X...0 /■ Xi \ O

On en déduit le diagramme ci-dessous, que l'on peut compléter au delà du temps T, en réduisant les ordonnées dans le rapport D,

risr. 2

D-, etc. Ce diagramme est ce qu'on appelle une sinusoïde amortie. Ses niaxima sont sur la courbe exponentielle

< II

X = e~''' sin toti

('[ ses minima sont sur la courbe symétrique par rapport à O/. Les uns et les autres sont en progression géométrique décroissante.

"29. Mouvement circllaike. — Pour définir le mouvement d'un point M qui décrit un cercle de cenlre O et de rayon R, il suffit de

X> CUAI'ITRK 11.

se donner son angle polaiie ci en fonelion de /. (Jii en dcdiiil ral)>eisse curviligne 5 = Rcp. La vitesse algébrique r = — = R~ = Roj,

en posant to i= -j^- Celle quantilé lo. qui mesure la vilesse de varialion de l'angle polaire, porle le nom de vilrsse aniiulûirr.

Pour (h'ierminer le vecteur accéléraliou. le |)lus simple esl de prendre ses eomposanles inlrinsèques :

[>a dérixée -y- porle quelquefois le nom daccé/é/atio/i an iiiilaire.

Cas du inoinenienl uniforme . — Le nu)uvement esl uniforme lorsque la vitesse angulaire co est conslante. En choisissant eonvenahlemenl l'origine des temps (ou des angles j)olaires), on a 'z, ^= h) t . Le vecteur accélération se réduit à l'accéléralian normale, soil

11 passe |)ar O el c'est le seul cas où il en esl ainsi, car celle condilion

entraîne la nullité de l'accélérai ion tan^cutielie. donc de — ^•

Si 1 on projelle le point M sur uu diamèlre <)\. d'angle polaire 0. l'abscisse de cette pi-ojeeiion f* csi

ri")) \ ^ w voiiMi — 0).

Le iiHMixcmenI du |)ninl I* esl (bme uu nnuiNeiueiil vibratoire simple. ;i\aiil pour p<'riitd<,' — ^ ) c'est -à-<lii'e la diin'e d une r(''voluliou

de M sur le cercle. Si l'on lait varier 0, (H1 lu- lail (pie clianger l'angle de décalage. Les projections sur deux diainéires didV'rents ont des mouvement décalés, l'un par lajipoil à l'aiitiM'. d im angle égal à l'angle de ces diamélres. En particulier, les vibialious sur deux diamètres reclangulaii«,'s sont décalées dc^ -.

oO. Moi \ KMKN'J' \ lui! A'KUKI. ICI, 1,1 l'T 1(^)1 K . — Repreiious le moiivemeiil ( ireiijaire iiuiioriiK" pi('"( (''(b-iil . l'iiis imaginons (pi'ijn fa^se tiuir-

MOUVEMENTS PONCTUKI.S RE.MARQVABLES. 3>

ner le cercle d'un angle constant a autour de 0.r et projetons le point M en m sur .rOj'. Le point m va décrire l'ellipse E projection du cercle, de telle manière que son anomalie excentrique a (t. H, n" o39) soit proportionnelle au temps. Un tel mouvement s'appelle uioavenient vibratoire elliptique. Dans le cas particulier où a= o, on l'appelle par extension, mouvement vibratoire circulaire^ bien que ce soit, en réalité, un simple mouvement circulaire uniforme.

Si l'on projette l'égalité géométrique (44) sur le plan a:Or, on obtient la même égalité pour le point m. Le vecteur accélération passe clone par le centre de l'ellipse. Réciproquement ., si l'on suppose celte propriété, elle a également lieu pour le cercle; le mouvement de M est uniforme et celui de m est une vibration elliptique.

Le mouvement obéit à la loi des aires, car il en est évidemment ainsi pour le mouvement circulaire de M.

Si l'on décompose le vecteur OxM en OP et OQ, suivant deux diamètres rectangulaires, on sait que les points P et Q sont animés de mouvements vibratoires décalés d'un angle droit. D'autre part, la projection d'un mouvement vibratoire simple sur un plan est évidemment un mouvement analogue, de même période et de même phase. Il s'ensuit que les points p et ^, projections de P et de Q, sont animés de mouvements vibratoires décalés de — l'un par rapport à l'autre. Remarquons d'ailleurs que les trajectoires de ces mouvements sont deux diamètres conjugués de l'ellipse, puisque ce sont les projections de deux diauiètres rectangulaires, donc conjugués du cercle. On peut, dès lors, énoncer la proposition suivante :

Théorème. — Si Ion décompose le vecteur Om suivant deux

diamètres conjugués de lellipsCj en O p et Oq, les points p et q

sont animés de mouvements vibratoires simples décalés cV un angle

droit.

31. Co.MPOSlTIOJV DE DEUX MOUVEMEXTS VIBRATOIRES SIMPLES DE MEME PÉRIODE ET DE DIRECTIONS DIFFÉRENTES. SuppOSOUS qu'un point M

exécute, sur Pj7, la vibration

( 46) j- = a cos Mt

et qu'en même temps, l'axe l^x se déplace parallèlement à Ox, de Haag. — Cours, III. 3

34 CHAIMTKE II.

telle manière aiie P exéeiile, sur O )', la viljralion

(47) y ^= a' cof^wt -i- b slnuj t.

Clierchons quel esl le niouveuieut rc'snllanl du point M par l'apporl aux axes Oxy.

Ce mouvement est défini par les éfjuations {i6) el ( ij), car x el y sont évidemment les coordonnées du point M. Nous aurons l'équation de la trajectoire en éliminant t entre ces deux équations. A cet elFet, nous tirons cosoj^ de la première, puis sinto^ de la seconde et nous j^ortons dans la relation fondamentale qui relie le cosinus et le sinus d un même angle; nous obtenons ainsi l'équation

On reconnaît Téquation d'une ellipse de centre O.

Pour caractériser le mouvement de M sur cette ellipse, remarquons qu'en dérivant deux fois les équations (46) et (47)7 on obtient les identités

C49) 37" = — (ij^a^, j^" = — ^^^y-

Elles expriment l'égidité géométrique

(5o) Y = w^MO.

Le vecteur accélération passant par le centre de l'ellipse, on en conclut, d'après le numéro précédent, que le mouvement du point M est une vibration elUotique.

Pour (pie les axes O^ et Oy soient deux diamètres conjugués de relii[)se, il faut et il suffit, d'après l'équation (4'^)' que «' soit nul; ceci revient à dire (jue les mouvements proposés doi\ent être décalés

de -• On retrouve le ihéoréme de la fin (Ui numéro préitédent et, en '>. ^ '

même tem[)s, sa réeiprocpie.

Pour que V ellipse se réduise à V un de ses diamètres^ il faut et

il suffit que l'un des coefficients a et 6 soit nul. Le cas où a serait

nul <;st sans intérêt, car il revient à su|)primer l'une des vibrations

composantes, l^a condition h = o exprime, au contraire, que les deux

vibrations pro[)Osées sont décalées de o ou -. I*ai- un clioix convc-

-MOrVEMENTS POXCTl ELS REMARQUABLES. 35

nable du sens de Ox, par exemple, on peul, en somme, toujours dire c[ne/les doivent cn^oir même phase.

32. Généralisation. — On peut, plus jitinéralenient, composer un nombre quelconque de vibrations rectiiignes ou elliptiques de même période. \in les rapportant toutes à trois axes Oxyz quelconques et ajoutant les coordonnées de même nom, on obtient les équations du mouvement résultant -ous la forme ( ')

ix ^= a cosw t -f- a' sinoj/.

y = b cos oj t -T- b' sin (o t.

z = c cosoj < -i- c' sin oj/.

La trajectoire est encore une ellipse.

De plus, on a encore les identités (49) et l'identité analogue en .:. On en conclut, comme précédemment, que le niomenient est toujours une vibration elliptique.

33. MoLVEMEXT HÉLICOÏDAL. — Imaginons un point M, dont la projection P sur xOy décrive un cercle, de centre O el de rayon li et dont la projection Q sur Oz ait constamment une vitesse proportionnelle à la vitesse angulaire de P, soit

(52) .=/-co = /^.

En intégrant par rapport au temps et choisissant convenablement l'orifrine des z ou des 'j, on a

On en conclut que la trajectoire est une hélice circulaire, de pas /■ (t. II, n°6l7).

Le vecteur vitesse MV est la somme géométrique des vecteurs vitesse de P et de Q. (Cela résulte du théorème du n" 4 ou bien, si l'on veut, du théorème de la composition des vitesses, en regardant le mouvement de jNI comme résultant de la composition du mouvement de P avec la translation d'eulraînemcnt que prendrait le trièdre Oxyz si on lui donnait, à cliaque instant, le point O pour origine.)

(') Nous avons négligé les constantes additives qui s'inlroduisciU si les vibrations n'ont pas même centre et dont on peut toujours se débarrasser par un changement dorigine des coordonnées.

36 CHAPITRE II. — MOUVEMENTS PONCTUELS REMAKQl .\RLI>.

Ces deux vecleurs sonl rectangulaires el oui pour l()n<;ueurs respectives Ro) et /ico. Si on les mène par le [)oinl TNl, ils fornienl un rectangle qui dejiieure conslaunnent semblable à lui-même. On en

conclut (jue le vecteur MV fait un angle constant 0 avec Oz el l'on retrouve une propriété classique de riiélice (t. Il, n° 616). En outre, si (• désigne la longueur de ce vecteur, on a

( 5 1 ) fcos0 = /iw, t'sinO = Rto;

d'où

t n 11 or Tj — • ,

(55) langO =

On retrouve également une formule rencontrée en Géométrie (t. If, 11° 618).

Le vecteur accélération se déterminerait de la même manière que le vecteur vitesse. (On peut appliquer le théorème signalé au n° o ou bien le théorème de la composition (h's accélérations, puisque le mouvement d'entraînement est une translation.) Bornons-novis à considérer le cas où le inoLwenient est unijortne. Nous devons alors supposer w constant. L'accélération du point Q est nulle. Quant

à celle de !', c'est le vecteur w^PO (n" 29). L'accélération de M c.sl donc équipollente à ce vecteur.

On j)eut déduire de là deux propriétés classiques de riiélice. IJ'abord, la normale principale de cette courbe est la normale au cylindre rectifiant puisque, dans le cas du mouvement uniforme, elle doit porter le vecteur accélération.

Ensuite, si z désigne le rayon de courbure de Ihélicc, l'accélération doit être éuale à — Mais, d'autre part, nous savons qu'elle est égale à oj'-ll. On a donc, en tenant compte de (54),

ce = —- ''^ = »^

C1NÉ3IATIQUE DU CORPS SOLIlii:

Dans ce Chapitre, nous [allons étudier d'aI)ord quelques mouvements particuliers remarquables du corps solide. Nous dirons ensuite quelques mots du mouvement le plus général.

3i. Trainslatioïn'. — Lu corps solide S est animé diui mouvement de translation par j apport à un trièdre de référence T, si chaque droite invariablement liée à S garde une direction invariable par rapport à T. Autrement dit, chaque droite du corps solide se déplace parallèlement à elle-même.

On peut schématiser S par un trièdre O' xyz parallèle au trièdre de référence Oxyz^ puisque, d'après la définition même, chacun des axes O' x\ O'j'', O' z' reste constamment parallèle à sa direction primitive, laquelle a évidemment pu être prise parallèle à l'axe de même nom du trièdre de référence. Si a, b. c sont les coordonnées absolues de O' et x\ y\ z' les coordonnées relatives constantes d'un point quelconque M du corps solide, ses coordonnées absolues sont

Ces formules constituent les équations du mouAcmcnt de M.

Thkorè:aie I. — Les trajectoires des différents points de S sont des courbes égales^ pouvant se déduiie par translation de V une cpielconcjue cV entre elles.

En effet, soient M et P deux points quelconques de S dans leur position au temps ï, et soient M' et P' leurs positions au temps t' .

Comme le vecteur MP se déplace parallélemeni à lui-même et garde

une longueur invariable, il est équipollent à M'P', (picl que soit /'.

38 CIIAPITRK Ul.

11 on rcMilto que la translation géométrique qui est représentée par ce vecteur amène la trajectoire de M en coïncidence avec la Irajecloire de P.

Ceci se voit d'ailleurs tout aussi hien sur les écpialions (i), qui montrent que la trajectoire de M se déduit de celle de O' par la translation (jui a pour composantes oc'.y', z\ c'est-à-dire qui est représentée par le vecteur O'M.

Théorème II. — Tous les points de S ont ^ à cIkkjuc inslani ^ des vecteurs vitesse éqaipollenls.

Car, si 1 on dérive les équations (i) par rapport au temps, il ne reste, aux seconds membres, que les dérivées de a^ 6, r, puisque x' ^ y\ z sont des constantes. Ceci prouve que le vecteur vitesse de M est é(|uipollenl au vecteur vitesse de O'.

Tmioiii:;.ME 111. — Tons les points de S onl^ à chaque instant^ des vecteurs accélération équipollents.

Cela résulte du théorème II et de la définition du vecteur accélération. On peut aussi le vérifier en prenant les dérivées se(;ondes des formules (i).

35. La translation est dite recliligne quand toutes les trajectoires sont des droites. D'après le théorème I, il suffit que la trajectoire d'un point particulier soit une droite pour que les trajectoires de tous les autres points soient des droites parallèles. Toute droite D du coi"[>s solide jjarallèle à la direction commune de toutes ces trajectoires coïncide constamment avec la trajectoire de chacun de ses points; autrement dit, elle glisse sur elle-même pendant la translation. Réciproquement, si deux droites D et D' d'un corps solide glissent sur elles-mêmes pendant le mouvement de ce corps, ce mouvement est une translation rectiligne. Il est en effet facile de démontrer (pie toute droite invariablement liée à ces deux droites garde une direction invariable. Cette j)ropriété est utilisée, dans l'Industrie, pour réaliser, |)ar des glissières^ les translations reetilignes.

Si le mou\(;ment d'un point est rectiligne et uni forme, il en est de même, en vertu du tliéorème II, des mouvements de tous les points. On dit alors qu'on a une translation rectiligne et unijnrnte. l'Ile est entièrement détermiuée par son vecteur rnlesse.

CINÉMATIQUE Dt CCKPS SOLIDE. Sq

La translation est dite cù'cuhiire lorsque les trajectoires sont des cercles.

36. RoTATiOiV. — Un corps solide S est aninié d'un mouvement de rotation lorsqu^ il possède une infinité de points fixes, qui sont tous les points d'une droite A, appelée axe de rotation. Il suffit évidemment, pour qu'il en soit ainsi, que deux points seulement de A soient fixes. On ne saurait ensuite fixer aucun point extérieur à A, sans immobiliser complètement tout le corps solide.

Il faut bien préciser, dans la définition du mouvement de rotation, cjue les points de l'axe doivent être fixes et ne pas se contenter de dire que le corps solide doit avoir une droite fixe, car si on lui impose seulement cette condition, il peut à la fois tourner autour et glisser le long de cette droite. C'est pourcjuoi, dans l'Industrie, il ne suffit pas de faire reposer Yarhre d'une machine sur des coussinets; il faut encore le préserver de tout glissement longitudinal au moyen de deux épaulements.

Pour définir analvtiquement un mouvement de rotation, d est commode de prendre l'axe de rotation pour axe des z commun au trièdre de réféi'ence Oxyz et au trièdre mobile 0X\ ^ qui schématise le corps solide. On donne, en outre, la même origine aux deux trièdres. Le mouvement est alors entièrement déterminé par la connaissance de l'angle \Oa;.OX/=cp, en fonction du temps. Cet angle porte quelquefois le nom à' azimut du corps solide.

Si (X, Y, Z) sont les coordonnées relatives constantes d'un point quelconque M du corps solide, ses coordonnées absolues sont (t. II, n'^Si)

(2) a7=:Xcosç — Ysin'^. jK = X sin'j -f- Y cosç, z = Z.

Ces formules constituent les équations du mouvement de -M.

37. Tout point AI du corps solide décrit un cercle, dont le centre est la projection I* de M sur l'axe A, dont le rayon est la distance ;■ = MP et dont le plan est perpendiculaire à A. [On peut résumer tout ceci, en disant que A est l'axe du cercle (t. II, n" 189).]

On appelle vitesse angulaiie du corps solide la (h'-rivée de son

4o CHAPITRE ni.

aziimit ])ar ra|)|»oii an Irnips, soit

'dt

On appelle vecteur instantané de rotation au leiiips t un vecteur i>, porté ))ar l'axe A et ayant pour mesure algébrique w. Ceci suppose, bien entendu, que A est orienté, le sens de cette orientation servant à la fois pour la mesure

algébrique de Q. et pour celle de l'a/iniut ':, (t. II, n° 27), comme cela a lieu pKur l'axe 0- du numéio précédent. Grâce à cette convention, le sens positif

de rotation défini par Q coïncide, à elia(jne instant, avec le sens de rotation du corps solide.

La définition précédente suppose aussi que l'on a cboisi les unités de longueur et de temps, car elle détruit l'homogénéité, puisqu'une vitesse angulaiie n'a pas les dimensions d'une longueur (n" lloi.

Enfin, il n'est pas nécessaire de spécifier quelle est. sur A, l'origine de û; autrement dit, ce vecteur doit être considéré comme un vecteur glissant (t. II, n^^ 1C6).

Théorème. — Le vecteur vitesse d'un point quelconque M du corps solide est le montent du vecteur instantané de rotation par rapport à ce pioint :

(0 isrv = o, M.

En ell'et, il est facile de v<''rifier que les trois conditions qui lirliuissenl ce

m iment (l. Il, n" lOG) sont bien remplies par le vecteur MV. h'abord, il est bien perpendiculaire au plan (M, iî ) ou ( AI, A i. linsuite, sa longueur est (n"20)

(' = /-to = MP X fi (').

l'iufin. son sens est celui du mouvement, le(|uel est j)iécisément le sens positif

de rotati(m défini par le \ecteur Q; cela coïncide bien avec le sens que doit avoir le vecteur moment {cf. t. II, note de la page 117).

Au rc-le. on arrive au même résultat en dérivant les formules ()) par rapport au temps :

(î) X ——yKo, y=xoj.

fVesl bien ce que donnent les formules (17) du n" 108 du Tome II, si on les applique au moment il, M.

f ') C<ll<- formule réliddil riinmogénc'ih-, (|ui es! déiruile en sens conliaiff dans la dédnilion du vecteur instantané de loliilinn <! dans relie du vicleur monienl (rf. l. II, note de la page ii6j.

CINÉMATIQUE DU CORPS SOUIDIi. 4'

Ce tliéoièiiie est d'une application très commode pour calculer les composantes du vecteur vitesse dans un mouvement de rotation quelconque, dont on connaît seulement le vecteur instantané de rotation. Par exemple, s'il s'agit d'une rotation autour d'un axe ])assant par O et si p. q. r sont les composantes au temps < du vecteur instantané de rotation suivant un trièdre quelconque (fixe ou mobile) ayant pour origine O. les composantes suivant ces axes du vecteur vitesse d'un point .M quelconque du corps solide, qui, au temps /. a pour coordonnées {x.y, z) par ra|iport à ce trièdre. sont

(6) \^ = qz— ry. \y= rx—pz, \.=py~ qr.

ainsi qu'il résulte de l'application des formules (17) ci-dessus rapiielée?.

38. Le vecteur accélération du point M se détermine, comme on la \ u au n° 29, par ses composantes intrinsèques. L'accélération langenlielle se construit, au moyen de l'accélération angulaire, comme le vecteur vitesse se construit au moyen de la vitesse angtdairc.

Si l'un introduit le vecteur accélération angulaire, qui n'est autre que la dérivée du vecteur iristantané de rotation, on voit que l'accélération tangentielle de M est le moment de ce vecteur accélération angulaire par rapport à .M.

Quant aui vecteur accélération normale, il est égal à to-MP.

39. Mou vEAiEXT HÉLICOÏDAL. — Uti covps sollcle cst animé cV un mouvement hélicoïdal autour d' un axe X. lorsqu'il tourne autour et glisse le long de cet axe de telle manière que le glissement soit constamment proportionnel à la rotation.

Dans ce mouxement. l'axe A est fî\e en tant (pie droite géoméliicpie. mais non en tant que droite matérielle, comme cela avait Heu dans le mouvement de rotation. Elle glisse sur elle-même, mais aucun de ses points n'est fixe.

Pour définir analytiquement un mouvement lu-licoïdal. il est commode de prendre, comme aun" 36, l'axe A pour axe des z commun au trièdre de référence et au trièdre mobile attaché au corps solide. Mais, cette fois, l'origine O' de ce deuxième trièdre n'est ])lus fixe; «lie glisse sur O:; et sa cote h est une fond ion du tcm|)> liée à

4i CHAPITIU-: m.

laziniiil '^ ji;ir une rclalioii de la forme

où A désigne une constanle ( ' ).

On appelle pas du mouvenienl la louf^ueur dont glisse le eorps solide pour une rotation d'un tour complet. Si, comme nous le supposons toujours, l'angle » est évalué en radians, ce pas est

La constante /. est aussi quelquefois appelée \e pas (pas théorique ou pas réduit), ainsi que nous l'avons expliqué au n° 617 du Tome 11. Mais, en Mécanique appliquée, quand on parle du pas, il s'agit toujours du pas vulgaire P.

Si (X, \, Z) sont les coordonnées constantes du point M par rapport au trièdre mobile 0'X\Z, ses coordonnées absolues sont données par les formules (2), la troisième de ces formvdes étant seulement remj^lacée par

(9) .^ = Z-+-/rç.

Les trajeeloires des difiérenls points du corps solide sont toutes des hélices, d'axe A et de pas P (ou A).

Pour avoir le vecteur vitesse d'un point quelconque M, on peut se reporter au n" 33. On peut aussi introduire le trièdre intermédiaire O' jcyz parallèle au trièdre de référence et considérer le mouvement hélicoïdal comme résultant d'une rotation, de vitesse angulaire co == -T^» autour de O'Z et d'une translalion. de vitesse —r =/«'{o, df dt

suivant O:-.

Avec celle dernière inteiprélalion, on est conduit à inlroduiic le vecteur

inslantané de rolalion 12. porté par Oz cl de mesure algél)rique (o. Si 11 désigne le vecteur libre qui a pour mesure algébrique A a> suivanl 0-3, on a

(Mi) mT= H -f-Q, M;

ce que l'on peut inlerprëtcr en disant que le vcclciii vitesse du point M est le

('; D;ins la formule (7), on pourniit ajouter une constanle au second membri-; mais on peut toujours s'en di-barrasser en clioisissanl convenablement l'origine des cotes ou l'origine des azimuts.

CINÉMATIOIE nu CORPS SOLIDE. 43

moment résultant, jjai- ra|)|)oil à ce point, du (orseur constitué par le vecteur Q et par le couple d'axe \l.

( hianl au vecteur accélération, il se compose, comme dans le cas du mouvement de rotation (n° 38), de l'accélération tangentielle, qui peut être définie par une égalité analogue à (lo), en remplaçant simplement la vitesse angulaire par l'accélération angulaire, et de l'accélération normale, qui est toujours w-^ll*, en désignant par P la projection de M sur l'axe.

40. En Mécanique appliquée, le mouvement iu-licoïdal se réalise au moyen d'une vis et d'un écrou.

Pour définir la vis, considérons un cylindre de révolution appelé noyau et une aire plane appelée pro/il, située dans un plan méridien du cylindre et limitée vers l'intérieur de celui-ci par un segment AB l.iisant partie delà génératrice G {/ig'- 3). Imprimons à ce profil un

Fiî. 3.

(ft)

mouvement hélicoïdal autour de l'axe O:; du cylindre. 11 engendre un solide, que nous supposons solidaire du noyau, el qui porte le nom de Jîlet. Si l'on s'arrange pour recouvrir toute la surface latérale du noyau par des filets semldables, on obtient une ?7.ç. Le pas de la vis est le pas du mouvemenl hélicoïdal généialeur du filet ou, si l'on veut, la distance qui sépare, sur une meute génératrice, deux positions consécutives AB et A'B' du segment qui limite le profil. Pour que le noyau puisse être recouvert entièrement par des filets iden-

44 CHAPITRE m.

tiques, il faut que AB st)it contenu un nombre enlier de fois n dans le pas. Entre deux spires conséculi\ os, il y a alors n (ilels et Ton dit que la \ is est une i:is à n filets. Les vis à faii)le pas, qui sont les phis eoninuines dans l'Industrie, sont toujours des vis à un filet. Mais certaines vis à grand pas doivent être construites à plusieurs filets, si Ton \eut éviter de donner des dimensions exagérées au profil.

Le j)ro(il le plus employé est le triangle équilatéral; les vis correspondantes portent le nom de ihs à filet triangulaire. Mais on emploie aussi des vis à filet carré, dont le profil est un carré. La vis est dite à droite ou à gaucJie. suivant que les hélices qui limitent ses filets sont des hélices à droite ou à gauche (t. 11, n° 617).

Imaginons maintenant un corps solide dans lequel on a creusé une cavité ayant exactement la forme d'une vis donnée V; nous obtenons un écrou E, complémentaire de la vis \ ,

Si Ton fixe Fécrou et qu'on y engage la vis en la faisant tourner autour de son axe, elle va nécessairement prendre un mouvement liélicoïdal, de même axe et de même pas que la vis, réalisant ainsi le glissement dun hélicoïde sur lui-même (t. 11, n" 366). Inversement, si l'on fixe la vis, c'est l'écrou qui prend un mouvement hélicoïdal.

On peut aussi faire tourner la vis autour de son axe et assujettir Técrou, au moyen de glissières, à garder une orientation invariable. 11 prend alors un mouvement de translation parallèle à l'axe de la \is. Par rapport à ^ , le mouvement doit toujours être le même mou\(-

ment In-licoïdal. Il en résulte (pu; la vitesse de translation de Fécrou

P doit constamment être dans le ra])port — ^ avec la vitesse angulaire de

la \ is. On peut encore dire que Fécrou avance |)roporlionnellement à l'angle dont tourne la vis, au taux de P pour un tour complet. Ce princi|)e est utilise- frécjucmment en Mécanique applicjuée ; par exemple, c'est sur lui que repose l'emploi de la vis mère (W\n tour quand on se sert de ce dernier poni- exécuter un lilclage.

41. MorMÎMENT IM,AN ; CRNIRK INSTANTANÉ DE nOTATION. — Oïl (lit qu'uil COipS

solide S est animé d'un mouvement plnn lorsqu'un plan 1* invaiialileinenl lié à S glisse constamment sur lui-même pendant le niouveniciU. Tous les |)lans parallèles à P jouissent évidemment de la même jiioprit-lc.

Il est clair qu'on peut se borner à étudier le inouvemenl du disque découpé par Ir plan P dans le corps solide, car le mouvement de tout point de S exlélicur à I' est identique au mouvement de sa projection sur P. Autrement dit, le mouvement |)arlieulier ;iriueiie'menl envisagé se ramène au mouvement

d'une figure plane dans son plan, c'est-à-dire à la Cinématique générale du corps solide en Géométrie plane.

Nous avons déjà étudié ce problème, à un point de vue purement géométrique, dans le Tome II (Chap. XXXIX, Exercice résolu a" 1). Nous allons le reprendre du point de vue cinématique, en nous bornant d'ailleurs à l'étude de la distribution des vitesses.

Soient Oxj- les axes de référence et O' x' y les axes mobiles, qui schématisent notre corps solide. Introduisons les axes intermédiaires O'xjr parallèles à O xy et d'origine O'. Le mouvement de O'x'y' par rapport à Oxy résulte de la composition du inouvemeut de O' x' y' par rapporta O'xy et du mouvement de O'ay^ par rapport à Oo:^'. Or, ces deux mouvements nous sont connus ; le premier est une rotation autour de O' et le second est une translation.

Soit O'O le vecteur instantané de rotation du premier mouvement (n" 37),

c'est-à-dire le vecteur perpendiculaire au plan Oxy, de longueur égale à la vitesse angulaire w de O'x'y' par rapport à O' xy et dont le sens est tel que le sens positif de rotation qu'il définit dans le plan O'arK coïncide avec le sens

du mouvement. Soit, d'autre part, W le vecteur vitesse de la translation (n°34) La vitesse absolue d'un point M quelconque de la figure mobile est

(il) I\1V = W + 0'i>, M = S, I\l,

en appelant S le système de vecteurs constitué par le vecteur 0'i2 et par le

couple d'axe W (t. II, n" 120). Or, ce vecteur et cet axe de couple sont rectangulaires ; donc, le système S est réductible à un vecteur unique (t. II, n° 121)«

Ce vecteur unique est équipollent à O'iî et son origine I est un certain point,

que nous saurions construire à partir des éléments O'il et W. L'égalité (i i) peut maintenant s'écrire

(i'2) 1MV=H2, M;

en la rapprochant de (4), nous pouvons en conclure le théorème suivant :

Théorème. — Dans un mouvement plan quelconque, la distribution des vitesses est, à chaque instant, la ntème que dans un certain mouvement de rotation, quon appelle la rotation tangente et dont le vecteur instantané lii est appelé le vecteur instantané de rotation du mouvement plan.

Si l'on s'en tient à ce qui passe dans le plan Oxy, on peut dire que la distribution des \itesses est la même, à l'instant t, que si la figure plane mobile était animée d'une rotation, de vitesse angulaire w, autour d'un certain point I, que l'on appelle le centre instantané de rotation.

i'i. Propriétés du centre i.nstaxtané de rotation. — Si le mouxemeni pro-

posé ne se réduit pas à un mouvement de rotation, le point I vario avec le temps t. 11 décrit donc une certaine courbe C par rapport aux axes fixes Oscy et une autre courbe C par rapport aux axes mobiles O'x' y'. Le mouvement de I sur G est lo mouvement absolu et son mouvement sur C est le mouvement relatif. Le mouvement d'entraînement ou mouvement de G' par rapport à G n'est autre que le mouvement proposé. D'après le théorème du numéro précédent, la vitesse d'entraînement de I est nulle puisque, dans une rotation, les points de l'axe ne bougent pas. Dès lors, si l'on applique le théorème de la composition des vitesses (n° IS), on voit que la vitesse absolue de I coïncide avec sa vitesse relative. Gomme ces deux vecteurs sont tangents respectivement à G et à G', ces deux courbes sont, à chaque instant, tangentes en J. Orientons-les maintenant de telle manière qu'elles aient même demi-tangente positive; les vitesses algébriques (n°6) absolue et relative doivent être égales ; donc, si 5 et s sont les abscisses curvilignes de I sur G et sur G', on a

ds ds ,, ,

= , dou . = .,

en choisissant convenablement l'origine des arcs sur chaque courbe. On dit que la courbe G' roule sans glisser sur la courbe G. La première courbe porte le nom de courbe roulette et la seconde s"a|)pelle courbe base.

Réciproquement, si l'on fait rouler, sans glissement, une courbe G' sur une courbe G, le point de contact I est, à chaque instant, le centre instantané de rotation du mouvement de G' par rapport à C. Gela se démontre en remontant le raisonnement précédent. On prouve que le point I a une vitesse d'entraînement nulle et, par conséquent, se trouve nécessairement au centre instantané de rotation.

Thkohèmk I. — Les normales aux trajectoires des différents points du plan mobile passent, à chaque instant, par le centre instantané de rotation.

Gar ces trajectoires sont tangentes aux vecteurs vitesses, lesquels sont tangents à des cercles de centre L

Théorème IL — Toute courbe A entraînée par le />lan mobile admet, par rapport au plan fixe, une enveloppe E, dont les points de contact sont, à chaque instant, les pieds des normales abaissées du centre instantané sur \.

En effet, soit I\I un de ces points de contiicl. II décrit A par rapport au plan mobile et E par rapport au plan fixe. Sa vitesse sur A est la vitesse relative tt sa vitesse sur \i est la vitesse absolue. Ges vecteurs sont portés tous deux |)ar la tangente commune MT aux deux courbes. Il en est donc de même de leur diiïérence géométri(|ue, c'est-à-dire de la vitesse d'entraînement. Mais nous savons que cette vitesse est perpendiculaire à MI; celle dernière droite est donc Ijien iHMin.ile en M à A.

Réciproquement, si M est un pied de normale. la vitesse d'entraînement et la vitesse relative sont toutes deux portées par la tangente MT à A. Il en est donc de même de leur somme géométrique, c'est-à-dire de la vitesse absolue. Comme cette dernière vitesse est tangente à la trajectoire absolue de IM, cette trajectoire est tangente en M à A; c'est donc l'enveloppe.

43. Engren.vges. — Grâce à la théorie précédente, on peut réaliser matériellement n'importe quel mouvement plan, en construisant un engrenage.

Le problème se ramène à faire rouler sans glissement une courbe C sur une courbe G. xV cet efl'et, on garnit chaque courbe d'une série de dents taillées de

telle manière que, pendant le roulement, les dents qui sont au voisinage du point de contact I soient constamment tangentes. Si A' désigne la courbe ou profil qui limite une dent de G', le profil A de la dent de G qui lui reste tangente est l'enveloppe de A' dans le roulement de G' sur G. On peut le construire par points, en utilisant le théorème II du numéro précédent; on abaisse la normale IM sur A' et le lieu de M par rapport au plan de G est la courbe A. Les profils A et A' sont appelés profils conjugués. Les courbes G et G' sont appelées courbes primitives.

Dans les engrenages dont on se sert dans l'Industrie, les courbes primitives sont presque toujours des circonférences, dites circonférences primitives ; on obtient alors des roues dentées ou pigno/ts.

On peut les utiliser de dilTérentes manières. On peut fixer C et faire rouler G', qui porte alors le nom de satellite. Ghaque point de G' décrit une épicycloïde (ou une hypocycloïde, si G' roule à l'intérieur de G); c'est pourquoi ce dispositif porte quelquefois le nom de train épicycloïdal.

Le |)lus souvent, on fixe les axes 0 et O' des deu\ roues, autour desquels elles peuvent alors tourner librement, réalisant ainsi la transmission de deux rotations autour de deux axes parallèles, qui est un des problèmes les plus fréquents de la Cinématique appliquée.

Soient R et R' les rayons des deux roues et w et to' leurs vitesses angulaires. Le point de contact M doit avoir même vitesse, qu'on le considère comme appartenant à l'une ou l'autre des deux roues, puisque sa vitesse d'entraînement dans le mouvement de G' par rapport à C doit être nulle. De là résulte la relation

(i3) Rio = R'w',

les vitesses angulaires devant, d'autre part, (;tre de même signe ou de signes

contraires, snivanl que les loues engrènenl inlérieurcinent ou exlérieurement. Un dispositif plus général et dont les deux précédents sont les cas extrêmes consiste à fixer seulement lun des axes, par exemple 0, et à faire tourner à la fois G et la ligne des centres 00' autour de cet axe. Soient (o, w' et a le> vitesses an-ulaircs de G, de G' et de 00'. l'ar rapport à îles axes invariablement

liés à 00 , ces vitesses sont toutes diminuées de « i • ) et deviennent m — a, ,,/ — (i^ o. Mais, on se trouve alors dans le cas particulier examiné plus haut et qui donnait lieu à la formule (i3). Pour avoir une formule algébrique générale, convenons de donner le même signe aux deux rayons H et R'.ou des signes contraires, suivant que les roues engrènenl exlérieurement ou intérieurement; nous avons alors

lUtD — a) -î- R'(oj'— a) = o;

d'où l'on tire, par exemple, (.5,

Dans la pratique, on remplace ordinairement, dans l'application des formules (ri), (i4), (i5j, les rayons R et R' par les nombres de dents, n et /t', qui leur sont évidemment proportionnels.

Lorsque l'un des rayons est infini, on obtient une r/t'/??ai7/<'/(î, qui sert ordinairement à transformer un mouvement de rotation en un mouvement de tran-Iation perpendiculaire à l'axe de la rotation.

(') Si un angle OXY tourne autour de son sommel O, avec la vilcsse angulaire m par rapport aux axes (ixes Oxy, et avec la vitesse angulaire o/ par rajiporl aux axes Ox'v'i lesquels tournent eux-mêmes avec la vitesse angulaire a par rapport

a O./-}-, on a : oj' — w — a. Cela résulte, en edel de ce que les angles 9 = \Ox^ 0.\ y,

9'= \0x', Ox) et a = \(}x, Ox') sont lii's pai- la relation 9=3 — a. Cela peut aussi se déduire de la composition des rotations ( n" 'lO)-

a. Pivotement d'un corps solide aitoir d'lx point fixe. — Soit le Irièdre Ox'y'z' qui pivote autour de son soniniet 0, par rapport au Irièdre de léférence Oxyz, auquel nous donnons le même sommet. Pour obtenir la disliibution des vitesses dans ce mouvement, introduisons les trièdres intermédiaires Ti. T2, que nous avons considérés au n° 36 du Tome II, à propos des angles d'Euler. On peut écrire l'égalité symbolique (n" 13)

(i6) (T', Ti = (T,, T)-i-(T., T,)-f-(T', To).

Or, chacun des trois mouvements du second membre est une rotation autour

de l'axe commun aux deux trièdres qu'il fait intervenir. Soient Qj, Q,, H^ les vecteurs instantanés de rotation correspondants. (Avec les notations du n" 36 du Tome II, ils ont pour mesures algébriques respectives <Y sur O^, 6' sur Oxi, ç' sur O^'. ) D'après le théorème de la composition des vitesses et, d'après le théorème du n" 37, la vitesse d'un point M quelconque de T' par rapport à T est

(ly) MV = L>,,M H-Q,, M-1-Q3, I\I.

Si nous considérons maintenant le vecteur 0 = Qi -h îio-l- -3? nous avons, d'après le théorème de ^ arignon (t. II, n° 116 1,

(iS) MV = o,ivr

Finalement, le rnoiueinent considéré est, à chaque instant, tangent à une rotation autour d'un axe passant par 0, qui s'appelle l'axe instantané de rotation.

Par analogie avec le n° A"!, on peut considérer les deux cônes G et C engendrés par cet axe par rapport à T et par rapport à T'. En raisonnant comme au n" 42, on démontre que toute courbe tracée sur G' roule sans glisser sur une courbe de G et l'on dit que le cùne«G' roule sans glisser sur le cône G. Pour celte raison, G' est appelé le cône roulette et G le cône base.

En Mécanique appliquée, on réalise un tel mouvement au moyen d'un engrenage conique, qui se définit au moyen des cùnes G et G' comme l'engrenage plan a été défini au moyen dos courbes G et G', au n" 43. Dans la pratique, les cônes G et G' sont presque toujours de révolution.

43. Mol VEWENT général d'un corps solide. — Soit le triédre T' ou O' x' y' z' , animé dun mouvement quelconque par rapport au trièdre de référence T ou Oxyz. Introduisons le trièdre intermédiaire Tj de somuict O' et parallèle à T. On peut écrire symboliquement

Or, le premier mouvement est une translation, dont la vitesse W est le vecteur vitesse de O'. Quant au second, c'est un pivotement autour du

Haag. — Cours. III. -1

5o CHAPITRE III. — CINÉMATIQUE DU CORPS SOLIDE.

poinl 0' et nous saxons ( n° Ai) qu'il est langent à une rolalion ifpri'-

senlée par un vecteur O'ii passant par 0'. Si nous appliquons le théorème 'lila composition des vitesses, nous voyons que la vitesse dun poinl quelconque .M de T' |)ar rapport à T est

(•20) RIV = W-f-O'Q. iM.

On peut la considérer comme le moment résultant, par rapport à IM, du

syslèntie de vecteurs constitué par le vecteur O'ii et par le couple d'axe \V. On sait, d'autre part (t. II, n° l'23), qu'un tel système est toujours équivalent à un torseur. Or, c'est un torseur qui donne la distribution des vitesses dans un mouvement hélicoïdal (n" 39 j. Donc :

Théobème. — Le mouvement le plus général d'un corps solide es/, à chaque instant, tangent à un mouvement hélicoïdal .

ifi. Composition diîs mouvements. — Reprenons la chaîne de trièdres T, T,, T2. ..., T„ considérée au n" 13. La distribution des vitesses dans le mou\emenl de T^, par rapport à Ty,i est obtenue en vertu du numéro précédent, en prenant le moment résultant d'un certain système de vecteurs S^. Si nous appliquons alors le théorème de la composition des vitesses, nous voyons que la vitesse d'un point quelconque M de T„ par rapport à T est la somme géométrique des moments résultants de tous les systèmes Sy, par rapport à iM. Autrement dit. c'est le nioment résultant du système

S = Si-+- So-t- S.-j-f-. . .H- s„.

Nous aboutissons donc à une règle très simple.

J.a distribution des vitesses dans le niouvemcnt résultant s'obtient en ajoutant les systèmes de vecteurs qui donnent la distribution des vitesses dans chacun des mouvements composants.

C'est ainsi (jue, pour composer plusieurs rotations, il suflU de prendre le ■-ystème formé par leurs vecteurs instantanés.

Quand le système résultant S est équivalent à un vecteur unique, le mouvement résultant est tangent à une rotation unique. Si S est, au contraire, équivalent à un couple, il y a une translation tangente, dont le vecteur vitesse est l'axe du couple. Dans tous les autres cas, le mouvement résultant est tan<'ent à un nmii vcment hélicoïdal.

l'IllNCIPES FO.NDA.MK.NTALX DK I.A DVNAMIOUK

47. Masse. — En Dynamique, s introduit un élément nouveau : la masse. Au point de vue mathématique, nous la définirons simplement de la manière suivante : la masse d'un point géométrique ^\ est un coefficient positif m qui lui est affecté et qui est constant.^ par définition ('^. La masse d'un système S de plusieurs points est la somme des masses de chacun de ces points. Par les procédés du calcul intégral, on peut ensuite définir et calculer la masse d'un milieu continu quelconque, en se donnant la densité en chaque point de ce milieu {cf. t. I, n"* 178 à 180).

De la masse, on fait dériver d'autres éléments, tels que le centre de gravité et le moment d'inertie, qui s'introduisent naturellement dans l'étude détaillée de la Dynamique et que nous avons définis et étudiés dans les n°^ 181 à 18o du Tome I.

Au point de vue expérimental, la notion de masse peut donner lieu à d'interminables discussions philosophiques. On peut la présenter comme une conséquence naturelle de tel ou tel phénomène mécanique et la définition qui en résulte dépend éNidemment du phénomène choisi (-).

rSous ne prendrons parti pour aucune école et nous admettrons, ce qui est vérifié dans la pratique, que l'on peut affecter à chaque portion de matière de l'Univers un coefficient positif appelé sa masse, tel que tous les phénomènes dynamiques ou statiques expé-

(') On pimrrait lout aussi bien convenir qu'il peut varier sui\unt lerlaines lois. C'est ce qu'on fait dans certaines théories di; I^hysiquc mathématique moderne.

(^) Cela explique les éternelles discussions auxquelles donne lieu la définition de la masse, chaque auteur attachant naliirellement une iinporlance prépondérante au ptiénoméne particulier dont il di'iliiit cil éli'iiici.t.

rimenlaux soient qualitativement et quantilativement concordants, aux erreurs d'expérience près, avec la théorie mathématique qu'on j)eut en faire par le secours de la Mécanique rationnelle. Il "suffit alors, pour trouver les masses des différents corps, de se donner une fois pour toutes la masse de l'un d'entre eux (par exemple, d'un morceau de platine, auquel on donne, par convention, la niasse looo) et de lui comparer les masses des autres corps, en utilisant n'importe quel |)héuomène mécanique. Bien entendu, il y a intérêt à choisir ce dernier parmi les phénomènes d'expérimentation facile et dont les mesures se font avec la plus grande précision. C'est ainsi que, dans la pratique, on utilise le phénomène de la pesanteur, pris sous une forme statique particulière, qui est la balance. En Astronomie, au contraire, on mesure les masses des planètes, en utilisant le seul phénomène mécianique dont on dispose, c'est-à-dire l'observation de leurs mouvements (').

Il est évidemment impossible de démonlrei- que, quels que soient les phénomènes utilisés, les mesures de la masse sont toujours concordantes. C'est là une vérité d'ordre expérimental, qui porte le nom à axiome de la masse et qu'on ne peut même songer à véiùfier directement. Comme les autres axiomes de la Mécanique, que nous allons rencontrer [)lus loin, il est vérifié par ses conséquences, c'està-dire par la concordance de toute la Mécanique appliquée avec la Mécanique rationnelle ('-).

iH. Foitci: lîKi.ATi VK (•'). — Soit un jtolnl M, de masse m, dont nous considérons le mouvement par rapport à un certain triédre de

référence T. Au temps /, il a un certain vecteur accélération M^. Nous appellerons force l'elative au frièdre T. appliquée au

Cj L'unilé de masse est. ((Ile fois, la masse dune des ))Iaii(ites, pae exemple, de la Terre ou bien la masse du Soleil. On jxmiI la ( ompaici' à la masse du kilogramme- (•lalon, grâce au prim ipe de la gra\ilatii>n uni\(rselle ( c\j)érienee de Cavendisli ).

{"■ j De même, le ])hysicien (|ui bàlil une llu'orie malh(!nialique part souvent de j)rincipes dont la ^érifiealion directe est impossible (t(dlcs les hypothèses atomi(jues) et .se (•onsi(l(;rc comme satisfait quand les coMS('quences de sa th('orie (|ui peu\enl être soumises au contrAle de re\|)i'iiiiMiitation se ti(iii\enl \iri(iées avec une a|)proxi mation suffisante.

{^ ) Celte notion est duc à IVI. I'aiiile\(-.

point M, à l'instant t. le vecteur

(0 7=m.Mt

Comme son nom Tindique, celle force dépend essentiellemenl du choix du Irièdre de référence. Si Ton prend un autre Iriédre T', animé d'un mouvement quelconque par rapport au premier, nous savons (n" 16) que le vecteur accélération est changé, donc aussi le vecteur force relative. 11 j a toutefois un cas où l'accélération et, par suite, la force ne changent pas; c'est celui où le mouvement d'entraînement est une translation rectiligne et uniforme ( n" 16). Nous avons donc cette proposition fort importante :

THÉORÈArE. — La force relative appliquée à un point M est la même par rapport à deux trièdres de référence animés^ Vun par rapport à Vautre, dhine translation rectiligne et uniforme.

Dans tous les autres cas. la force change on même temps que le trièdre.

Si /' désigne la force relative à T', on passe de / à /' par la composition des accélérations (n" 16). On a, en effet,

(a) Y = t'^ le-^ '[c

En multipliant par m, on en déduit

(3) 7=l+fe+t,

en posant

(4) /e = — m'ie; fc = — rn';c.

Ces deux vecteurs correctifs f- et f^ qui doivent s'ajouter à l'ancienne force pour donner la nouvelle, portent respectivement les noms de force d'enlrainement et àQ force de Coriolis nu force comptéinentaire. D'après ce qui a été vu au n" 16, ils dépendent de la position et de la \ itesse du point !M au temps t. suivant une loi qui est entièrement déterminée quand on connaît le mouvement d'entraînement.

Au point de vue expérimental, la force relative ne correspond à aucune réalité concrète. Et il ne saurait en être autrement, puisqu'elle dépend du triédre de référence, lequel peut toujours être arbitrairement choisi. Elle n'existe pas plus, dans le iiKuidr

[)h\si(juc, que le vecteur accélération. C'est une pure abstraction nialliénialicjue.

49. Lois ok forck. — Soit un point M, de masse /?î, susceptible de prendre toutes espèces de mouvement par rapport au trièdre T. Etant donné Tun quelconque de ces mouvements, nous appellerons conditions au lenips t la position et le vecteur vitesse du point M. Quand le temps / sera le temps o, ces conditions seront aussi appelées les conditions initiales.

Cela posé, à chaque système de conditions au temps ^, faisons correspondre un vecteur f déterminé, qui sera fonction de ces condi-

lions. Analjtiquement, les composantes de f suivant les axes du trièdre de référence doivent être des fonctions déterminées des sept \ariables ^, x,y^ z, x'^y', z'j soit

Nous dirons que cette correspondance ou, si l'on veut, les formules (5) définissent une loi de force et nous dirons que le point M obéit à cette loi de force s'il est astreint à ne prendre que des mouvements tels qu'à chaque instant la force relative qui lui est appliquée

satisfasse à la définition du vecteur f ci-dessus, quand on prend comme conditions au temps t la position et le vecteur vitesse que j)ossède efTectivement le point M dans le moxivement considéré.

Il revient au même de dire que les seuls mouvements que peut prendre le point M doivent satisfaire aux équations différentielles suivantes, obtenues en projetant (i) sur les axes de référence :

(<>) I my" = g{t, x,y, z, x',y, z ),

{ niz"=h(t, x,y, z, x',y', z').

On démontre, en Analyse, qu'un tel système possède une sevdc Solution, pour laquelle x, y, 5, ;r', y', z prennent des valeurs données à ravancc, pour une valeur également donnée de t. 11 revient au même de dire que lovsqiC un point 1\I obéit à une loi de force donnée, sn/i mouvement est entièrement déterminé par la

connaissance de ses conditions à un temps t quelconque^ par exemple^ par la connaissance de ses conditions initiales.

Récipioquenient, si ron admet cette propriété, le point M obéil à une loi de force, car si le mouvement est entièrement déterminé par les conditions au temps ^, il en est de même, en particulier, du vecteur accélération à cet instant et, par suite, de la force relative (').

50. Voyons maintenant si les lois de force que nous venons de définir correspondent cà une réalité quelconque dans le monde physique. Elles peuvent s'interpréter de la manière suivante : Si un point matériel est placé dans un milieu déterminé, son mouvement par rapport à un trièdre de référence quelconque est entièrement déterminé par la connaissance de ses conditions initiales. C'est là encore une vérité d'ordre expérimental, qu'on ne saurait démontrer et qui s'appelle Vaxiome des conditions initiales.

On peut d'ailleurs discuter à perte de vue sur sa véritable sij;nification, à cause de l'imprécision même de son énoncé. Qu'appelonsnoiis, en elTet, nulieu déterminé? A. quoi reconnaissons-nous que le milieu change ? Sou\ ent, on ne s'en aperçoit précisément qu'au fait que la loi de force est modifiée et, dans ce cas, notre axiome devient un véritable acte de foi.

Sans pénétrer davantage dans ces considérations philosophiques, bornons-nous à faire observer qu'il existe pratiquement des lois de force dans la Nature. Ces lois sont, en général, déterminées expérimentalement par les physiciens. Par exemple, à la surface de la Terre, tous les corps obéissent à la loi de force de la pesanteur., qui a été déduite d'une étude expérimentale directe de la chute des corps dans le vide. Pour cette loi, le trièdre de référence est invariablement lié à la Terre. Si l'on choisissait un ti'ièdre de référence invariablement lié à un manège de chevaux de bois, par exemple, la loi ne serait plus la même et perdrait en partie sa simplicité. Connaissant

(') On peut se de'inaniler pourquoi nous a\ons pris coiiiine conditions au lenips t la position cl la vitesse et non pas simplement, par exemple, la position. Il eiU évidemment été possible de définir une loi de force de celle manière restreinte; mais, la restriclion n'eût plus été valable avec un autre Irièdre de référence, puisqu'un changement de trièdre introduit des forces correcti\es, qui tiépcndont à la fois de lu j)i)sition et de la \ itessc ( n" 48).

56 CHAPITRK IV.

le mouvcnu'ul du iiuinùye, il serait loiilelois facile de liomei' la nouvelle loi, par (le simples calculs et sans faire aucune expérience nouvelle (n° 48).

51. FoRcKs ABSOLLKS ('). — Soil un poiiilM soumis à une loi «le force déterminée /', )iar rajipoit à un Irièdre de référence déterminé T. Soit maintenant une deuxième loi de force y,, rapportée au

nu'me trièdre. Considérons le vecteur F=y', — f. C'est la force qu'il faut ajouter géométri(|uement à la première loi de force pour obtenir la seconde.

Supposons maintenant que Ton raj^porte les forces relatives à un

autre trièdre de référence T'. Les lois de force f et y, sont modifiées toutes deux; mais, elles le sont de la même manière, puisque nous avons remarqué (n° -48) que la force d'eniraînemeut et la force de Coriolis ne dépendent que des conditions au temps t, suivant une loi entièrement déterminée par la connaissance du mouvement du nouxeau trièdre par rapport à l'ancien, il suit de là que la force V reste la même; elle est indépendante du trièdre de référence. C'est pourquoi nous l'appellerons force absolue.

Toute loi de force dépend donc du trièdre de référence; mais, une modification qiu'lconque apportée à cette loi est indépendante de ce Irièdre et nous pouxons très bien eu pailer sans avoir spécifié c(; dernier.

o2. Voyons maintenant à (juoi ("orics])On(l cette notion dans la Nature.

D'abord, si la loi de force chanj^e, c'est que le milieu est modifié; il a subi une j)ertuibation P. I^'eflet, du point de vue mécanique, de celte perturbation est précisément d'ajouter à la loi de force primi-

ti\e la force absolue I''. Nous sommes certains (et ceci n'est pas un axiome, nuiis une vérité malliériuitique) que cette force absolue est indépendante du choix du trièdre de référence. Elle n'a donc j)lus le caractère relatif des lois de force considérées au numéro précédent. Elle a, en (|ui'bjiu; sorte, une crtstcnce i/ifr/n.sè//a(', qui csl lu liit-

Cj Cclli' notion est cncon- duc ù M. l'iiiiilcvc.

duction dynamique de la perturbalion \\ Elle peiil être cludii-e expérimenlalemeni, à parlir d'un trirdre de référence quelconque. La loi de force absolue déduite de celle étude est ensuite \alal)lr, quel que soit le trièdre de référence.

Il n'est pas difficile de trouver des exemples de lois de foretabsolue .

Si l'on étudie la chute des corps dans l'air, on ne trouve pas les mêmes mouAcments que dans le vide. La présence de l'air autour d'un projectile doit donc être considérée comme une perturbation. On peut déterminer expérimentalement, a\ec une précision plus ou moins grande, la loi de force absolue introduite par cette pertui-bation et cette force absolue est appelée la résistance de V air.

De même, si notre point M est électrisé, le mouxement qu'il prend à la suite de conditions initiales données n'est pas le même quand on le place dans un champ électrique ou quand on supprime ce champ. La production de ce dernier est donc encore une perturbation et les physiciens savent déterminer expérimentalement la loi de force absolue correspondante. Et, pour cette détermination, le choix du triédre de référence est sans importance. Les expériences faites avec un triédre lié à la Terre sont valables pour un triédre lié à la Lune (' ).

Si je pousse un \éliicule, je constate qu'il ne prend pas le même mouNcment que si je ne le pousse pas. Les modifications d'ordre physiologique que j'impose à mes muscles constiluent donc une perturbation et je pourrais très bien chercher à déterminer expérimentalement la loi de force absolue qui correspond à une contraction déterminée de mon biceps. C'est la force musculaire^ qui est la seule force dont bien des gens aient la notion.

Si je suspends un corps quelconque à un ressort, il ne prend pas les mêmes mouvements que s'il est libre. La déformation du ressort est une j)rrturbation et je puis mesurer expérimentalement la force absolue qui correspond à une déformation donnée.

(') Cela ne veut pas din; que. si l'on recommençait les expériences sur la Lune, ou tiouverait le même cliamp, car le seul fait de eliangcr le lieu des expériences est une peilurbaLion et peut, par conséquent, modifier la forée absolue. Mais, des e\pé- )ienees faites en un lieu déterminé peuvent être intei'prctt'-es par riippoi'l ;i un li'ièdn: de référence lié à la Terre ou lié à la Lune et. ilan^ le^ deiix i ;is. du lrou\c la nn'nie loi de fone coiiime conséquence de ces c\j)cricnccs.

o3. Ai)r)iri().\ i)i:s koiuks absoluks. — Appliquer sinuillauémeuL au point M plu>ieurs forces absolues F,, F2, . . . , F„ sera, par définilion. ajouter à la force relative f la somme géométrique

Ati point de \ ue expérimental, ceci revient à admettre que la production simultanée de plusieurs perturbations se traduit par une force absolue qui est la somme géométrique des forces absolues produites par chaque perturbation agissant séparément. Ceci est encore un axiome, vérifié, comme les autres, par l'ensemble de toute la Mécanique et qu'on appelle quelquefois Vaxiome ou la règle du parallélogramme des forces (').

Signalons un cas particulier intéressant; c'est celui où la somau'

géométrique F, + Fo H- . . . + F„ est nulle. On dit alors que les forces absolues considérées se font équilibre. Les perturbations correspondantes se neutralisent et leur production simultanée équivaut, au point de vue dynamique, à leur suppression complète.

C'est en partant de ce point de vue particulier qu'on peut arriver à V introduction statique de la notion de force. On conçoit, en efîet, que si l'on a, à sa disposition, une série de forces étalon, produites par des perturbations déterminées, telles que les déformations dun ressort (dynamomètre), on pourra toujours, au moyen de l'une d elles, équilibrer n'importe quelle auti^e force, produite par une perturbation quelconque, telle qu'une contraction musculaire et qui sera, par définition, égale et opposée à la force étalon. "

C'est même par ce procédé statique qu'on mesure généralement les forces dans la pratique, et cela explique [)ourquoi beaucoup de gens ne conçoivent pas qu'on puisse en donner une autre définition. Fa notion vulgaire de force se réduit généralement à un souvenir de

('j On fil il |)iirfuis donne une soi-disuiiL démoiislraliun'. dans des li\res de Slalifjue élémentaire. Mais on ne faisait, en réalité, que remplacer l'axiome par un ou plusieurs autres, paraissant pcut-ôlrc un peu plus intuitifs, mais tout aussi contestables du point de vue de la pure Ifigique. Il est d'ailleurs absurde de vouloir démontrer, par des syllogismes, une vérité d'ordre expérimental. On ne peut que la N.rifier par des mesures physiques, soit directement, soit par rintcrmédiairc de ses «onséqueiifes.

PRINCIPES FONDAMETfTAVX DE LA DYNAMIQUE. Dg

contraction musculaire ayant pour ciret de comprimer ou d'allonger un ressort ou d'équilibrer, par rapport à la Terre, la force relative de pesanteur (soulèvement d'un poids).

Quand on définit la force statiquement, outre les axiomes que comporte cette définition dans la Statique même, on est obligé d'en admettre de nouveaux au moment où l'on introduit la force en Dynamique. Le premier esty"= wî.y et il porte alors le nom àc principe de Vinertie ('). Si l'on regarde bien, on trouve évidemment que les axiomes sont les mêmes dans les deux méthodes d'exposition. Elles ont toutes deux le même degré de rigueur et le même caractère expérimental, lequel ne doit jamais être perdu de vue. Elles ne peuvent différer que par la satisfaction plus ou moins grande qu'elles apportent à l'esprit par leur ordonnancement. Il nous a paru préférable de suivre la marche déductive qui consiste à donner, d'un seul bloc, tous les axiomes de la Dynamique, dont la Statique apparaît ensuite comme un cas particulier. Mais, il est évidemment permis d'avoir une opinion contraire.

54. Forces de liaison; RÉACTIO^s. — Imaginons un point (ou un système de points) soumis à une certaine loi de force, par rapport au trièdre T. Supposons maintenant qu'on lui impose une ou plusieurs liaisons ^ ce qui veut dire que le point (ou certains points du svslème) ne peut pas prendre n'importe quelle position ou n'importe quelle vitesse par rapport à T. Cela modifie évidemment la nature des mouvements qui peuvent prendre naissance, à la suite de conditions initiales données; par suite, cela modifie aussi la loi de force. A la force relative donnée (ou à la force relative appliquée à chaque point du système), on doit ajouter une certaine force absolue F, pour que la nouvelle loi de force donne des mouvements compatibles avec les liaisons. Cette force F est appelée force de liaison.

Dans la pratique, les liaisons sont toujours idéalisées matériellement par des contacts. Elles portent alors plus spécialement le nom de réactions.

Par exemple, les mouvemenls que prend une bille sur un Ijillartl

(') Il est vrai que les gens qui veulent tout (léniontior anivcnt aussi à drniontrer celte formule. Inutile de dire qu'ils ne funi que déplai or la diffiiulté.

Go CHAPITRE IV.

ne soiil pas les mrincs que si le billard n Cx-islait pas. Le contacl du tapis doit donc être considéré comme une pertui'balion, donnanl naissance à une force absolue, qui est la réaction du tapis sur la bille. 13e même, un projectile ne prend pas les mêmes mouvements dans Tair et dans le \ide. Le contacl des molécules d'air doit donc «Hre considéré comme une perturbation, donnant naissance à une force absolue, qui est la réaction de ces molécules sur le projectile et dont rcnsemble est appelé résistance de Vai}\

Réciproquement, la bille exerce une réaction sur le taj)ls (elle \v déforme un peu) et le projectile sur les molécules d'air (il leur communique des mou\ements qu'elles n'auraient pas pris, s'il n'y avait pas eu de projectile). Ici, se présente un nouvel axiome :

pRiNeu'K i)K l'i':(;vlitk di: L'Aeriox irr de la iu':action. — Les réactions e.renu'es r un sur l'autre par deux points malérieis en contact (' I sont deux recteurs opposés.

oo. PnoBKKMi-: e.KM^nAi. DK LA I) Y -\ A M i( H ic. — Nous aNoiis terminé maintenant l'exposé des principes fondamentaux de la Dynamique et nous allons poinoir aborder le déxcloppement de leurs dl\ erses conséquences tliéoriques et pratiques.

Avant d'entrer dans le détail de ce développement, nous terminerons ce Chapitre en disant, en, quelques mots, en quoi consiste le problème que se propose généralement de résoudre la Dynamique.

Étant donné un point de niasse connue^ on se propose de trouver le mouvement qu'il doit prendre.^ par rapport à un Irièdre de référence déterminé^ sous Vaction d\ine loi de force (relative à ce même triédre) donnée et avec des conditions initiales don/iées.

Le même problème peut se j)oser pour un système .de plusicuis points. Sa résolution exi^e l'intégration d'un système diirèrentiel el la détermination ultérieure des constantes d'intégration. Cela est, en général, un problème fort com|)liqué et devant lequel l'Analyse se lrou\e bien souvent impui.ssaule. (^)uand on ne sait pas intégrer pai'

(' ) t)ii |)<mrrail i-nlarner dfs discussions sur I;i si^iiilii ;iiion précise do <(• rniilacl el "-iir \,i (lislynii- ii parlii' de laquelle la réaction Ji vicnl appréciable. Celle dislaiicc isl très grande pour les astres, très faible pour les molécules. Dans la j)rali(|iie de la Mécanique appliquée, celle difficulté ne se pose pas et l'on sait toujours recoiinailic que iIimin i orps se luurlicnt ou ne se touchml pa^^.

PIUXCIPES FONDAMENTAIX DK I.A DYNAMIQUE. 6l

les fonctions connues, on cherche à utiliser des méthodes d'approximation (cf. t. 1, n° 186); mais cela peut donner lieu à des calculs numériques fort longs.

56. On peut aussi se poser le problème inverse : Traîner la force, connaissant le moin-ement. Sous cette forme, la question ne présente aucune difficulté, puisqu'elle revient à calculer le \ ecteur accélération, ce qui se fait par de simples dérivations. Dans la pratique, le problème se pose un peu difîeremment. 11 s'agit, en réalité, de d(''terminer la loi de force (par rapport à un trièdre de référence qu'on peut choisir comme on \eut) correspondant à des conditions physiques données. Autrement dit, il faut étudier comment varie la force relative en fonction des conditions au temps t. C'est là un véritable problème de Physique expérimentale, qui se résout généralement sous la forme de tableaux de nombres ou de graphiques. Le rôle du mathématicien y est à peu près nul et ne peut guère consister qu'à essayer d'interpréter les résultats numériques par des formules empiriques, ce que les physiciens savent, en général, mieux faire que lui. parce qu'ils en ont davantage l'habitude. Ceci explique pourquoi ce problème inverse est, en général, à peine énoncé dans les Cours de Mécanique rationnelle.

DYNAMIQUE DU POIM .

57. Equations diffi.uentielles du molvement. — Soil un point M, de masse m, soumis à une loi de force donnc'e par rapport à un Irièdre de référence déterminé Oxyz. Cette loi de force peut être donnée soit sous forme d'une force unique (qui est nécessairement une force relative), soit sous forme de |)lusicurs forces appliquc'-es simultanément au point M, l'une étant une force relative et les autres étant des forces absolues. Dans tous les cas, on doit additionner géométriquement toutes les forces données, pour obtenir la force relative totale, qui satisfait à l'égalité fondamentale

Le vecteury'est connu en fonction dos conditions au tciups t.

On obtient les trois équations dij/érentie/les dit moin'ement, en piojetant (i) sur trois axes quelconques formant un réi itable trièdre et pouvant indiflcremment être fixes ou mobiles.

Le |)lus simple consiste généralement à projelcr sur les axes du

trièdre de référence. On obtient alors les ('q nations suivantes, où X,

• — > \ , Z désignent les projeclions de la force / :

(•i) mx"=X, my'=^\, niz" ^= Z.

Elles consliUicut un système diflérenticl tlu sixième ordi-r, ddiil l'intégration iniroduirait six constantes ai'bitraires, lesquelles se dc'lermineraient au moyen des conditions initiales.

On démontre et nous vérifierons toutes les fois que nous saurons intégrer (pie celle détermination des constantes peut toujours se faire et d'une seule niiinière (sauf dans (juelques cas singuliers, dont

nous ne pouvons parler dans cet Ouvrage). Autrement dit, il y a un moinement et un seul qui correspond à des conditions initiales données. Si on le découvre par hasard (ou bien en se guidant, comme il arrive quelquefois, par des considérations de symétrie), il n'est pas nécessaire de savoir intégrer le sjstème (2) pour affirmer que la solution trouvée donne le \éritable mouvement du point M, puisque la solution est unique.

08. Equations intrinsèqies. — Au lieu de projeter sur les axes du trièdre de l'éférence, projetons sur les axes de Frenet de la trajectoire. Si nous désignons par J\, fy, /"b les projections de / sur la tangente, la normale principale et la binormale, nous obtenons, en nous reportant au n** 8,

R désignant le rayon de courbure de la trajectoire.

Ces équations s'appellent les équations iiitrinsèques du mou^enient.

Si l'on sait, par exemple, que la force est constamment normale à la trajectoire, on peut en conclure que le mouvement est uniforme.

59. Quantité de mouvement et ^moment cinétique. — Soit MV le \ecteur vitesse du point M au temps t. On appelle vecteur quantité

de mouvement le vecteur MQ = wi.MV. Il se définit au moven de la \itesse comme la force au moyen de l'accélération. On a é\idemment le théorème suivant :

Théorème 1. ■ — La force est la dériiée géométrique de la quantité de mou<^uîment.

Si l'on intègre (2) entre deux époques quelconques ^„ et /(, t)n obtient les composantes de V accroissement géométrique de la quantité de mousement :

mx\ — Tnx\^ = / -\ dt , my\ ^ my'^ = 1 ^ "''' /n:.\ — mz',f —- I Z df.

Ce veclear est appelé Vimpidsion de la force pendant rintervalle de temps considéré.

On appelle moment cinétique par rapport au point fixe O le vecteur

(i) OK = MQ,0.

C'est le moment de ta quantité de moinement.

Ses projections sur les axes du trièdre de référence sont (t. II, n" 107)

( j) Kg= ni{yz' — ^y), \\y—m(:t:' — xz' ). \\- = m(.ry — y^' )•

Signalons que K^, par exemple, est proportionnel à la vitesse aréolaire sur le plan des xy (n" 7). On peut en conclure le théorème suivant :

Thkoiu:me II. — Si le moment de la quantité de mouvement paf /•apport à une droite fixe est constant^ le mouvement obéit à la loi des aires sur tout plan perpendiculaire à cette droite^ le centre des aires étant le point de rencontre de la droite et du plan.

Dérivons les formules (5) par ra|)port au temps : (G) \\',.= in{yz" — -J'" I, \\'y ~ in{zx" — xz"). \\L^=in{xy' — yx").

Or, les seconds membres sont les moments de la force par rapport aux axes de coordonnées. On a donc le théorème très important :

Tin'oKKMJî III. — Le moment de la force par rapport à un point fixe O est la dérivée géométrique par rapport au temps du moment cinétique par rapport à ce point.

On peut dire aussi qu'il est équipollenl au vecteur vitesse du jioint K, extrémité de ce moment cinétique, ou iiien encore que le moment de la force par rapport ci une droite fixe est la dérivée alg/ibrique.1 par rapport au temps., du moment de la quantité de mouvement par rapport à cette droite.

En rapprochant ce dernier énoncé du théorèmi; Il ci-dessus, on v\\ dé'duit \v. suivant :

TuKouivii; IV. - Si la force rencontre une droite fixe., on a la loi des aires sur le plan perpendiculaire .

60. TiîAvAiL. — Soit le point jNI, auquel est appliquée la force F. Donnons-lui un déplacement infiniment petit MM'. On appelle

—y travail clémentaire de F pou?' le déplacement élémentaire MM

le produit scalaire (t. IT, n° 101) des deux vecteurs F et MM', soit (7) d^^Y.WSV.

Si X, \, Z sont les projections de la force sur les axes rectangulaires du trièdre de référence et si dx^ dy^ dz sont les projections

de MM', on a (t. II, n° 104)

( 8 ) c/5 = X ct.v -+- Y dy -h Z d:..

En vertu de la dislributivité de la multijilication scalaire, on a le tliéorème suivant :

THÉoRii^rE. — Le travail de la résultante de plusieurs forces appliquées au point M est la somme algébrique des travaux des composantes.

Si le point M subit un déplacement fiai Mq^NI,, on appelle travail fini de la force F pour ce déplacement l'intégrale curviligne (t. 1, n" 178)

(9) ^ = f d(S = f Xdx^\ df+Z dz.

Si t désigne le paramètre qui fixe la position de M sur l'arc de courbe M„M, (ce sera, par exemple, le temps), on a

■.J\\:v'-^\y^Zz')dt,

en a])pelant x', y, z' les dérivées de x, y, z par rap{)orl à t.

Le théorème énoncé ci-dessus s'applique évidemment dans le cas d un travail fini.

Gl. Imaginons qu'à chaque point M(a:, y, z) de Vespace^ on

fasse correspondre une force F déterminée appliquée en ce point.

l ne telle correspondance délinit ce qu'on appelle un champ de

IIaag. — Cours, III. 5

G6 ciiAPiriu-; v.

forces. Los composantes X, Y, Z de F sonl des fonctions délcrniinées

des trois variables x, y, :;.

On appelle ligne de force du champ toute ligne qui est Icingenle en chacun de ses points à la force F correspondante. Les paramètres directeurs dx^ dy, dz de la tangente doivent être proportionnels à \, \, Z; il en résulte que les é(pialions différentielles des lignes

de forces sont

, dx dy dz

On dit que le champ dérive d' une fonction de forces ou cVun potentiel lorsque le travail élémentaire (8) est une différentielle totale exacte (t. I, n° lil). La fonction U(j;, y, ^), dont dZ est la différentielle ('), s'appelle Xd^ fonction de forces et — L s'appelle le potentiel. On a évidemment

(IX <)y dz

hc champ étant donné par les composantes X, Y, Z en fonction de.T,y, z, pour qu'il j ait jiotentiel, il faut et il suffit que l'on ait (t. I, n" Fil)

,rL

,)S. âY

dz <)y

dx ■

dz

oy ,)x

Lorsque le champ est défini par un procédé géométrique (juelconque, on peut reconnaître qu'il dérive d'une fonction de forces en calculant ses composantes et écrivant les conditions (i3). Mais il est souvent plus simple àe former directement V expression du travail élémentaire., ce qu'on peut faire fréquemment sans calculer les composantes; on regarde ensuite si celte expression est une différentielle exacte.

On ap|tclle surfaces de niveau ou surfaces équi potentielles les surfaces

{\'\) U = const.

Les paramètres directeurs de la normale en M(^, j', :;) à la surface

ne niveau qui passe par ce i)oint sont (t. Il, n zlO) -— > -r— > -— ^

' ' ' ' ' ()x ily oz

(') Celle fonclitjn n'esl définie qu'à une constante addilive près (l. I, n° lil).

DVNA.MlOlE DU POINT. 6"

c'est-à-dire, d'après (12), X, \ , Z. Il en résulte que le champ es(, en chaque point, normal à la surface de niveau qui passe par ce point. On en conclut aussi que les lignes de force sont les trajectoires orthogonales des surfaces éq ni potentielles.

Si l'on applique la formule (()) dans le cas où il v a une fonction de forces L, on a

Um„.

Autrement dit, le travail du champ quand M va de Mo en M, est égal à l'accroissement algébrique de la fonction de forces (ou à la diminution algébrique du potentiel). Il est indépendant du chemin parcouru; il dépend seulement du point de départ et du point d'arrivée ou, plus exactement, des surfaces de niveau qui passent par ces points.

Si l'on convient de donner la ^aleur zéro au potentiel en Mo (cj. note de la page 66), la formule ( i.j) nous montre qne le potentiel en un point quelconque M est le travail du champ quand ce point va en Mo. C'est ainsi que le potentiel électrostatique est le travail du champ électrique quand le point M va à l'indni.

L'applicatioir de la formule (i5) demande quelques précautions lorsque la fonction L n'est pas uniforme (t. I. n° 73), c'est-à-dire lorsqu'elle admet plusieurs déterminations en chaque point de l'espace. Pour évaluer le tra\ail relatif à un chemin déterminé entre Mo et M,, on part de Mq a\ec une détermination quelconque de U; puis, on suit l'accroissement continu de cette détermination le long du chemin considéré et l'accroissement final, quand on arrive en M,, est le travail cherché.

Ce travail n'est pas nécessairement le même pour deux chemins différents ayant la même origine et la même extrémité. Cela tient à ce qu'on peut décrire des circuits fermés donnant lieu à un Iravr.il non nul et égal à la différence des deux déterminations de U à l'arrivée et au départ. Si, |>ar exemple, le circuit MoNMiPMo donne le travail A, on a

C(MoNM,) = A - ê(.M, P.Mo) == A -I- 5( AIoPM,).

G2. Nous allons maintenant passer en revue les exemples qu'on rencontre le plus fréquemment dans la pratique.' de cliainps de force

dérivant d'un potentiel. On peut les résumer tous en disant que ce sont des combinaisons à^ attractions ou répulsions par un plan^ une droite ou un point, dont chacune est uniquement fonction de la distance du point jNI à Vêlement attractif ou répulsif.

I. Attraction ou répulsion par un plan. — Prenons le plan poui'

plan des .vy. La force F est perpendiculaire à ce plan, donc parallèle à Oz. Sa projection Z sur cet axe est une fonction de la cote ; de ]M. Le travail élémentaire

(i6) diB = Z(/:.

est la difTérentielle de la fonction

(17) l] = fzdz,

qui est la fonction de forces.

II. .1 1 traction ou répulsion par une droite. — Soit. O:; cette

droite et soit 7' = PM sa distance au point \L La force ¥ est dirii^ée suivant I^M et ne dépend que de r. Soity"(/") sa mesure algébrique suivant la demi-droite qui va de P vers M, de sorte que l'on a une répulsion ou'une attraction sui\ant qucy(/') est positif ou négatif. Evaluons le travail élémentaire pour le déplacemeni iulînimenl petit MM'. Nous multiplions /"(/•) par la projection de MM' sur PiM. Or cette projection est un infiniment j)etit équi\ aient à dr (cf. t. L n° 173), en a]>pelant /• -j- dr la distance de M' à Oz. Ou a donc

h8) dî^ =f(r)df\

ce qui est la difTérentielle de la fonction de forces

^M)) \}=ff(r)dr.

m. Attraction ou répulsion par un point. — Soit Ole centre de

i-épulsion ou d'attraction et soit OM = ;•. La force F est dirigée suivant OM; soity"(/-) sa mesure algébrique suivant cette demi-droite, de sorte que l'on a encore une attraction ou une répulsion suivani quey'(r) est négatif ou positif. En raisonnant comme tout à l'heure, on voit que le travail élémentaire est encore donné parla formule (18) cl, par suite, la fonction de forces pai' l;i formule (if)).

SI l'on remarque que, dans le premier cas, :; est aussi la dislauce du plan attractif ou répulsif au po'int M, on voit qu'on peut réunir les trois cas en un seul, la fonction de forces étant toujours donnée par la formule (n)).

Nous laissons au lecteur le soin de vérifier à titre d'exercice, que l'on a bien les formules (12), dans chacun des trois cas.

(33. On peut maintenant obtenir des fonctions de forces plus compliquées en additionnant plusieurs fonctions de la nature précédente. On a, en effet, le théorème suivant :

THÉORi:ME. — S i plusieurs forces appliquées au point ^i dérivent chacune d\in potentiel^ leur résultante dérive aussi d\in potentiel^ qui est la somme algébrique des potentiels des forces composantes.

Cela résulte du théorème du n" GO et de ce que la diflerentielle d'une somme de plusieurs fonctions est la somme des différentielles de ces fonctions. On le voit tout aussi facilement en appliquant les formules (12) à chaque composante et en ajoutant, conformément au théorème des projections.

6i. THÉouiiME DES FORCES VIVES. — Rcvcuons maintenant au mouvement du point M. Evaluons le tra\ail élémentaire de la force relative totale/, pendant le temps infiniment petit dt. Le déplacement élémentaire a pour composantes

{■10} dx = x' dt^ dy ^= y' dt^ dz = z' dt.

Si, d'autre part, nous appliquons les formules (2), la fornnile (8)

nous donne

cIkd = m d t (x" .r' -h y" y' -h z" z'}.

Or la parenthèse est la demi-dérivée de a:'--|-j '--f- c'^, c'est-à-dire

de V-. On en conclut que

(21) dG = d l - mi^-

Le produit mv^ est appelé /orce vive du point M el la moitié de ce produit est appelée énergie cinétique. La formule (21) peut alors donner lieu à l'énoncé suivant :

TuÉORÏîME DES FORCES VIVES. — Lc travail élémentaire de la Jorce

relative appliquée au point M pendant le temps dt est égala la différentielle de la demi-force vive ou énergie cinétique de ce point.

Quand une foixe F est appliquée au point mobile M, on appelle puissance de cette force au temps t le quotient de son travail élémenlaire par le temps dt pendant lequel se produit ce travail (M. Si rou divise les deux membres de (21) par dl, le théorème des forces vives peut alors s'énoncer de la manière suivante :

La puissance au temps t de la force relative totale appliquée au point M est la dérivée par rapport au temps de l'énergie cinétique de ce point.

Si l'on intègre (21) entre deux époques quelconques, on obtient encore une nouvelle l'orme du théorème des forces vives :

Le travail de la force relative pendant uji intervalle de temps quelconque est égal ci r accroissement algébrique de Véneigie cinélitjue jicndant cet intervalle.

05. Cas ofi il y a un potentiel. — Supposons que la force rela- ' tive dérive d une fonction de forces U. Nous savons que, pour un déplacement quelconque, le travail élémentaire est la difTérenticllec^U. Peudanl le mouvement, celle dilTérenticdh; est donc constamment égale à la dilTérentielle de l'énergie einéli(pie. Il en résulte que ces deux fondions du temps ne diirérenl que par une constante, ce qui s'écrit

(l-l) - DH'^ = V + h ,

h cliint une ((Uislante. qu on appelle (udiuaircmcnl la constante des forces vives et qu'on peut détcrnnner au nujyen des condi lions initiales.

Le potentiel — IJ s'ap))elle aussi Yénergic pnteriticlle (bi poiui M.

(') l,C IrilN^il, d(J)lli.S Ir trlii|)s f) jusiiu'im l(]li|)^ /, ol une l'niiclinii lie /. L;i |iin>saiiic est la (li'^iiviT de celle I'oik lion. Iii\ erseiiieiil , le lra\ail de o à t s'idilieiil en iDlt'f:iaiil la puissance entre ces deux liniiles. Dans lo cas jiai I ii iilier où la puissanec

est conslantr, le lra\ail e-it pi-opoiii ici an temps et In iiiii'-'-aiiee est alors le travail

par unité de temps.

DYNAMIQUE DU POIXT. 71

Si on le fait passer dans le premier membre Je (22),onpcul dire que la somme de l' énergie cinétique et de ^ énergie potentielle du point A[ est constante.

66. Principaux cas d'imtégration des équations de la dynamique DU POINT. ■ — Maintenant que nous avons vu les différentes manières décrire les équations du mouvement d'un point soumis à une loi de forces donnée, ainsi que les importantes conséquences qu'on eu peut déduire par la considération du moment cinétique et de la force vive, nous allons passer en revue les principaux cas, présentant quelque «généralité, où l'on sait intégrer ces équations, en totalité ou en partie.

J/oinenient rectiligne. — Dans certains problèmes, le point M est astreint à se mouvoir sur une droite fixe. Ou bien on peut démontrer a priori (par exemple, par des considérations de symétrie) que la trajectoire est certainement une droite. 11 est alors naturel de prendre cette droite comme axe des x et le mouvement ne dépend plus que d'une seule équation différentielle du second ordre en x. Nous avons indiqué, dans le Tome I (n*'' 195 et suiv.), les cas élémentaires d'intégration ou d'abaissement de Tordre d'une telle équation. 11 est facile d'en donner l'interprétation dynamique.

Si l'on se reporte, par exemple, au n° 195 précité, on voit que la détermination du mou^'enient se ramène à liiUcgration d une équation différentielle du prenner ordre dans les cas suivants :

I. La force ne dépend pas de la position du point Al. — Ou prend alors la vitesse comme inconnue.

Si, en outre, la force est indépendante du temps, les variables se séparent (t. I, n** 188) et l'on peut intégrer par quadratures.

II. La force ne dépend pas du temps. — On prend encore la vit(.'sse comme fonction inconnue, mais x pour variable indépendante.

Si, en outre, la force ne dépend pas de la vitesse, autrement dit, si elle ne dépend que de la position (bi point ,M,les variables se séparent et l'on peut intégVer par quaibaluics. Cela résulte d'ailleurs, eu loulr évidence, du théoix'me des forces \ives. Ou a. vn ellet. \n\e

fonction do l'orccs L' = / \dx. L'inlép;rale des forces vives (2:',) nous donne alors

67. L\ti':gi\ales PUEMiÈHES. — Revcnoiis an cas du mouvcmenl i^énéral dans l'espace. On dit qu'on obtient une intégrale première lorsqu'on trouve une équation de la forme

( 24) F ( t, .1-, y, z, x', y\ z') = cnst.,

<jui est vérifiée par tout niouvenienl ohéissantà laloi de force donnée, la constante pouvant, bien entendu, varier suivant les conditions initiales, qui j)erniettent d'ailleurs de la calculer. Autrement dit, l'équation (24) doit être une conséquence des équations (2) et peut remplacer Tune d'elles. Elle a l'avantage de ne plus renfermer de dérivées secondes, de sorte que l'obtention d'une intégrale première est toujours un pas vers l'intégration totale du système.

Sans nous préoccuper davantage de la recherche et de lulilisation de ces intégrales, citons (pichpies exemples simples et (jui se présentent fréquemment dans la praticpie.

I. Lajorce est constamment perpendiculaire à une droite /ire. — Si l'on prend cette force comme axe des x, on a ,r " = o ; donc

( l'i) T = at -h b,

fiel /y désignant deux constantes. Autrement dit, la projection du moui'ement sur Vaxe des xesl un mouvement uniforme. L'équation (25) équivaut à deux intégrales premières, en ce sens qu'elle contient deux constantes d'intc-gralion.

II. f.a force rencontre une droite fixe. — - Si ViMi prend celte droite pour axe des z. on sait que la vitesse arèolaire sur le plan des xy est constante (n" o9) ; cela donne l'inli'grale première

^^.6) .ry' — yx'=^con>\.

Il est souvent avantageux, dans ce cas, de prendre des coordonnées

scini-polairc's; rôqiialion (2(3) sécrit alors in" 7)

m. Il y a potentiel. — On a Viiitégralc des forces vives (22).

Quand on se trouve simultanément dans "plusieurs des cas précédents, on peut écrire plusieurs intégrales premières et, par leur cûmi)inaison, on peut quelquefois arriver à intégrer complètement les équations du mouvement.

68. FoiîCEs CENTRALES. — Voici un cas très important où la recherche du mouvement se trouve tout de suite considérablement simplifiée. C'est le cas où la force passe par an point fixe ou, comme on dit, est centrale.

Soit O le point fixe. Le moment de la force par rapport à ce point est nul; donc le moment cinétique OR est constant en grandeur et en direction ou, si l'on veut, le point K est fixe, puisque sa vitesse est constamment nulle (n" 59). On en conclut d'abord que la trajectoire se trouve dans le plan mené par O perpendiculairement à OK, puisque OK est perpendiculaire au plan OINR , donc à OM. En outre, on a la loi des aires. En raison de leur importance pratique, énonçons ces résultats sous forme de théorème :

Tur-oiiiiME. — Quand un point M est soumis à une force centrale de centre O, la trajectoire est plane et dans un plan passant par O; de plus, elle est décrite suivant la loi des aires., le centre des ciires étant le point fixe O.

Pour déterminer le plan du mouvement, il suffit de remarquer qu'il doit contenir le vecteur vitesse initiale MoVo. Comme il doit, en outre, passer par O, il est ainsi complètement déterminé. 11 y a exception seulement dans le cas oii Mo^ 0 passe par O. Dans ce cas, le moment cimétique OK est nul au temps O; donc, il est constamment nul et l'on en conclut que la vitesse doit constamment passer par O; ceci ne peut arriver que si la trajectoire est une droite passant par O (• ). On est ramené au cas du mouvemeuL icctlligne (n" 66).

('j 11 n'exislr pas ilc iiij:iie cuurbe ddnt Iniilrs les lan^'entes pass.'iil i)ar un poinl fixe, car si la tan^çcnte varie, rlle cnjicndrc un cùne; sdii poinl liiiiitt- (■>( ronslani-

74 ciiAPiTRi; V.

Ce cas parllculier élanl ccarlé, pour achever la détermination fin mouvement, il est généralement avantageux (' ) de prendre des coordonnées polaires dans le plan de la trajectoire. On a immédiatement une première équation très simple, qui est Vinlégrale des aires :

^ ' dl

l'our avoir la seconde, on peut projeter l'égalité fondamentale (i) sur le rajon vecteur (-), en se servant de la première formule (19) du n° 10. On peut aussi, si l'on a oublié cette formule, employer le théorème des forces n\'es, qui donne immédiatement Téquallon

(29) /dr = d\^-mi-^y

On se rappelle, d'autre part, la formule (n" 10) , , dr^--¥-r^-d(i^

Le théorème des forces vives est particulièrement indiqué lorsqu'il

y a potentiel. Supposons, par exemple, que / ne dépende que de /'. On a alors une fonction de forces U, que l'on commence par calculer au moyen d'une quadrature (n° 62). On écrit ensuite Vinlégrale des forces vives

(3i) <//-=-hAV<fO-2= — (U-t- /Of^^--

Il est alors très facile d'intégrer le système (28), (.îi) par quadratures. Nous pouvons indifféi'emment éliminer dt ou dH. Eliminons, par exemple, dt^ ce qui nous conduira à Vérjualion différentielle de la trajectoire. Sans faire aucun calcul, nous voyons que cette équation ne renfermera pas explicitement 0 et, par conséquent, ou pourra séparer les variables (t. I, n" 188). EfTeelivement, en tirant dt

Mienl ]'■ ])uinl fixe cl iir j)eul décrire une courbe. On peul icrTian|uer ;iussi i|mi' I.i constanic de l'c-iiualion (y.-]) est nulle; donc -j- — "> 'J = cunst.

(') Le seul cas où il n'en est pas ainsi est celui où la force est inoporl idiincllr .1 la dislance (n° 87).

<=') Si l'on projetait sur la pcrpendirulairc h ce rayon vecleur, on relniuvcrait (28).

de (28) et portant dans (•)!), on trouve

dr

Tri I 0 =

mC2

Ayant r en fonction de 0 ou 0 en fonetion de /•, léquation (28) donne ensuite t en fonetion de la mT-me variable, ee qui détermine la loi du mouvement sur la trajectoire

G'J. Formule de Binet. — Cette formule donne la fone /', quand on connaît l'équation polaire de la trajectoire. IScus allons la déduire de (ag). Calculons, au préalable V-, en nous servant de (-28), pour éliminer le temps :

en [posant u = - et désignant par des accents les dérivées par ra|q)orl à 0. La fnrinuie (29) nous donne maintenant

, jn(]- di u--\- U-) ^ / du , du'\

■^ 2 dr \ dr dr J

Or,

du .^ du' „ d<) „ I „

dr ' dr dr r'

Portant plus haut, il vient

(34) f == — mC-u-(u -\- u").

Telle est la formule de Binet.

Elle est généralement employée pour déterminer la lui de force centrale qui permet de faire parcourir librement une courbe donnée, avec une vitesse aréolaire donnée.-

On peut aussi chercher à rntili«er pour trouver la trajectoire, quand on connaît la loi de force, c'est-à-dire pour résoudre le problème ordinaire de la Dynamique. Par exemple, si f est une fonction connue de /•, donc de ?/, l'équation (34) s'intègre par quadratures. Mais, outie que la formule de Biael est assez difficile à retenir exactement, il est généralement plus simple d'utiliser directement l'intégrale des aires et l'intégrale des forces vives, comme nous l'avons exposé au numéro précédent. La formule de lîinet n'est avantageuse que dans le cas où la force est inversement pro|)ortionnelle au carré de la distance ( n" 93), parce qu'elle conduit à une équation linéaire à coeflicienls constants, dont l'intégration est immédiate.

70. Poi.xT c.\-.\t. — Le point M e.^t dit gêné ou soumis à des liai-

76 CIIAPITHE V.

sons (11" oi) lorsqu'il est assiijeltl à rester coiistamnienl sur une courlje C ou une surface S donnée. Celte courbe ou celle surface peut être lixe ou mobile. Le second cas peut cvidcuimcnl se ramener au premier, par un changement de trièdre de référence, \iais, c'est là une opération généralement compliquée (n" i8).

La courbe ou la surface exerce sur le point M une réaction R, dont les trois composantes R.r, R,-, Rc sont inconnues, (^omme la position de M dépend d'un paramètre sur C et de deux paramètres sur S, on voit qu'on a, en tout, quatre ou cinq fonctions inconnues. Or, la Mécanique rationnelle ne nous donne que trois équations (n" 57); il nous en manque donc une ou deux, suivant le cas. La détermination du mouvement d'un point gêné, soumis à une loi de force donnée, ap[)araîl donc comme un problème insolul)le par le seul secours de la Mécanique rationnelle. Pour le résoudre, il nous faut chercher des équations supplémeiilciires et ces équations ne peuvent nous être fournies que par une élude expérimentale des réactions. Celle élude a été faite, dans des cas simples, avec une précision assez grossière. Elle a conduit au\ lois sui\antes. Deux cas sont considérés.

71. Premier cas : il n'y a pas frottement { '). — Ce cas, purement lliéorifpie, mais dont on peut quelquefois s'approcher a\ec une assez grande exactitude, consiste à admettre que la réaction est normale à la (M)urbe C ou à la surface S. Cela se traduit par une équation supplémentaire dans le premier cas et [>ar deux équations dans le second cas. De toutes façons, le problème est, cette fois, en I ièremen t déterminé.

On peut éliminer aulomaliqueuienl la réaction eu projetant VéviCilité fondamentale {\) sur la tangente à la courbe Cou sur deux tangentes distinctes de S. On obtient ainsi autant d'équalions que l'on a d'inconnues et l'on peut, par consé(|uenl, délermiiier le mouvement. Si l'on veut cnsuile la réaction, il suffit de remarquer que l'on connaîl l'accélération, donc la force relative totale; en en retranchant la lorcc donnée, il reste la réaction. Bien entendu, celle soustraction géométrique s'opère analjtiquemenl par projection sur les axes du Irièdre de référence ou bien sur deux normales distinctes (h' C ou sur la normale de S.

C; On (lit ;iii^-i que la murlx' C ou la .'■urryce S v.Vil paifaileinrnt polie.

DYNAMIQUE DL" POIXT. 77

Dans le cas où la courbe C ou la surface S est fi\e^ ou, comme on dit, lorsque les liaisons sont indépendantes du temps, on peut ap])liquei- le théorème des forces vives, en négligeant la réaction dans l'évaluation du travail élémentaire. En effet, le déplacement élémentaire du point M est tangent cà C ou à S; il est donc normal à la réaction et le travail de cette dernière est nul.

Cela donne un moyen simple d'avoir une équation du mouvement et cette équation est même suffisante dans le cas où la liaison est une courbe.

Mais, il faut bien prendre garde de ne pas employer ce procédé (à moins d'introduire le travail de la réaction) lorsque C ou S est mobile. Dans ce cas, en effet, la vitesse absolue du point M est la somme géométrique de sa vitesse relative, qui est tangente à C ou S et de sa vitesse d'entraînement, qui n'est pas tangente, en général. Il s'ensuit que le déplacement élémentaire absolu, qui doit entrer en ligne de compte pour l'évaluation du travail, n'est pas perpendiculaire à la réaction, de sorte que le travail de cette dernière n'est pas nul. On commettrait donc une faute grossière en le négligeant dans l'application du théorème des forces vives.

Lorsque le point M est assujetti à rester sur une courbe fixe, on peut remarquer que l'on connaît la trajectoire, qui est celte courbe elle-même. 11 peut être alors assez commode d'employer les équations intrinsèques (n" 58). Si l'on désigne par F,, F^, F^ les projections de la force active donnée sur la tangente, la normale principale et la binormale et par R.^-, R,. les projections de la réaction sur les deux dernières droites, on a

(35) //( — = Ft, m — = F>i-r- R.n, FB-f-Rii=o.

La première détermine le mouvement; les deux autres donnent les composantes de la réaction.

72. Deuxième cas : il y a frottement. — On admet alors que la réaction obéit aux lois suivantes, dites lois du frottement de glissement :

ï" La composante tangentielle de la réaction ou force de frot-

teiiient <I> a constamuienl la direction opposée à la vitesse de glissement :

2° Son rapport a^'ec la composante noiniale est constant et s'appelle le coefficient de frottement.

Quchjiies cxplicalions sont aécessaires à ce sujet.

D'abord, la vitesse de glissemenl est la vitesse du point M par rapj)ort à C ou à S; ce n'est donc sa vitesse al)solue que si C ou S est fixe.

Dans le cas d'une courbe, la première loi se traduit j)ar une simple inégalité, qui exprime que le sens de la force de frottement est opposé à celui de la vitesse de glissement. Si la liaison est, au contraire, une surface, il faut encore exprimer que cette force et cette vitesse se trouvent sur la même droite du plan tangent, ce qui se traduit par une équation.

Pour la deuxième loi, on doit calculer la composante normale de la réaction, c'est-à-dire la long-^eur N de la projection de cette réaction sur le ])lan norjiial à C ou sur la normale à S; puis, ou ('crit que

y désignant le coefficient de flottement.

On voit que, dans tous les cas, les lois du frottement nous donnent juste autant d'équations supplémentaires (ju'ilnous en fallait. Le mouvement est donc encore une fois déterminé.

Ain^i que nous l'avons dit plus haut, ces lois du frottement sont purement empiriques. La première paraît assez intuitive et a probablement une grande exactitude. Quant à la seconde, elle n'a été établie (pie dans certaines conditions particulières et il est dangereux de l'extrapoler (;n dehors de ces conditions. En particulier, il est probable que le coeflicient de frottement, qui, en principe, ne dépend (pie de la nature des surfaces matérielles en contact, dépend en réalité de la vitesse de glLssenumt, lorstpie cell(;-ci devient trè> grande. Jl vaiie peut-être aussi lorsque la eomposanle normale A devient très grande. D'ailleurs, la moindre modilication pliysicjue apportée aux surfaces en contact peut changer considérablement sa \aleui-, (pii n'est jamais connue (pi'avec une aj)|)roximation assez

DVNAMIQIE DU POINT. 79

i;rossière, comme oii s'en rend compte aisément en comparant les coefficients donnés par des recueils difTérents.

La conclusion à tirer de tout ceci est c^n' il îie fauf jamais perche son temps à vouloir traiter a^-cc une grande précision numérique l'étude d'un mouvement où l'on est obligé de tenir compte du frottement.

Quant à la mise en équalion du problème, elle se fera en introduisant, par exemple, les composantes de la réaction suivant les axes du trièdre de référence et écrivant ensuite, outre les équations générales (2), les équations qui traduisent les lois du frottement. Gela conduit généralement à des calculs très compliqués et Ton ne peut sien tirer pratiquement que dans quelques cas très simples (cy. n° 80).

Dans le cas où la liaison est une courbe fixe, on peut, comme tout à 1 lieure, emplover les équations intrinsèques

( 07 ) m — = Ft -i- *, m — = F.N -h Rn, Fb -H Ru = o,

auxquelles on doit ajouter (36), la composante normale N étant donnée par la formule

(38) N=zv/H^^Hn-

En éliminant les composantes de la réaction, on trouverait l'équation différentielle du mouvement.

73. Même lorsque les liaisons sont indépendantes du temps, on n'a pas le droit^ comme au w^ 71, d^ appliquer le théorème des forces vives en nés^liseant le travail de la réaction. Loin d être nul, celui-ci est, au contraire, lorsque G ou S est fixe, toujours négatif. En effet, la projection de la réaction sur le déplacement élémentaire est toujours dirigée en sens inverse de ce dernier; le travail élémentaire de la réacïion est donc constamment négatif et, par suite, aussi son travail fini, dans un intervalle de temps quelconejue. Si l'on applique le théorème des forces vives, on voit que le frottement absorbe toujours de l'énergie cinétique (' j; il diminue donc la vitesse.

(') On sait que celle énerjiie se tiansfonnc en clialeur, re ((ui est une autre forme (l'énergie cinétique, si Ton admet, les théories cinétiques de la matière.

8o CHAPITRE V.

71. Liaisons lmlatkuvlks. — On dit que la liaison du [)oiiiL .M sur la surface S est unilatérale si le point peut quitter la surface d'' un seul côté. Elle est, au contraire, bilatérale, s'il ne peut la quitter ni d'un côté ni de l'autre.

Dans la première hypothèse, soit E le côlc vci's lequel ]\i peut (Millier S. On admet que la réaction doit toujours être dirigée de ce côté et que, dès que le calcul imj)lique nne réaction dirigée de l'autre côté, le point M quitte nécessairement la surface; le monvement devient libre. Pour apercevoir aisément dans quel cas on se trouve, il est commode d'orienter la normale à la surfiice vers la région E; on calcule ensuite la composante normah; algébrique ]N de la réaction. Tant que N reste j)Ositif, le jxnnl reste sur la surface; dès que N lend à devenir négatif (dans l'Ii v|)()tliést; où iM reslerail sur vS), le [ioint quitte la surface et il n'y a plus de réaction.

On réalise matériellement xine liaison unilatérale, en posant le point dun côté de la surface. (Pour réaliser la liaison bilatérale, il faudrait construire deux feuillets très rapprochés, entre lesquels on introduirait le point M.) L'hypothèse faite plus haut sur le sens de la réaction s'exprime alors quelquefois en disant qu'il n'y a pas dUidhérence.

On peut aussi réaliser malériellemeiit la liaison unilatérale à l'aide d'un /tV llexible et inextensible. Le point M est attacbé à une extrémité et l'autre extrémité est attachée à un point fixe O. Si l'on s'en tient là, la surface S est évidemment une sphère de centre O et de rayon égal à la longueur du fil. Mais, on peut aussi astreindre le point M à décrire une surface quelconque, en obligeant le fil à s'appuyer, sur une j)artie de sa longueur, sur une surface S', sur laquelle 11 j)eut glisser librement. Cette généralisation est toutefois plus tliéoil(inc (pie pratique et la liaison [)ar fil n'est guère utilisée que pour le |)endule splierupie.

(hiol (ju'il en soit, si le fil est parfaitement llexible (n" 146) et si, (le |>lus, sa masse est négligeable vis-à-vis de la force appliquée a.i point M, ce mode de liaison réalise à peu près parfaitement l^absence de Jrollenient. INous verrons, en eflet (n" 146), que le fil est const;imment recliligne (dans sa partie libre, bien entendu) et que sa tension est dirigée suivant sa propre direction. Comme la tension en M est opposée à la réacli(ui du (il sur M et comme, d'autre part, le fil est constamment normal à la surface S déeille par M (j)arcc

DYNAMIQUE DC POINT. fî I

f|ii'il est inextensible) (M, on voit hien que la réaction est normale à S.

La liaison unilatérale sur une courhe n'a évidemment aucun sens dans l'espace, puisque la courbe ne partage pas l'espace en deux régions. On ne peut en parler qu'en Dynamique j)lane et l'on peut alors la réaliser matériellement au moyen d'un fil, comme dans le |»endule simple.

(') Cela est évident dans le cas de la sphère. Dans le cas de la généralisation indiquée plus haut, cela résulte d'une extension à la théorie des surfaces de la pro- |)riéié des développantes de courbes planes (l. II, n" 317).

IIaag. — CourSj III.

7o. Pesanteur. — Par rapport à la Terre, tous les corps placés à sa surface obéissent à une loi de force relative très simple, qui est la pesanteur. L'expérience montre que tout point matériel M abandonné librement dans le vide ('), en un lieu déterminé, prend, ])ar ra|)porl à un trièdre de référence lié à la Terre el quelles que soient les conditions initiales, une accélération constante »■ (^), dirigée suivant la verticale, c'est-à-dire vers le centre de la Terre. A l'intérieur d'une région de faibles dimensions par rajq:>ort au rajon terrestre, celle accéléialion peut être considérée comme un vecteur constant en grandeur et en direction. En la multipliant par la masse m de M, on obtient la force de pesanteur ou j)oids de ce point. Dans n'importe quel phénomène mécanique se passant dans la région considérée, chaque point matériel est nécessairement soumis à son poids, qui est une force relative à un trièdre Oxyz invariablement lié à la Terre. Mais, il peut être aussi soumis à des forces absolues, résultant (hperturbations quelconques du milieu (n° 52). Ces forces absolues s'ajoutent géométriquement à la force i-elative de pesanteur, pour <lonner la force relative totale applKpn'e an point, c'esl-ù-dire h"

vecteur /= /«.y.

Il ariive quehpiefois que les forces absolues sont beaucoup plus

f) Ou dans l'iiir, rn.iis avec unf vitesse as.-c/. faible )>oiir (luon puisse négliger sa résislanee.

(') On sait que celte accéléialion est de fj""»'^' P""" seconde par serondc à l'aris. Elle varie un peu avec la latitude. Klle décroit, quand on s'élève, en raison inverse du carré de la distance au centre de la Terre. Mais toutes ces variations sont négligeables en Mécanique appliquée; on n'en tient coinple (pie dans les expériences précises de Physique.

grandes que le poids et qu'on peut, sans erreur sensible, négliger ce dernier ou, comme on dit, considérer le point comme soustrait à Vaclion de la pesanteur. Quand on parle, au contraire, dans les énoncés de problèmes de Mécanique, de points pesants, on entend par là que les poids de ces points ne sont pas négligeables et qu'ils doivent être pris en considération.

76. Mouvement d'un piioiectilk da>s le vide. — Considérons un projectile assez petit pour pouvoir être assimilé à un point. Lançonsle, à partir d'un point O, avec une vitesse initiale Co, faisans l'angle a avec le plan horizontal. Cherchons quel va être son mouvement.

Si, comme il arrive toujours dans la pratique, le projectile est lancé dans l'air, il va être soumis à une force absolue, qui est la résistance de l'air et qui, pour les grandes vitesses, est beaucoup plus importante que la pesanteur. Au contraire, si la vitesse est faible, cette résistance est négligeable et tout- se passe à peu près comme si le point était lancé dans le vide ('). Cela simplifie considérablement le problème, et c'est cette solution théorique que nous allons éUidier rapidement dans ce paragraphe.

Prenons pour axe des x une demi-droite ayant la direction et le

sens de la projection horizontale du vecteur vitesse initiale, pour axe

des y la verticale ascendante de O et un axe des z perpendiculaire

aux deux précédents. Les composantes du poids du point M sont

alors

X = o, Y = — fn g^ Z = o.

Si l'on yjortc ces valeurs dans les équations différentielles du mouvement (n° 37), on obtient

Ces équations s'intègrent immédiatement. Occupons-nous d'abord de la dernière. Elle nous donne z' =^ const., et comme la projection de la vitesse initiale sur O:; est nulle, cette constante est nulle. En intégrant une nouvelle fois et remarquant que z- est également nul

(') Pour les projectiles des armes à feu, cette approximation est toujours très erronée et les balisticicns doivent toujours tenir i ompte de la résistance de l'air. Néanmoins, l'étude du mouvement dans le vide leur a quelquefois rendu service, en leur servant de terme de comparaison pour la recherche de formules empiriques.

84 CIIAPITKK VI.

à l\)rii;iue, on a r := o. Le moiivenienl a donc lieu entlèi'enient dans le plan \erlical xOy qui contienl la vitesse initiale, ainsi qu'on aurait pu le prévoir, par raison de symétrie. Ce plan s'appelle le plan de tir.

Intégrons maintenant la première équation (i). Si l'on observe que la projection horizontale de la vitesse initiale est l'o cosa et que la \al(Mir initiale de x est nulle, on ol)lient

( •' ) X = l'o c-osa. f.

En opérant de même pour )', on trouve, sans difficulté,

(5) y— — -fit^-hi\sin:i.f.

Les équations (2) et (3) définissent le mouvement dans le plan de tir. On retrouve le mouvement uniformément varié étudié au n" 18. On a l'équation de la trajectoire, en éliminant t :

(1) y = xla\\^y. §■ , , •

La trajectoire est donc une pai aboie, qui a son axe vertical et sa concavité tournée vers le bas.

ht j)oi/il de chute est le point de rencontre avec le plan horizontal du point de départ, c'est-à-dire avec Ox. On obtient son abscisse X, qu'on appelle la portée, en faisant j' = o dans ( \)] cela donne

Câ) X = — !^ siii2a.

On voit que deux valeurs complémentaires de a donnent la même

portée. On a la portée maximum — > en tirant à 45".

La durée de trajet est obtenue en faisant j^ = o dans (3), ce qui donne;

Elle augmente constamment avec l'angle de tir.

I^a flèche est le maximum de )'. On l'obtient en rcnqjlaçant t

par — dans (3) :

Elle ne dépend que de la composante verticale de la vitesse initiale. En particulier, si a = -> c'est-à-dire si on lance le projectile vertica-

lement de bas en haut, il monte à la hauteur — ^•

77. Parabole de sûreté. — La vitesse iniliale étant donnée, cherchons sous quel angle a il faut tirer pour atteindre un point donné P(a7, y') du plan de tir. Il suffit de résoudre l'équation (4) par rapport à a, en y regardant x t.\. y comme les coordonnées de P. Or, elle peut s'écrire

(8) — f tangua — a? langa+ —| + K = o.

Elle est du second degré en tanga. Il y a donc deux solutions, c'est-à-dire deux trajectoires qui passent par F, sous la seule condition que cette équation ail ses racines réelles, ce qui exige, tous calculs faits,

Cette condition est remplie à l'inlcrieur d'une parabole, dont le sommet est le ])oint culminant de la trajectoire rectiligne, dont le foyer est 0 et qu'on appelle \a parabole de sûreté. Cette parabole est l'enveloppe des trajectoires, car son équation a été obtenue en écrivant que l'équation (8) a une racine double en tanga (t. II. n" 272).

78. Mouvement vertical d'un projectile dans l'air. — Quand un corps solide se déplace dans l'air calme avec une certaine \ itesse i', il est soumis à des réactions distribuées sur sa périphérie, suivant une loi plus ou moins compliquée. Ces réactions peuvent, au sens de la théorie des vecteurs, ne pas être réductibles à une force unique (t. II, n" 121 ). Leur ensemble agit à la fois sur la vitesse du centre de gravité et sur l'orientation du projectile. Le problème, envisagé de ce point de vue général, est fort compliqué, tant par ses difficultés expérimentales que par ses difficultés lliéoriques. On le simplifie dans la praliquc, en assimilant le projectile à un point. La résistance de l'air est alors une force R, opposée à la vitesse et croissant avec elle. Pour les grandes vitesses, telles que celles des projectiles des armes à feu.

É6 CHAPiTnt; M.

la fonction qui relie R à r est 1res compliquée; les balisliciens l'ont déterminée expérimentalement avec une précision assez grossière, mais néanmoins suffisante pour les besoins des artilleurs. Pour les faibles vitesses, des expériences plus nombreuses et plus précises ont été faites, soit à la Tour Eiffel, soit dans des laboratoires aérod^namiqucs. Elles ont montré que la résistance de l'air est sensiblement de la IdiMiie

(10) R = A-Sw2,

S désignant la surface de la section droite du cylindre circonscrit au projectile parallèlement à la vitesse et k désignant un coefficient numérique, dont la valeur dépend beaucoup de la forme du corps solide et aussi de ses dimensions. Si Rest évalué en kilogrammes, S en mètres carrés et v en mètres par seconde, on trouve, par exemple, que /.• croît de o,o65 à 0,08 pour une plaque carrée dont le coté croît de 10''" à 1'" et qui se déplace avec une vitesse normale à son plan. Pour une sphère de ar)'"" de diamètre, k = 0,0 1 i . Pour une dcmi-splière, A' = 0,021 ou o,o83 suivant que le grand cercle de base est tourné vers l'ariuére ou vers l'avant.

On peut déterminer complètement par des quadraluies le, mou\ement d'un point pesant soumis à une telle résistance. Nous nous contenterons d'examiner ici le cas particulier du mouvement rectiUgne verticcd.

Pour simplifier les notations, nous poserons, en appelant m la masse

du |)rojectile,

ni

et nous donnerons à cette constante c le nom de coefficient bcili'stifjiie (bi projectile.

7'.). I. Mouvement ascendant. — L"('([uati(in dillV-rentielle du monvenient est, en divisant par ///,

Les variables sont séparées et Ton a

ii>) ' = - / -,'

Celte intégrale se ealcule imniédiatement par un arc tangente el donne

en posant

n5) tangço= fol/-^> a = \/l^'.

Si ; désigne l'altitude du projectile au-dessus de son point de départ, on a, en intégrant (i4) par rapport à t,

ib) -= / vdt= -Los] '-^ -\.

Ces foi'Uîules sont valables jusqu'au moment où la vitesse s'annule, c'est-à-dîre jusqu'au temps

qui est la durée de trajet du mouvement ascendant. L'altitude du point culminant est obtenue en faisant t ^^T dans (16) :

C °\COSÇo/ 1C ^ \ g 1

Lorscjue c tend vers zéro, on retrouve bien la formule du vide. Pour les très petites valeurs de r. on peut prendre la formule approcliée

, ,,,) Z= ^("i-c-^") =Z,(i-cZo),

Zy désignant l'altitude correspondant au vide.

Le bon sens indique que Z doit diminuer quand c augmente. C'est ce qu'il est possible de vérifier sur (18), en démontrant que Ic:

dérivée -^ est neoative ( ' ).

de o \ /

<S0. H. Mouvement descendant. — L'équation différentielle du

Cj Cette dérivée a le signe de y= ^^—^ — Log/i-f- „ ro)- En prenant la

dérivée de celte fonction de c. on constate qu'elle est négative; donc, y dccroit. Or, pour c = o. elle est nulle. Donc, elle est néirative pour c > o.

nioiivemenl est

rnAi'iTKK

dv

dt

Comme précédemment, on en lire

, , r" dv T /\^v V — ro\

.,/,, ^ — et'- ■j.a ^ \\ — t' V -^ t'o/

a désignant la même quantité (}ue toiil à l'heure el \ étant donné

par

On peut résoudre l'écpiation (21) par rapport à r; on obtient une formule qui peut s'éerire, par exemple,

\hat -+-

Si ''0 < ^ ; <Jii pentposer ^ = lli^o C'^ 1^' formule devient

V = V tli(rt^ -t- ço ).

Si <'o> ^ 5 "Il pose, au contraire, — = liiso et l'on a

lh{at -+- ï-o)

(les deux formules (7.4) et (^.S) auraient pu se déduire directement de \n f'urmule ( i4 ), en rcmaïqiiiint que (^o) résulte de ( i?.) par le ciiangemenl de ,1:

en — ^'. En faisant ce cliaiigenient da

nsflD^f

se clianije en i V el a en ia.

Si l'on se reporte iiux fornuiles ( 58) du n" 109 <hi Tome I, on aboutit à la formule C'^.^), qui n'a de sens que si Pq < ^ 1 puisque la langcnle liy|)erbolique est t(ju jours plus petite que i ( l. I, n" 109). Pour obtenir (->.')), il suffit do partir de ( iq), en remplaçant la tangente par l'invcise dune langcnle, ce qui revient à clinn^ei la valeur de ci,,.

A\anl c en lonclion de /, nous a\ons c- pai' une (piadraliirc. lin

intégrant ('>.4 ) et (2.')) et remarquant que — = -, il vient

Il est facile maintenant de se rendre compte du mouvement. Les formules (24) et (aS ) nous montrent d'abord que v tend toujours vers A . lorsque / devient infini, puisque thco^ i. Le mouvement tend donc à devenir uniforme, la vitesse limite étant ^ . En outre, c varie toujours dans le même sens, puisque la tangente hyperbolique est une fonction croissante. Suivant que la vitesse initiale est inféiieure ou supérieure à la vitesse limite, le mouvement est constamment accéléré ou constamment retardé.

La rapidité avec laquelle on se rapproche du mouvement uniforme est d'autant plus grande que la constante a est plus grande, c'està-dire, d'après (i5), que le coefficient balistique est plus grand. La formule (22) nous montre, de son côté, que la \itesse limite varie en raison inverse de la racine carrée de ce coefficient. La chute est donc d'autant plus lente cjue le coefficient balistique est jilus grand. Ceci permet d'expliquer certains faits d'expérience bien connus de tout le monde. On sait, par exemple, qu'une balle de plomb tombe beaucoup plus vite qu'une balle de liège de même diamètre. Effectivement, la formule (1 i) montre que c est plus petit pour la première balle ({ue pour la seconde, car AS est le même dans les deux cas, tandis que la masse m est beaucoup plus grande pour le plouib que pour le liège.

81. Pexdule simple. — l^e pendule simple est constitué par un point pesant assujetti à se déplacer, sans frottement, sur une circonférence située dans un plan vertical. On pourrait l'obtenir en l'éalisant matériellement la circonférence; mais, il serait alors très difficile de supprimer le frottement. On j arrive, au contraire, très simplement, en suspendant le j)oiut ( qui sera, par exemple, une petite sphère) à un fil flexible et inextensible, dont l'autre extrémité est (ixe (n° 7i) ('). A \rai dire, on réalise ainsi un pendule s|)hérique,

(') Cela ne supprime p;is omplétemenl !<• fiDlleincnl, à cause de lit raideur du

yo CHAPITRE Vt.

puisque cette liais(Uî impose seulement au point dètrc sur une sphère avant j)Our centre le point de suspension et pour rajon la longueur du lil. Mais il suffit, pour avoir le pendule circulaire, de l'abandonner sans vitesse initiale ou, plus généralement, de le lancer avec une vitesse initiale située dans le plan vertical qui passe par la position initiale du fil. Ce plan est alors un plan de symétrie du phénomène et contient nécessairement la trajectoire, qui est donc un grand cercle vertical.

La réaction du lil sur le j)oint est sa tension, dirigée suivant MO (n° 14-6). Elle est bien normale à la trajectoire, ce (jui prouve Tabsence de frottement. De plus, la liaison est unilatérale; la réaction doit être dirigée dans le sens MO, pour que le lîl reste tendu.

Pour trouver l'équation du mouvement, il suffit d'appliquer le théorème des forces vives, sans s'occuper de la réaction, qui ne travaille pas (n° 71). Si r désigne la vitesse du point M et z sa cote au-dessous du point O, on a

car le poids dérive de la fonction de force U = mg^-- L^ constante h est déterminée par les conditions initiales :

(29) // = c^ — '^i-Jo-

Prenons pour inconnue Télongation du pendule, c'est-à-dire Tangle -j5 de la verticale descendante Oz avec OIM, le j)lan étani ori(,'nté dans un sens quelconque. Si / désigne la longueur OM du pendule, on a

( 30) V —■ /ç', Z = /('OS Ci.

En poi'lant dans ( :>,8 ), on a

(3i; o'2= -j- (C0S9 — aj,

rt désignant une constante que nous substituons à // el qui est donnée j)cir la formule

.... [; £0 ij^

fil, qui existe toujours un peu et aussi, quand le pendule oscille dans l'air, à cause de la résistance de l'air. Mais pratiquement, ces perturbations sont très faibles.

Les variables sont séparées et l'on a

Vcoscû — a

Celte intégrale ne se calcule pas par les fonctions élémentaires, car >i l'on pose, par exemple, cos:p = :r, on obtient un polynôme du Iroisiéme degré sous le radical. On peut néanmoins se rendre compte du mouvement, en remarquant que coscp doit rester supérieur à a, |)Our que le l'adical demeure réel. 'Ceci nous conduit à distinguer deux cas :

8!2. Premier cas : a <i — i , ou ^'o > c, , en posant

(31) i'i=^iff{z,-i-l).

(}uel que soit es, son cosinus est supérieur à — i, donc à a. Il s'ensuit que ca croît au delà de toute limite, si l'on suppose, pour fixer les idées, que cp'^ est positif. Autrement dit, le point M tourne indéfiniment sur la circonférence. Ce mouvement de rotation est évidemment périodique, car si l'on augmente a de 2-, ^ est augmenté de la quantité constante (' )

Eu outre, deux arcs symétriques par rapport à Oz sont parcourus dans le même temps, car l'élément différentiel de l'intégrale y reprend les mêmes valeurs.

Deuxième cas : a > — i , ou t'o < 'i • — Comme a est nécessairement <i, carie radical est certainement réel au temps zéro (-), il

(') L'intégrale est aiigmenlée de

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