DOO 1 = 0% I

7. Un point pesant M peut glisser avec frottement le long cV une droite horizontale I). Il est, en outre, attiré par un point fixe P, extérieur à D et situé dans le plan vertical passant par cette droite, suivant une force proportionnelle à fa distance PM. Etudier son nioiivenient. (E.P.,igi3.)

Prenons pour axe des x la droite D et pour axe des r la perpendiculaire menée par P. orientée de bas en haut. Soient m la masse du point,

— -> / le coefficient de frottement et / MJ* l'attraction du point 1*. Soient W^

et R, les composantes de la réaction de D sur M. Les équations du mouvement sont

( 1 ) mx"=z — kx -+- ]\x, o — Iib — m^- -t- Ry,

en appelant f/ l'ordonnée de P.

Apj)Iiquons maiiileiuml les lois du frottement. La composante normale

DYNAMIOLK DU POINT. 87

de la réaction est

(,) N = lR,| = |,»i^-A'M.

On a

R,,= -/N ou +/N,

suivant que x' est positif ou négatif. L'équation diflérentielle du mouvement est donc

(3) mx"-^ kx^i—fS, si a^'>(>;

(4) mx"-^kx= /N, si j:-'<(>.

Lesr intégrales générales sont (t. I, n° 197)

(5) X =: — a + AcosGj^ + B sinco^, pour ,r'>(>;

(6) X z^ a -H Acoso3^ -h B sinoj^, pour j;'<o,

en posant

Le mouvement est donc un mouvement vibratoire simple, dont la période est indépendante du frottement, mais dont le centre est l'un ou l'autre des points A'(— - a, o) et A{a, o), suivant que le mouvement a lieu dans le sens positif ou dans le sens négatif.

Quelles que soient les conditions initiales, la vitesse du mobile s'annule au bout d'un temps au plus égal à une demi-période. Il y a alors Heu de se demander (/«t^/ mouvement prend naissance, pour une vitesse initiale nulle.

On pourrait étudier la question par le calcul, en se servant des é([uations (5), (6). Mais il nous paraît plus simple de voir les choses géométriquement.

Si le mobile part dans le sens positif, la viliration doit avoir pour centre A', et, comme on se trouve à un maximum d'élongation, M doit se rapprocher de A'. Ceci n'est possible que si Mo est à gauche de A'. De même, le mouvement de droite à gauche n'est possible (jue si M^ est à droite de A. Lorsque M,, est entre V et A', aucun mouvement n'est donc possible; le point reste au repos. Ceci est d'ailleurs bien conforme avec les lors du frottement au repos (n" 139), car le rapport

|Ba-| ^ A-|a:J ^f\x,\ W N rt

est alors plus petit que /.

Il est maintenant facile de se représenter les phases successives du mouvement. Le mobile commence par se déplacer dans le sens de sa vitesse initiale, jusqu'à une position extrême Mi. Si INIi est sur le segment AA', il s'arrête. Sinon, il repart en sens in\ei'se, en vibrant autour de celui des points A et A' qui est le plus rapproché de Mj, soil A, pour fixer les idées. 11 atteint ainsi une position extrême Mo, symétrique de Mj par rapport à A. Si Mo est sur AA', le mouvement s'arrête. Sinon, M repart en sens inverse, en vibrant autour de A', et atteint la position extrême M3, symétrique de M., par rapport à A', et ainsi de suite. On a donc une succession de demi-vibrations, se produisant alternativement autour dea deux points A et A'. Il est visible que, chaque fois, l'amplitude diminue de la distance ÂA'=: 2a. Elle finit donc par être ir)férieure à cette distance; à ce moment, la position extrême atteinte par le mobile est intérieure au segment AA'; le mouvement est terminé. Si d désigne la distance de Mi à l'extrémité la plus rapprochée du segment AA', le nombre des demi-vibralions qui s'effectuent à partir de cette position est le quotient à une unité près par excès de d par 2a.

Remarque. — Le mouvement s'amortit d'autant plus rapidement que a est plus grand, c"esl-;i-dire, toutes choses égales d'ailleurs, que N est plus grand. Cela est bien conforme au bon sens, car, en augmentant N, on augmente le frottement. En particulier, l'amortissement est plus rapide si P est au-dessous de D que s'il est au-dessus. Lorsque P est

au-dessus, à une dislance égale à —^j N est nul; il n'y a plus de frottement et le mouvement ne s'amortit pas; c est un mouvement vibratoire simple ordinaire.

EXERCICES PROPOSÉS

1. Déterminer les lignes de forces du champ dont les composantes sur

les axes sont j, z, x. (E. P., iQiS.)

dx (Introduire une variable auxiliaire, dont la différentielle est On se

ramène à une équation différentielle de la forme .x"'r=:.r, qui s intègre par la méthode de ré(|uation caractéristi(|ue. )

2. Quelles sont les surfaces de niveau et les lignes de forces du champ

Montrer que les lignes de forces sont des cubi(iues planes unicursales.

DYXAMIQLK DU POINT. 89

(Introduire une variable auxiliaire analogue à celle de l'exercice précédent. Introduire également Tincoanue auxiliaire « :zr j: -h v -H 5 . qui satisfait à l'équation dilTérentielle u' --=z. 211.)

3. On considère un champ de forces dont les composantes sont des fonctions linéaires de jc, j\ z. A quelles conditions doivent satisfaire les coefficients de ces fonctions pour que le champ dérive dune fonction de forces? Que sont alors les surfaces de niveau? Montrer que, par un choix convenable des axes de coordonnées, on peut amener les composimtes du champ à être respectivement proportionnelles à a:, j', z. Chercher les lignes de forces. Dans quel cas sont-elles planes?

i. Chercher la fonction de forces dont dérive le champ

' ûc^'-i-j- a- -h y-

Surfaces de niveau et lignes de forces. (E. P., igiS.)