriLiel.)

25. Soient deux courbes planes G et G', qui roulent l'une sur l'autre et soit lo leur point de contact initial. On prend une troisième courbe plane B quelconque et on la fait louler successivement sur (j et G', en faisant coïncider, dans les deux cas, le même point de B avec Iq. Un point V invariablement lié à B décrit, de la sorte, une courbe A dans le plan de G et une courbe A' dans le plan de G'. Démontrer que ces deux courbes sont deux profils conjugués (^ n° 43). (Si l'on fait rouler simultanément G' sur G et B sur G', B roule aussi sur G. Si I désigne le point de contact commun au temps /, la droite II* est, à cet instant, normale en P à A et à A'; donc ces deux courbes sont tangentes. Gel artifice est employé, dans le tracé des engrenages, sous le nom de méthode des épicycloïdes.)

26. Appliijuer la méthode précédente, en supj)Osant que G, G' et B sont des cercles. Gas où B est deux fois plus petit que G' et roule intérieurement sur lui (A' est un diamètre de G'; on obtient un engrenage à firmes rectilignes). Gas où B se confond avec (>' (A' se réduit à un point; on obtient Vengrenage à lanterne).

27. Soient deux circonférences C et C, qui tournent autour de leurs centres respectifs O et O', supposés fixes, en roulant l'une sur l'autre. Far leur point de contact I, menons une droite fixe ID et soient B et R' les circonférences tangentes à cette droite et de centres respectifs O et O'. On suppose que B est solidaire de C et B' de C. On imagine, en outre, que la droite D glisse sur elle-même, de manière à rouler sans glissement sur B'. Montrer qu'elle roule, en même temps sur B. (Gela revient à montrer que les vitesses d'entraînement des points de contact M et jM' de H et B' avec D sont égales, ce qui est évident, car elles sont dans un même rapport avec la vitesse de I.) En déduire que les développantes des deux cercles B et B' qui sont issues d'un même point P de D constituent deux profils conjugués. {Engrenages à développantes de cercle.) ,

28. Deux cônes de révolution de même sommet O tournent autour de leurs axes respectifs supposés fixes, en roulant sans glissement l'un sur l'autre. Calculer le rapport de leurs vitesses angulaires. (Rapport inverse des sinus des demi-angles au sommet. On peut écrire que la vitesse d'un point de la génératrice de contact est la même sur les deux cônes. On peut aussi remarquer que la difîerence géométrique des deux vecteurs instantanés de rotation doit être dirigée suivant la génératrice de contact. Cette liaison est réalisée matériellement par les engrenages coniques. Les cônes précédents sont alors appelés les cônes primitifs.)

29. Deux roues dentées coniques A, de ravon a et A', de rayon a', sont montées folles sur le même axe 0\. Leurs cônes primitifs ont pour sommet commun O. Deux autres roues B, de rayon h et B', de rayon b\

Fig. 12.

sont montées folles sur l'axe 0^ , mais sont solidaires l'une de lautre. Leurs cônes primitifs ont encore pour sommet O. En outre, B engrène avec A et B' avec A'. On fait tourner OV autour de OX a\ec une vitesse

angulaire p. Soient a et c/J les vitesses de A et de A', Chercher la relation qui existe entre ces trois vitesses. ( Se ramener au cas oii OY est immobile. On trouve

30. Que devient la formule de IVxercice précédent quand les roues A et A' sont de part et d'autre de O? (Changer le signe du rapport.) Cas où elles ont, en outre, même cône primitif. (On a a + a'=;^(3. C'est ie

Fis. '3.

principe du dijjérentiel d'automobile. Les roues A et A' sont solidaires des deux roues motrices et la vitesse p est proportionnelle à celle du moteur.)

EXERCICES RESOLUS

1. Soient deux points fixes A et A'. Un point M est attiré par chacun d'eux suivant une force égale à l'inverse du carré de la distance.

1° Construire les lignes de niveau et les lignes de force ;

1° Le point M étant lancé à partir d'un point quelconque de AÂ', avec une vitesse dirigée suivant cette droite, étudier le mouvement qu il va prendre sous V action des deux forces précédentes. Construire les diagrammes des espaces et des vitesses, dans le cas particulier suivant : A A' zzz 4o ; Mq est à la distance 4o du milieu de-AX' ; la vitesse initiale est nulle : la masse du point M est égale à i.

i'^ La fonction des forces est (n" 62)

/• el /•' désignant les distances MA et MA'.

Les surfaces de niveau sont évidemment de révolution autour de AA' et il suffit de construire leurs méridiennes, c'est-à-dire les lignes de niveau dans un plan quelconque passant par AA'. Si l'on prend les points A et A' pour pôles, ces lignes ont pour équation générale, en coordonnées bipolaires, l'équation (i), où U doit être regardé comme une constante.

Soit à construire la ligne U j= -^ ' A. étant une longueur donnée. Appelons ia la distance AA'. Quitte ;i faire une symétrie par rapport à la perpendiculaire Oy au milieu de AA', nous pouxons supposer, par exemple,

6o CHAPITRE V.

Il finit, on outre, pour que Ton puisse conslruiie le triangle MAA', que Ton ait

/• — /• ia.

Cela posé, nous calculons /' en fonction de /', au moyen de l'équation (i). et nous faisons vajier /• dans des limites telles que l'on ait constamment les inégalités (2) et (3), /' devant, en outre, être positif. Si Ton porte la valeur /' donnée par

dans (2), on trouve que Ton doit avoir

D'ailleurs, si /• =r A, on a aussi /' nr A et la première inégalité (3) exige que A >> a.

Si l'on porte (4) dans (3), on obtient les deux inégalités'

(7) • /■- — (A + 2«)/- -+- aA^o.

Le premier trinôme en /• n'a ses racines réelles que si A -< «. Le second a. au contraire, ses racines toujours réelles. De toute façon, nous sommes conduits à distinguer deux cas : '

Premier cas : A /> «. — L'inégalité (G) est vérifiée identiquement. Pour (jue (7) le soit, il faut que /■ soit compris entre les racines. Gomme on doit, en outre, avoir (5 ) et que A est compris entre les racines de (7 ), on doit avoir, en définitive,

Si /■ parcourt cet intervalle en croissant, le point M part d'une certaine position sur Oj, pour aboutir à une certaine position sur O^, à gauche de A'. La courbe est une courbe fermée, entourant A et A'.

Deu.rième cas : A <ia. — A est compris entre les racines de (6); donc, /• doit être supérieur à la plus grande racine de ce trinôme. Comme A ne cesse pas d'être compris entre les racines de (7), r est, de ce fait, supérieur à la plus petite de ces racines ; il doit, en outre, être

DYNAMIQUE DU POINT. 6l

inférieur à la plus grande. On doit donc avoir, en définitive,

(9) (7 + V^a^— aA</-^« H ^\/^''

Si /• parcourt cet intervalle en croissant, M part d'un point de Ox situé entre O et A', et revient sur Ox, à gauche de A'. En complétant par symétrie, on voit que la courbe se compose de deux, courbes fermées entourant respectivement A' et A et ne rencontrant pas Oy.

Dans le cas intermécliaire où A = a, la courbe admet l'origine pour point double; elle ressemble à une lemniscate de Bernoulli.

La tangente en un point M quelconque d'une ligne de niveau s'obtient en construisant la résultante des deux, attrétctions ; la tangente cherchée est perpendiculaire à cette résultante (n° 61). Cette construction est toutefois en défaut lorsque M vient en O (cas A = a), car la résultante des attractions est nulle, et l'on ne sait plus quelle est sa direction. Nous savons d'ailleurs que O est alors un point double. Pour avoir les tangentes en ce point, on peut procéder comme il suit.

Soient (o", y) les coordonnées cartésiennes infiniment petites d'un

point de la courbe voisin de O. Calculons la partie principale de U. En

écrivant

I \ ( IX x^' + y-\ '^

développant par la série du binôme et remarquant que -7 s'en déduit en changeant x en — x, on obtient

, - 2 "ix- — y-

2 2 x~ ^— y^ Si U :rr - , les termes de moindre deçré de l'équation sont r^ — et

les tangentes à l'origine ont pour équation

(10) y = zt x\f^.

Sur la figure i4, on a construit les courbes

iooU=4. 6, 8, ..., 18,

en prenant a = 20"'™. A cet efTet, on a calculé, à la règle, les valeurs de /' correspondant à des valeurs de /• échelonnées de 5 en 5 et assujetties

aux conditions (8) ou (9). Les résultats sont consii^nés dans le Tableau

ci-dessous :

/- ^7 75 70 55 bo 55 5o

1 on i; :^ 1 2 .

10(iU=14. ^_______

lOOU^lO.

100 u r^lS.

Par des intersections de circonférences, on a construit les points correspondant à ces couples de valeurs de r et de /' et l'on a joint les points correspondant à une mènne valeur de U.

On peut remarquer que /' varie très peu pour les grandes valeurs de L , de sorte que les lignes corresjjondanles sont sensiblement des cercles de centre A' ou A.

Lignea de force. — Nous allons chercher leur équation dinérenliellc en coordonnées bipolaires. A cet ed'et, résolvons d'abord le problème général suivant :

Soient deux foiicLinns de forces U et V, données en fonction de r

et de /•'• Quelle lelaLiuii doit-il exister entre elles pour que les lii^nes de niveau correspondantes soient orthogonales?

Les composantes de la première force suivant MA et MA' sont

dr''

comme on le voit en identifiant le travail élémentaire avec la différentielle dV . On a des expressions analogues pour les composantes b et b'

de la deuxième force. Ces deux forces doivent être perpendiculaires, ce (|ue nous exprimerons facilement en écrivant que leur produit scalaire

est nul (t. Il, n" 104) :

ah + a' b' -+- {ab' -+- ba') cosM = o. En tenant compte de (ii) et remarquant que

cos M — -— i — ,

'.i rr

la condition cherchée s'écrit finalement

('^) ''' \dr Or ' ôr- àr'

Prenons maintenant pour U la fonction (i). Le long de V = const., on doit avoir

(i3) -—dr+-—dr' = o.

or Or

, . . ' . d"< ds

\lw éliminant les variables homogènes -7- et -—7 entre (12) et (i3), on

Or Or ^ /7

obtient l'équation difTérentielle cherchée :

(i4) 'xrr\r'-dr'—r'-dr) + (/-^^ r'"- — [^a''-){r^dr' — r"'dr) — o.

Cette équation s'intègre en faisant le changement de variables

(i5) r + r' =z u^ r — r'.=zi>.

On aboutit à une équation de Riccati, si l'on regarde u^ comme la fonction inconnue. On aperçoit, d'autre part, la solution particulière m" =r a- ; on peut donc intégrer par quadratures (t. 1, n° 323). Nous laissons au lecteur le soin de développer tous ces calculs et nous indiquons seulement le résultat :

/ A> 2 «'(AC — 4rt-)

A désignant la constante d'intégration.

En écrivant les é(|uations cartésiennes des deux cercles de rayons r et /■' et de centras A et A', on calcule aisément <r et y- en fonction de 11

et de c. En teiianl compte de (j6), on trouve ensuite

, , ., '■^(Ac — 4a-) , A(v^-U(')'

Oïl a donc les équations paramétriques des lignes de force.

Nous allons construire ces lignes pour des valeurs échelonnées de A.

Cette constante ne peut être négative, si nous continuons à supposer

r >- /•', c'est-à-dire v > o, sans quoi y'^ serait négatif. A étant supposé

positif, la réalité de y exige c > A ; puis, celle de a: exige <• <C — r- • Ces

deux inégalités ne sont compatibles que si A ■< 2rt.

Pour que /' soit positif, il faut ?<>('; en tenant compte de (i6), cela

donne c << 2a, limite qui est intérieure a — — •

En définitive, nous devons seulement faire varier c de A à 2a(').

Lorsque p tend vers A, j[; et y deviennent infinis, le point M s'éloigne indéfiniment, en se rapprochant de l'hyperbole qui a pour foyers A et A' et pour longueur de son axe réel A. Cette hyperbole est donc asymptote à la courbe.

Lorsque c =: 2a, JK = o et a: =:± a. Chaque ligne de force passe donc par A et A'. L'angle Vque fait la tangente en A avec Oj: est donné par la formule

(18) cos— = 1 /

On peut établir ce résultat en remarquant que V est la limite de l'angle M

dont le cosinus a été calculé plus haut. On peut aussi le déduire du coef-

dv ficient angulaire -^ de la tangente.

En calculant la dérivée de y^ par rapport à v, on constate que cette dérivée reste négative lorsque c croît de A à 2«; donc y décroît constamment. En opérant de même pour 07, on constate que x-- décroit constamment si A > a, et passe par un minimum si A -< a.

En supposant toujours a -= 20, nous avons construit les lignes de forces A = 5, 10, . . . , 35. Pour chacune, nous avons calculé les coefficients

C) Si t» variait de aa à ~— 7 le point iM décrirait une ligne de force correspondant au cas où A' serait répulsif, car, /' devenant négatif, la fonction des forces serait, en réalité, en rétablissant le sicne de r', ;•

IIaag. — Exercices, III. 5

65 ciiAiTiaE V.

angulaires dz ni des asymptotes et l'angle \ de la tangente en A avec Ou . Nous avons ensuite calculé .r et/ pour des valeurs convenablement échelonnées de ('. Les résultats sont consignés dans le Tableau ci-dessous, et les courbes sont tracées sur la figure 14.

A =z 10. in = 3,87, V= 120".

f II i3 i5 20 25 3o

y 58,6 32.8 24,2 i5 lo 6,2

A = 30, m = 0,88, V = GO". A = 35, w = 0,55. V = 41".

2" Les conditions initiales et la loi de f<»rce étant symétriques par rapport à Ox, le mouvenr.ent a lieu suivant celte droite. II est déterminé par rintégjale des forces vives, que nous écrivons

la constante A étant donnée par

(20) h=V„~ - mrl.

Pour se rendre compte aisément des diflerentes cii constances du mou-

vement, il est commode de construire la courbe qui donne U eu fonction de X {fig. i5).

Fig. i5.

U^-ikn

-Xj

— iw,