VO
Pour que r soit réel, il faut que U >■ A.
Premier cas : A ■< 0, c'est-à-dire c o >
Quel que soit .r,
U — h reste positif, la vitesse ne s'annule jamais. Il en résulte que le point M se déplace constamment dans le même sens et s'éloigne inclé-
, . . . , / ih . . .„
/miment, avec une vitesse qui tend vers i / , ce (jui signifie que
le mouvemei'.l tend rers un mouvement uniforme.
Deuxième cas : n <; /i<; -, c'est-à-dire — ( L\ )<''o< —
La droite l = fi rencontre la courbe (U) en deux points R et R', projetés sur Ox en deux points C et C, de milieu O. Chaque fois que M passe par un de ces points, la vitesse s'anaule. M ne peut d'ailleurs sortir du segment CC, sans quoi U deviendrait plus petit que // et la Wtesse deviendrait imaginaire. En particulier, ceci nous prouve que la position initiale M^ se trouve nécessairemeni entre C et C . Si nous supposons, pour fixer les idées, que la vitesse initiale est dirigée dans le sens positif de Ox, le mobile se dirige d'abord vers C; il atteint ce point au bout
r>8 CHAPITRE V.
d'un temps qui est donné par l'intégrale
,Vx désignant Fabscisse du point C. La fonction sous le signe / devient
infinie à Textréniité de rintervalie d'intégration; mais son ordre d'infi-
nitude est - , car la figure i5 montre que x^ est racine simple de U — h.
On en conclut que l'intégrale a une valeur finie (t. I, n°15Y). Le point C est donc atteint au bout d'un temps fini. Le point M revient ensuite en sens inverse et repasse aux mêmes points que précédemment, avec des vitesses opposées et à des époques symétriques par rapport à l'époque /[. 11 atteint C au bout d'un temps fini, pour la même raison que précédemment, l^uis, il repart dans le sens positif, revient en C et ainsi de suite. En définitixe, le mouvement est une oscillation périodique entre les positions eœtrcines C et C. Elle admet d'ailleurs le point () pour centre de symétrie, par suite de la symétrie de la courbe (U) par rapport à l'axe OU. Sa période est 4 F, T étant donné par l'intégrale
X'' dx
Troisième cas : h >■ -? c'est-à-dire c r <— ( Un )• — La droite
a in \ a j
U r=: A rencontre la courbe (U) en deux points tels que S et T. En raisonnant comme précédemment, on voit que le mouvement est une oscillation périodique entre les points D et E, projections de S et T. Mais, cette fois, il n'y a plus de centre de symétrie. Si x^ et x.2 sont les abscisses de T et de S, I,a période est 2T, avec
/''« dx
Cas intermédiaire : /<:=-, c'est-à-dire «'„ =: — (Un )• — Le
jint S vient en Q et T vient en P. La racine.?-, est toujours simple;
lais x.,z=i(\ est racine double. Lorsque x tend vers zéro, la quantité
)us le signe / dexient infiniment grande du premier ordre; donc, i'in-
DVNAillOLE DU POIXT. 69
té^rale est infinie. Autrement dit, le point M tend asyniptotiquemml vers O. Il n'y a plus d'oscillation périodique.
Remarques. — I. Toutes les fois que M passe par A ou A', sa vitesse devient infinie. Ceci est évidemment purement théorique et n'a aucun sens au point de vue expérimental. Dans la pratique, chaque point attirant a des dimensions finies, et un choc se produirait avant qu'il ne fût atteint par le mobile.
II. Dans le calcul du temps par une intégrale, il faut bien prendre garde que Vexpression algébrique de U en fonction de x n'est pas la même suivant que AI est à droite de A, à gauche de A' ou entre A et A'.
III. L'intégrale qui donne le temps ne peut pas se calculer par les fonctions élémentaires., car elle porte sur un radical du quatrième degré. Il n'y a exception ([ue dans le cas intermédiaire signalé plus haut, car, on peut alors faire sortir x"^ du radical et il ne reste plus, sous ce dernier, qu'un trinôme du second degré. Nous laissons au lecteur le soin de développer l'intégration dans cette hypothèse.
Application numérique. — Le mobile part du point G sans vitesse initiale. On se trouve donc dans le deuxième cas. Il nous suffit d'étudier le mouvement de G à 0, la suite s'en déduisant par symétrie ou périodicité. On a
X^ dx I — r"
Pour calculer numériquement celte intégrale et construire le diagramme des espaces, nous appliquons la méthode des trapèzes., en prenant des intervalles partiels égaux à 2. Toutefois, la méthode ne s'applique pas au premier intervalle ^ parce que la fonction à intégrer y devient infinie. IXous tournons cette difficulté en posant j? = 4^ — ^ ^^ remplaçant la quantité sous le radical par son développement suivant les puissances de z, arrêté au terme du second ordre ('). En appliquant les méthodes du Chapitre VIII du Tome I^ on trouve
f' dz \/3bo
En appliquant ensuite la méthode des trapèzes, nous avons obtenu le
(') On pourrait, avec une approximation moinche, se limiter au tanne du premier ordre; les calculs seraient un peu plus sim[)!es.
ïableau' suiranl, où nous donnons en même temps les viles^ses, évaluées
lOI
iS
Les diagrammes sont reproduits sur la figure i6(').
La tangente en O au diagramme des vitesses s'obtient en dérivant (19)
par rapport au' temps et faisant x^='.\(y. On trouve .i-" ^=. ]>a tangente cherchée passe donc par le point ( / := 72, c =: )• On trouve
de même que la tangente au point d'arrivée du même diagramme, qui correspond à j; = o, est horizqntale. Enfin, le diagramme admet une asymptote t rzz i35^ correspondant à jr = 20.
Pour le diagramme des espaces, la tartgenle au point de départ est horizontale. Ou pent calccrler le ravon de courbure, puisq>ue t'en connaît
la dérivée seconde .r" =
Mais il faut prendre garde aux ('chelles.
L'umiité de 'temps est représentée paro""",.") et l'unilè d'espace pars"""*. On en conclut que, si (T, X) désignent les coordonniées d'un point du dlagracame é\alué;es. en naiUBmètires, on a
et
(') La préf-rsron' Hes réstrltsts nnmérfcpTPs est évidemment strpcrtlnc p;ir rapport à, celle (Jii (Jtcs&in. En rcaliLé, celui-ci (ie\rait èlie cxécuLé \\i ime (•<ù\^\\& lj«aucoup plus gran/le, sur du f);ipicr millimélré, pai' exemple.
DYNAMIQUE mj POINT.
Le rayou de courbure, qui «si fiiarerse de oell« dérivée seconde (l. II, u° 313), est >doJic ég'al ^à 90™™. Gra en d-édait le tracé do cercle de coa-r-
Eig.
iG.
fe
ÎQ
rp^-
lOD
bure, qui est très utile, car il se confond pratiquement avec la courbe
iusqu'à / ::^= 100.
^ ^ i83 Au point d'arrivée, le coefficient angulaire de la tangente est — — •
Comme la dérivée seconde est nulle, ce point est un point d'inflexion, et la tangente se confond avec la courbe sur un assez long parcours.
An point (i35, 20), la tangente est verticale; ce point est encore un point d'inilexion.
2. La résistance en kilogramnies-poids que doit vaincre un cycliste roulant, en air cahne^sur un soi horizontal, est (*)
R = 0,01 F + o,oo5SY*,
('j Cf. Bocni.ET, Bicyctcs et bicyclettes, l. II, p. x<) (Gaulliicr-Yillars).
ya CHAPITRE V.
P désignant le poids total en kilogrammes du cycliste et de sa ma- .cliine, S sa surface en mètres carrés et V sa vitesse c/i kilomètres à l'heure.
1° Démontrer que le travail minimum pour parcourir un espace donné en un temps donné est obtenu quand le mouvement est uniforme.
2° Quelle est la puissance développée par le cycliste s'il fait 20'''" à l heure, en palier., son poids étant de 8o''s et sa surface de \ mètre carré ?
3° Avec quelle vitesse pourra-l-il monter une rampe de h pour 100, en développant toujours cette puissance?
4° Etudier son mouvement dans une descente en roue libre.^ sur une pente de 5 pour 100.
1° La résistance est de la forme
(2) V, = a + bv''.
Soient e et T Tespace et le temps donnés. Si le mouvement est uniforme et de vitesse V, on a
(3) e = VT, G = (« + 6V2)c'.
Supposons maintenant que la vitesse ne soit pas constante el posons
On doit a\oir
e=f {Y -hir)dt = \T + f svdt
OU
(5) / wdt^=^o.
Le nouveau travail est
G'= f {a -^ b\''-h 2b\ (v -h bsv^) d.r.
L'accroissement de travail est
dx
(G) à(^=z2b\ f ndx-hbf (T'2
Le second terme est positif. Quant au piemier, il peut s'écrire, au fac-
leur o h\ près,
/ ^vdx=l w{\+w)dt = \l svdt-^i w-dt=i w^dt,
d'après (5). Il est également positif et l'on voit bien que le travail est augmenté. c. Q. F. D.
2" La puissance, en kilogrammèlres par seconde, est
O = R -y^ == I , 8 X — ^ =: lO,
ce qui fait t^^ de cheval ou o,i33 IIP.
3° Dans la montée, le travail du cvcliste égale le travail de la résistance R, augmenté du travail du poids P. Si i> désigne la vitesse en mètres par seconde, on doit avoir
10 — (R -+- P X o,o5)t' m (4,8 + 0,00^5 X 3,6 v-Ji'.
Cette équation du troisième degré n'a <[u'une racine positive, qui est approximativement égale à 2,024. En multipliant par 3,6, on a la vitesse demandée en kilomètres à l'heure, soit 7'^™, 3.
4° Prenons les unités M. K. S. (n° lli). L'équation difl'érentielle du mouvement est
dç / K ^
(7) So—=g{Pp — R) = g,Si (,3,2 — 0,0020 X 3,6 v'-J.
La vitesse initiale étant supposée uulle, on en tire
20 dç
en posant
„ f' 1 dv 12,5 ,5 , t'i ,0 / —, = Loi; —
Si l'on pose
Pi
(10) ^' r- Z -;r- =r- o,o3qo/,
on tire, de (8),
(11) r=zr, Ih/'; d'où, en intégrant,
(12) •*■=/ i'dt= «'i th/'x — r//':= 25iLog(clw').
La formule (11) montre que la vitesse va constamment en croissant et tend asymptotiquement vers la vitesse limite ij, qui équivaut à 35'<-™,8 à riieure. Pour avoir une idée de la rapidité avec laquelle celte vitesse est pratiquement atteinte, cherchons au bout de combien de temps le
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rapport — atteint les valeurs -^ et -^^-^ • ^ t'i JO 100
A cet effet, nous utilisons la formule (8), qui s'écrit, en prenant des
logarithmes viïîgaires,
(13) t= : — — rrry^O^l — l = 2Q,,llo£
On trouve ainsi que les temps clierchés sont respectivement de 87 et 67 secondes. On peut dire qu'a« bout d'une minute^ le mouvement est pratiquement uniforme^ la xntesse étant em>iron 36 hiloniètres à r heure.
