r(A — 2ffy
qui n'est autre que (3) avant l'intégration; il vient, en divisant par 2y et formant tout de suite la combinaison y" ■
Nous a\ons ensuite
dy X
d'où l'on tire, en remarquant que cosa doit être positif, d'après la convention faite sur l'orientation de la parabole,
V^w portant (-) et (8) dans (5), on trouve linalemeiit
Si l'on veut maintenant suj)pos(:r (|ue la parabole tourne sa concavité vers le bas, cela revient simplement à changer le sens de la pesanteur et il suffit de changer g en — g dans tout ce qui précède.
DYNAMIQUE DU POINT. 8l
Discussion. — Nous allons maintenant étudier ([iielles sont les diverses circonstances que peut présenter le mouvement, en supposant la liaison unilatérale, le point M pouvant être posé sur la parabole soit d'un côté, soit de l'autre.
Premier cas : La concavité est tournée vers le haut. — Pour que le
radical de l'équation (3) soit réel, il faut que j ne dépasse pas — =7i-
Si le point est lancé vers le haut, y commence par croître et il faut prendre le signe + dans (3). Quand y tend vers jj, t tend vers une
valeur finie, car la quantité sous le signe / devient infinie d'ordre —
(t. 1, n° loi). Comme/ ne peut dépasser ji, il se met à décroître et l'on doit prendre le signe — dans (3); y décroît jusqu'à zéro, puis croît jusqu'à y, et ainsi de suite indéfiniment. Le mouvement est une oscillation périodique sur l'arc de la parabole qui est limité par les deux poinls d'ordonnée j'j.
Quant à la réaction, elle est toujours positive, car h est positif, en vertu de (2). Il s'ensuit que le point M doit être posé à V intérieur de la parabole., sans quoi il la quitte immédiatement.
Deuxième cas : La concavité est tournée vers le bas. — Si nous changeons o^ en — ^- dans (3), nous voyons que la réalité du radical exige
Cela nous conduit à distinguer deux cas suivant le signe de //.
I. /? < o ou ('o< v''^^'" Jo- y doit être supérieur à = }'i. Si le
point est lancé vers le haut, y commence par décroître, atteint Vj en un temps fini, puis augmente jusqu'à l'infini, t devenant également infini,
parce que la quantité sous le signe / est seulement infiniment petite
d'ordre - (t, 1, n° 153). Autrement dit, le point M atteint une position
culminante }>ïi, puis redescend indéfiniment. S'il est lancé primitivement vers le bas, il descend toujours.
La formule (9), où l'on aurait changé g en — i^, montre que, dans l'hvpotliése actuelle, \<o; il faut donc poser M à l'extérieur de la parabole.
II. A > (I ou (•„ > y/y^'yo. Cette fois le radical est réel, quel (|iie soit y. le point décrit entièrement la parabole dans le sens de la vitesse initiale, sans jamais rebrousser chemin.
Haag. — Exercices, III. 6
Quant à la réaction, elle est négative ou positive, suivant q»e // est inférieur ou supérieur à gp; suivant le cas, M doit être posé à l'eoctériear ou à l'intérieur.
Dans le cas intermédiaire où h=gp, la réaction est identiqueinent nulle; le point décrit librement la parabole. On doit donc retomber sur le mouvement classique du point pesant libre dans le vide (n° 76).
Effectivement, l'éc] nation (3) se réduit à
tz=i — — i / —^ > y =z - A>/-
en choisissant convenablement l'origine des temps. L'é([uation (i) donne ensuite
Un autre cas intermédiaire est h :=: o. On peut alors intégrer par les fonctions élémentaires et Ton trouve, tous calculs faits et en choisissant convenablejnent Torigine des temps,
(il) \/gt = \/p -+- 2 Y + -= [log(v'> + 2 7 — v//?) — log y/j]-
VP
Si M est lancé vers le haut, // atteint asymplotiquement le sommet, car / devient infini pour v = o.
Remarque. — Il est facile de s'ex.plit[uer les résultais obtenus en ce (|ui concerne la possibilité, pour le mobile, de quitter la parabole. Cette circonstance se présente si la trajectoire libre se trouve du cùté où l'on a posé M. Or, dans le premier cas, la trajectoire libre est toujours extérieure à la parabole donnée; donc, le point ([uitle toujours, s'il est posé extérieurement. Dans le deuxième cas, il faut comparer les paramètres des deux paraboles. Si yj' est celui de la trajectoire libre qui correspond aux conditions initiales données, un calcul facile donne
, ^-IZ-^ + ^j-,,)
Si 11 >,A7J, p' '>' p ■ la parabole libre est extérieure à la proposée, !e point quitte s'il est posé extérieurement.
0. Un point pesant peut glisser ^ sans frottement, le Ions: d'une circonférence, qui tourne autour d'un diamètre vertical, arec une vitesse angulaire constante oj.
1" litudier le mouventenl du point sur la circonférence.
DVNAMIOCE Dtr POINT. 83
2" Calculer les cvinposanlcs de la réaction.
o" Chercher les posilions d'équilibre relatif et étudier leur slnhilité. Etudier les petites oscillations.
4" On suppose le rayon du cercle égal à oo'm ^^ /^^ vitesse de rotcytion éî^ale à ioo tours par minute. Calculer la position d'équilibre stable^ ainsi que la durée des petites oscillalions.
1" Prenons pour axe des z Taxe de rotation, orienté de bas en liant, et pour axes des a; et des y deux axes perpendiculaires menés par le centre du cercle. Soient o = co^ l'azimut du cercle au temps t el 0 l'anj^le de Oc avec OM, de sorte que o €t 9 sont la longitude et la colatitude du point M.
I*our trouver léquation du mouvement, nous allons projeter f ziz ni y
sur la tangente MX au cercle, dont les angles polaires sont o et 9 h •
En dérivant deux fois les coordonnées cartésiennes de M exprimées en fonction de q et de 6*, on trouve
/ x" := R[ — (ùj--i- 0'-) siiiô + ^"cosô] coso — aRcoO'cosÔsin 9, (i) ! r"= R[— (r^^-hÔ'*)sinÔ + 9"cos0]sin9 + 2Rw0'cosÔco59, ( r" = — R[9'2cos6 4- 5"sin5].
l'^n multipliant ces trois é([uations respectivement par cos^coscp, cos^sinQ, — sin5 et ajoutant, on obtient la projection du vecteur accélération sur MX :
(2) 7x=Fl(5"— ^^)'>în^cos9).
D'autre part, la projection du poids de M est 77^^'sin'; cl, comme la projection de la réaction est nulle, on a
(3) R9"=sin9(i'- + Rr^2cos9).
Telle est l'équation difTérentielle du mouvement.
On peut remarquer qu'elle est la même que si le cercle ne tournait pas, à condition d'ajouter à la pesanteur \a force centrifuge (n° 138)
mr,j-I\M,
P désignant la projection de M sur O:;. On aurait pu être tenté d'admettre directement ce résultat. Mais il n'est pas si évident ([u'il en a l'air. 11 tient, en réalité, à ce que raccélération complémentaire est constamment normale au cercle (elle est perpendiculaire à son plan; c/*. Exer-
cice proposé n*^ '2 du Chapitre 111) et n'intervient pas, par conséquent, dans la jirojection sur MX.
L'équation (3) s'intègre par deux quadratures (t, I, n° 19o ; on peut aussi remarquer que la première intégration équivaut à appli(|uer l'intégrale des forces vives, en prenant un trièdre de réféience lié au cercle). On obtient, tous calculs faits,
J,^^ ±V/C^-(é'+Kco^cosÔ)«
C désignant une constante positive, donnée, en fonction des conditions initiales, par la formule
( 5 ) O = R2 0)2 5^2 ^ ( ,, ^ I^ ,^j2 co^ Cj^^ )î
L'intégrale (4) ne peut pas, en général, se calculer par les fonctions
élémentaires. Toutefois, pour quelle soit réelle, il faut que cosO reste
compris entre
0 — '^ Cj — f— "■
(6) cos{/i=-- — ^ et cos6'2 =
Si C>^+Rgl)-, les angles 0, et 0., sont imaginaires et le radical est toujours réel; le point \l tourne indéfiniment sur le cercle, d'un mouvement périodique.
Si ^4-rioj"'> C > Roj- — g-, Si seul existe; M oscille sur l'a/c inférieur limité par les deux points M, et M', d'élongcilions 0^ et — 5j.
Si C < R oj- — ^(cela n'est possible que si R(«)^>» ^j^), 0^ ei B^ existent tous deux ; M oscille entre deux points Mj et M^ situés dhin même côté de Os (\e second est toujours au-dessous de xOy).
2° En projetant f=zniy sur le prolongement M'A de OM et sur M\ perpendiculaire à MZX f d'angles polaires œ -t- — et o | , on obtient les composantes de la réaction
( r> ( ^ -4- R ''>' f-OS ^; ) ( - 4- o. \{ r,)2 CCS 0 ) — ( C + RV.)* )
\ Hz= /// -^ '■ -— ,
( R\= 2m RojO' cosO = 2m cos6'v^C- — {g -h Rw- coaOyK
On voit qu'elle n'est dans le plan du cercle que pour 0' =z o, c'est-à-dire quand la vitesse relative de \l est nulle. (La composante Ry est opposée à l'accélération complémontaiie. )
DVNAMIQIE DU POINT. 85
3° Pour que 5 demeure constant, il faut et il suffit que, 'j\^ t'tanl nul, ^y annule le second membre de (3). On a ainsi les trois solutions
rr
(8) ^u^iio, ^0=77, 5o=« avec cosa=: — t^^,'
Les deux premières correspondent aux points le plus haut et le plus bas du cercle et la troisième a une position intermédiaire A, qui n'existe que si H ',)->> g, et qui est toujours au-dessous de rO >'.
Four étudier la stabilité, supposons Mq très voisin de l'une de ces positions et 9^ très petit. Il faut voir si M \a rester dans le voisinage.
S'il s'agit de la première position, G est, d'après (5), très voisin de i,-^ + Roi)-. On se trouve soit dans le cas de la rotation indéfinie, soit dans le cas de l'oscillation entre Mj et M',. Le mobile passe certainement par le point le plus bas et ne reste donc pas dans le voisinage du point le plus haut. L'équilibre est instable.
S'il s'agit de la deuxième position, G est voisin de \g- — 'Rco-I. Si'
R(»j^>- i,', G est voisin de Roj- — «, cos5, est voisin de i — /" et n'est
pas infiniment voisin de — i\ donc Mi n'est pas dans le voisinage du point le plus bas. Gomme il est atteint par M pendant le mouvement, l'équilibre est instable. Si, au contraire, Rw-<!^, G est voisin de ^ — Rfj)2, cos9, est voisin de — i et, comme on se trouve dans le cas de l'oscillation entre M, et M], .M reste constamment dans le voisinage du point le plus bas, qui est alors une posiLion d'équilibre stable.
Enfin, s'il s'agit de la troisième position d'équilibre, G est voisin de zéro, 6^1 et &., sont voisins de a: l'équilibre est stable.
On voit que, dans tous les cas, il n y a qu'une position stable: c est le point le plus bas pour les petites vitesses de rotation et le point A pour les grandes vitesses.
Etudions les petites oscillations dans la première hypothèse. Si l'on pose B^zzT. — u et que l'on considère u comme un infiniment petit, l'équation (3 ) se réduit, en négligeant les infiniment petits du second ordre, à l'équation linéaire à coefficients constants
En supposant, pour simplifier. (/'„ = o, on a
(io) u — u^coi [y Yi ~ '"'"'')
La durée d'une oscillation simple (demi-période) est
Elle e-t la même que si le cercle était au repos, Taccélération de la pesanteur étant diminuée de Rr,)-.
Si, maintenant, Hf,)->-^'. nous posons 6 ^= a -\~ n et Téquation (3) se réduit à
(12) u" -j- u (,)- sin- a zz: o ;
d'où Ton tire
(i3) </ = ;/y sin (fjj sina . ^).
La durée d'une oscilhition est
M sin« 2 sin a
en appelant T' la durée d'un tour complet du cercle, 4" On a, en unités C. G. S.,
2or.
R z^ 20, M ^ ., " > .;'=98i, cosa =: — (1,1117, a = io~',i:
