Un point parcourt la courbe (i) r" = a" CCS nO
suivant la laides aires par rapport au pille. Calculer la force en fonction de r.
Applifjuons la formule de Binet (n**(>9). En dérivant logarithnii(iuement (i), on a
(2) u' z= u lang nO;
en dérivant encore une fois, il vient
u laoii-nO H — ^,
cos^ n 0
„ n -h cos^/iO -\- sin^nO
u" H- a = u — , rr: ( // -t- I )
DYNAUnOTJE OU POINT. 75
l]ii porlanl dans la foriiuile de lîinet, on obtient
^ ' J fin i-i *
k. Un point M, de masse i, esl soumis, de la part du point fixe 0,
à une attraction é^ale à —:• Déterminer son mouvement. Montrer
qu'on peut toujours choisir La vitesse initiale de telle manière que la trajectoire soit un cercle passant par O. Construire la trajectoire, ainsi que le diagramme (/•, /), pour les conditions initiales suivantes :
r,=z2, r,,= 2, OMoVo=45''.
Nous avons une force centrale, dérivant de la fonction U ^ — r* La tra-
jectoire est plane et les équations du mouvement en coordonnées
polaires sont données par Tintégrale des aires et par l'intégrale des forces
vives (n" 68)
(j) r^dB — Cdt,
ou
( 3 ) dr- + r^ dO-^ =r ( 4 -^ J^ ) ^^'•
Pour a\oir Téquation de la trajectoire, nous éliminons dt entre (i) et (3); il vient, tous calculs faits.
r'' Cdr
Le temps est ensuite donné par (i) :
/" r'dr
Ces intégrales ne peuvent pas, en général, se calculer par les fonctions élémentaires. Les seuls cas où cela est possible sont obtenus quand le trinôme sous le radical a une racine double ou bien s'abaisse au second degré. Le premier cas conduirait à une courbe transcendante, que nous laissons au lecteur le soin de calculer. Le second cas est obtenu
76 CIIAPITRlj; V.
pour // =: o, c'esl-à-dire ('0 = -7^' L'intégralioii est alors immédiate et
donne
v/2 (6) r— ■î-:^sin(Q + 9) (9=:consl.),
ce qui est Véquation polaire d'un cercle passant par le pôle.
Application numérique. — On a h zzz -—- QuanI à C, on peut l'écrire
'■o-''o5o = ''o'"osin45°= 2 \/2.
L'équation (4) devient
Au temps zéro, la composante radiale de la vitesse est négative; donc,
si nous choisissons le sens positif de rotation du plan dans le sens du
clr mouvement, — ^ commence a être négatif et il faut commencer par
prendre le signe — dans la formule (7). Comme le trinôme sous le radical doit rester positif, /• décroît jusqu'au moment où il atteint la plu^ grande racine de ce trinôme, racine qui est égale à i,33. Puis, /• se met à augmenter jusqu'à l'infini; il faut alors prendre le signe 4- dans (7). Au lieu de calculer l'intégrale (7), nous allons calculer
et, de même,
/ > , , /■- dr
Les valeurs de Ô et de f s'en déduiront en ajoutant les valeurs de 0' et de l' pour r=z 2.
Nous avons calculé ^' pour /-rTzi,/,, 1,6, 1,8, 3, en ai)pli(|uant l;i
méthode de Simpson (t. 1, n° 151). L'accroissement A(/ entre deux valeui s
consécutives /•„ et f\ est donné par la formule
Ae
en appelant z^^, z-i, z^ les valeurs que prend Finverse du radical pour /„, /"i = ^et /-.y. Quant à At, on Ta calculé par la formule approchée
At
Ceci ne s'applique pas pour le premier intervalle {i,33; r,4), puisque z^ est alors infini. On a employé le même procédé que dans l'Exercice n° 1. En faisant le changement de variable r =: i ,33 -\~ h et négligeant les termes en h^ et en h* sous le radical, on trouve que la valeur de 0' pour r ^ 1 , 4 est o, 366. Celle de /' se calcule ensuite par la formule (i • ). ce qui donne o, 2/42.
Le Tableau ci-dessous donne le résultat des calculs numériques cidessus indiqués, les valeurs de 6' ayant été transformées en degrés :
Pour /' >■ 3, posons r
>ons r =nz
nous avons
2 du
On peut pratiquement négliger u' sous le radical el l'on a alors la formule approchée
, ox .r -8 . 8« . 8„
(i3) Al ^ arc sin . — -=. — arc sin — prz =r 28°, i — arc sin
y/ôi
On en conclut qu'à partir de /• = 3, on peut pratiquement confondre la
Irajecloire avec la droite définie par ré({uation
rsin(6'— o.8°,i) H r= = o,
droite qui est donc une asymptote.
On aurait pu préioir Vexislence de celte asymptote. D'abord, il y a
une direction asymptotique, car l'intégrale (8) a une limite pour /-infini
(t. I, n° 153). On peut ensuite calculer facilement la sous-asymptote,
grâce à l'artifice suivant. La constante des aires C ^ r c/, d désignant la
distance de la tangente à la trajectoire au pôle, puisqu'elle est égale au
moment du vecteur vitesse par rapjjorl à O (n° 7). Or, lorsque r devient
infini, v tend vers y///, d'après (■<); donc, d tend vers — = =: — =, ce qui
est bien la distance de la droite (i4) au pôle.
Pour les grande? valeurs de /• la formule (2) donne sensiblement
r = v^=zi,97.
On peut donc dire (\\xt^ pratiquement^ à partir de /• = 3^ le mouvement est un mouvement rectiligne et uniforme^ de vitesse 1,97 (').
Lorsque r décroît de 2 à i,33, 0 et t subissent les mêmes accroissements que lorsque /• croît de i,33 à 2. Autrement dit, la trajectoire est symétrique par rapport à la droite 9 = 55°, 8, qui passe par le point A le plu> rapproclié du pôle; en outre, deux points syiMétri(|ues quelconque?
, Fig. .7.
Mo X
sont atteints à des époques équidislantc? de l'épocpie oii le mobile passe en A. Cela permet de déduire la trajectoire complète { /ig. 17) du
('j A r<'-clicllc des figurfs 17 i;l 18, cela est rnciiic vrai à parlii- de /• = 2.
DVN.ViMIQUB DU POINT. 79
Tableau donné plus haut, ainsi que le diagramme (/•, /) demandé {fi^. i8). (On a représenté les unilés de r et de ^ par i5"'™ et 5<='".)
Fis. i8.
5. Étudier le mouvement d'un point pesant assujelli à glisser sans frottement le long d' une parabole à axe vertical.
Prenons pour axe des x la tangente au sommet et pour axe des y l'axe de la parabole, dirigé vers la concavité. Soit
ipy
l'équation de cette courbe, le paramètre p étant positif, d'aprè> l'hypotlièse ci-dessus.
Supposons d'abord ({ue la parabole tourne sa concavité vers le haut; O }' est alors dirigé de bas en haut et le poids du mobile M a pour mesure algébrique — '^^g', il dérive de la fonction de force — ^^gy- Comme il n'y a pas de frottement, on peut appliquer le tht'orème des forces vives en négligeant la réaction (n" 71), ce qui donne
Calculons r- en fonction de v et de v' . On a
rM' + T7
en tenant compte de l'équation (i). En portant cette expression dans (î), on obtient réfjaatiortdifterentielle qui donne v. Elle ne renferme pas explicitement t\ par conséquent, les variables se séparent (t. I, n° 188). On résout l'équation par rapport à dix [tui- on intègre et l'on trouve, tous
8o CHAPITRE V.
calculs fails,
(3) t=f ±i/ lf±£ dy.
Calculons la réaction. Orientons la parabole dans le sens des .r croissants et soit N la mesure algébrique de la réaction sur la normale positive, laquelle est dirigée vers la concavité de la parabole. Projetons y= r}iy sur Or :
(4) my"^-mg-^NsinU^'^\,
en appelant a l'angle polaire de la demi-tangente positive. On lire de là
cosa
Pour calculer v". dérivons, par rapport à /, léqualion
