Soit le champ
1° Délerminer les lignes de forces. (Il est commode de cliercher leurs équations en coordonnées semi-polaires.)
'2" Calculer le travail, quand M se déplace sur une ligne de forces, depuis l'origine jusqu au point de cote z,
3° Calculer le travail, quand M fait un tour complet sur une circonférence située dans un plan parallèle à ôcOj'. Le rayon de celte circonférence étant donné, oîi doit se trouver son centre pour que le travail soit minimum?
8. On considère la fonction de forces U :=^ ^ > en coordonnées
polaires. Calculer les composantes de la force sui\ant les demi-droites
dangles polaires 9 et 0 h — '-• Construire les lignes de niveau et les lignes
de forces.
(Pour calculer les composantes, il est commode de se servir du travail élémentaire. )
rv 1 f - • 1 , • 1 r n COS 9
y. Mêmes questions pour ia lonction de forces U ^^ — •
10. On considère une sphère creuse infiniment mince et homogène. Cha(|ue élément de cette sphère attire un point P proportionnellement ^ sa masse et en raison inverse du carré de sa distance. Calculer la fonction des forces pour une position quelconque de P. Déduire du résultat que l'attraction totale subie par le point P est nulle s'il est intérieur à la sphère et qu'elle est la même que si toute la masse de la sphère était
ramenée au centre, si P est extérieur à la sphère. ( Pour calculer la fonction des forces U, découper par des plans perpendiculaires à OP. O»
■y. 71 R trouve aisément que t/lJ = c//-, en appelant R le rayon de la sphère,
a la dislance OP et (ir l'accroissement de la dislance r= PM, (juand M passe de la petite base à la grande base de la zone comprise entre les deux plan? infiniment voisins. On en conclut, en intégrant, que U =:4^Ri
si 1^ est intérieur, et U = — '— , si P est extérieur. On a supposé, pour siinj)lifiei-, ia densité superficielle égale à i. ]
11. Une sphère homogène ou, plus généralement, composée de couches concentriques homogènes, attire un point P extérieur suivant la loi indi(|uée à Texercire précédent. Démontrer que l'attraction totale est la môme que si toute la masse de la sphère était accumulée en son centre.
(Découper par des sphères concenlriques et appliquer les résultats <le re\ercice précédent.)
12. Un point pesant, de masse i, est attiré par O suivant une force
égale à ....-.., • Chercher la fonction de forces, les surfaces de niveau et
les lignes de forces.
(Pour les lignes de forces situées dans ^O.r, passer en coordonnées polaires; on aboutit à une équation différentielle linéaire en /-.)
13. Reprendre l'Exercice résolu n" 1, en supposant que l'un des centres est répulsif.
li. Soit un point M, de masse i.
1° On donne une droite indéfinie D, homogène, de densité linéaire i. Chaque élément î* de cette droite attire M suivant une force proportionnelle à la masse de cet élément et au sinus de l'angle ([ue fait PM avec l'élément. Calculer la résultante de toutes ces forces.
2° Même question en remplaçant la droite D par un plan Q^ homogène et de densité superficielle i.
3° On suppose Q perpendiculaire à D en O. Le point aI étant soumis simultanément à toutes les forces précédentes, trouver les surfaces de niveau et les lignes de forces.
4" Une lige OT tourne autour de D d'un mouvement uniforme. Le point M glisse sans frottement le long de cette tige. Déterminer son mouvement, en le supposant toujours soumis aux forces précédentes.
5° Montrer que, si les conditions initiales sont convenablement choisies, la trajectoire de M se projette sur Q suivant un cercle. Chercher la réaction de la tige, dans cette hypothèse. Montrer que, si les coefficients d'attraction sont convenablement choisis, cette réaction se trouve constamment dans le plan tangent au cône décrit par OT. Son extrémité décrit alors une courbe qui se projette sur Q suivant un cercle.
15. Quel travail faut-il dépenser pour enroider sur un treuil une chaîne de 100™ de long, pesant 20''» par mètre courant?
16. Etablir le théorème des forces vives, en se servant des équations intrinsè((ues du mouvement.
17. Ln canon, de calibre iGo"'™, tire un projectile de ôa**». Le culot de ce dernier parcourt dans le labe une longueur de 6™, 70. Il est soumis à une pression variable, dont la valeur moyenne par rapport au cliemin
92 niAPlTRE V.
parcouru est de i()oo''S par centimètre carré. Calculer la vitesse inili;ile du projectile, en négligeant les résistances passives. (On trouve environ
18. In obus de rupture, de calibre 3.^0™"" et de poids 54o^s, traverse une plaque de blindage, de 34*^'" d'épaisseur. Sa vitesse à l'arrivée est de |00'" par seconde; la vitesse à la sortie est nulle. Calculer la pression moyenne, par centimètre carré de section, développée par la plaque sur Tobus pendant la traversée.
19. Un point M, de masse 11 5*^', se déplace sur O.r. Il est attiré par O suivant une force proportionnelle à x'\ Four jr = i™, l'attraction est de i^s. On le lance dans le sens positif, avec une abscisse initiale égale à i^.^o et une vitesse initiale de 3™, 60 par seconde. Construire les diagrammes (a.-, c) et {x, l).
20. Un point M décrit Ox, sous l'action d'une attraction de () proportionnelle à X. 11 est, en outre,, soumis à une résistance du milieu proportionnelle au carré de la vitesse. Calculer celte vitesse en fonction de X. La vitesse initiale étant supposée nulle, calculer le travail absorbé par la résistance, quand M arrive en O. Comparer ce calcul direct avec celui que donne le théorème des forces vives.
21. Déterminer le mouvement d'un point M, de masse i, se dépinçant sur Ox, sous l'action de la force X = — x^' — <-. (E. P., igiS.) Pousser les calculs jusqu'au bout, en supposant M,, en O et c,, := i .
22. Trouver les lois de force centrale fonction de la dislance qui peuvent donner les trajectoires suivantes :
, 0 sin'{) ,,
/•=acos--, i-= a 7-, r = e'«",
