OU ■ 3 K
Ceci permettrait d'écrire les équations de la nouvelle trajectoire, qui est une courbe du quatrième degré, et de résoudre, d'une manière générale, n'importe quel problème concernant les altérations de la trajectoire en un point donné. Bornons-nous à calculer raugmenlalion de portée. Au temps T (durée de trajet non perturbée), les formules ( 1 4 ) nous donnent, tous calculs faits,
(lo) ôj;=:— X-^, 0/=- - TcoSina.
Pour rejoindre le plan horizontal du point de départ, il faut descendre de oy sur la trajectoire. Gomme l'angle de chute est sensiblement égal à y., ce déplacement vertical est accompagné d'un déplacement horizontal é " a 1 à
c p ai cl
(16) dx z=: oy cot a rz: - — (•(, T cos a = X -- 77 •
L'accroissement de j)()rtée est finalement ox -\~ dx -^nt. Donc, si l'on tient compte à la fois de la décroissance de g et de la convergence des verticales, V altération de la portée est nulle, au second ordre près,
en — • Si, au contraire, on ne tient compte que du premier phénomène,
I, • 1 •/. 1 . dx [\ V r •
1 accroissement relatii de portée est -rr- =; — ^r > conformément a ce que
nous a donné la premièie méthode. Il est facile de voir que ce rapport est aussi l'accroissement relatif de la durée de trajet, que l'on tienne compte ou non de la convergence des verticales.
2. Aicc ijut'lLe vitesse faut-il lancer verticalement une sphère de 10"" de diamètre, pour qu'elle monte à 100"" de haut? Calculer la durée de l'ascension, ainsi que la durée de la descente et la vitesse de
chute Cl l'arrivée au sol. On supposera successivement que la sphère est en plomb, de densité 1 1 ,4, puis en bois, de densité 0,7. On admettra (jue la résistance de l'air sur la sphère e^^ o, oi35S c-, avec les notations et unités indiquées au n° 78.
Calcul de la vitesse initiale. — Appliquons la forinule (18) du n" 79 : 100= -Lng— — -- — — -Logcoscp,,;
C C()àO„ C
(1) log COS(ppr:r 0,434 Log COSO„= — 4^,4 C-
On a ensuite la vitesse c,, demandée, au moyen de la formule (i5) : (^) ^'o^ 4 /— tangcp^rr V tang©|j.
Lî durée d'ascension est donnée par la formule (17), soit
(3) Tz=2li.
Calcul de la chute. ■ — Nous appliquons les formules du mouvement descendant, en prenant ('„= o. Avec les notations du n" 80, nous avons Q,|=o. La formule (26) nous donne
looc^r Log ch at ou
(4) log ch «/ = 43,4c =: — logCOSQ,,.
On en tire la valeur de ch «/, soit x. On a ensuite
(5) e«'=L- j:--+- \/.r-— I =ry,
loe )'
La formule ('34) donne enfin (7) . ^■ = Vth(./) = V^.
Les formules (1) à (7) répondent à toutes les questions de renoncé. Il ne reste plus (|u'à les appliquer avec les valeurs numéri(|ues données, l^renons les unités M. K. S. Nous avons, en appelant d la densité de
lOO CHAPITRE VI.
la sphère.
T. d -, o- ^''"" '^ O.OOOlSoTTi^
/« = — —> K = o,oi3o- — , (•= ■:=. '—
D ii ij^oo inv- , "^ I
-os o,ooo4o5 0,00 iqS ,, / id if
Sphère en plomb. — On a <^=ii,4- En portant dans (8), il vient c = o, 000173; Yrri^Sy; a=o,o4i4'
l^nis, (i), (3), (2) nous donnent successivement
I K ^ „ 1 1 ,8 X 71 ,. log cos!p(, = — 0,00700 Tzr \ ,992Do; (^0=^ 1 1^,80 := radians;
118x7^ T= — ^— — — ^ z=z 4% 48; ''0= 237 X o, 188:= 44*" j 5 par seconde.
Les formules (4) à (7) donnent enfin
^r=i,oi74; yrm,oi74+v'2,02 X 0,0174 = 1 ,5o5; 0,0810
r =: 237 -^ -^ ' "^ — = 43"° ,7 par seconde.
Sphère en bois. — On a d-=.o,']. Puis
0 = 0,00282; Vr=58,8; rt =10,167; log coscpo^ — o, 122 =r 1,878; 9(,^45^)">;
T = ' — ^ —- 4%?-7; ^^0= 58'8 X 0,868= 51"» par seconde;
j?=:i,325; y=:2,2o; ^ = 4*,7i; r =: 38™, 6 par seconde.
Remarques. — On voit ([ue, dans les deux cas, v ■< c,,. (]ela est bien conforme au théorème des forces vives. Le travail total de la pesanteur est nul; celui de la résistance de l'air est négatif; donc, la force vive a diminué.
Les vitesses sont, en cha(|ue point du parcours, plus petites au retour qu'à l'aller; donc, la durée de la chute doit être plus grande que celle de rascension, ainsi que nous l'avons trouvé.
Ces différences entre les deux mouvements doivent être d'autant plus grandes que le coefficient balistifiue est plus grand; elles sont donc plus
APPLICATIONS DE LA DYNAMIQUK DU POINT. 10 i
accentuées pour la sphère en bois que pour la sphère en plomb; c'est encore ce que nous avons trouvé.
3. Un fil élastique, de longueur naturelle l, est attaché à un point fixe A par une extrémité. L'autre extrémité supporte un point pesant M, tel que, lorsqu'il reste en équilibre, la longueur du fil est -il. On abandonne M, sans intesse initiale, à partir d'une certaine position M„. Déterminer cette position pour que M remonte jusqu'en A et y arrive sans vitesse initiale. (E. N.; extrait de la composition écrite de 1907.)
Soient O la position d'équilibre et x l'abscisse de M à partir de ce point, Ox étant dirigé vers le bas. La force appliquée au point M est — /:{x -\- 1) -h mg. Pour x=:o, elle est nulle; donc kl=:mg;
d'où k = —j-- La force est donc
Toutefois, ceci n'est valable qu'autant que le fl reste tendu, c'eslà-dire tant que x> — /. Si x ]^ — l, il ne reste plus que la pesanteur; le point est libre.
Dans la première hypothèse, nous avons une attraction du point O proportionnelle à la distance. Le mouvement qui prend naissance est donc un mouvement vibratoire simple (n" 87), dont il serait facile d'écrire l'équation. iVIais, cela est inutile pour résoudre la question posée. Pour que le point arrive en A avec une vitesse nulle, il faut qu'il arrive au point B où la tension est nulle avec une vitesse i' qui le fasse monter, en mouvement libre, à la hauteur /. D'après le théorème des forces vives, on doit avoir
(.) i'-^=2gl.
m ^ D'autre part, la foice X dérive de la fonction U = -r^^'- En appli-
quant le théorème des forces vives entre M^ et B, on a
En retranchant de (i), il vient
0 = 3/ j-; Xq=1\/o,
V. Etudier le ntouvenient d'un pendule, en supposant, quon imprime au point de suspension A un mouvement vi/j/atoire simple, sur une horizontale du plan d'oscillation.
Soient O y el O Taxe et le centre de vibration du point A. Soient Cria verticale descendante de O el A^ la verticale descendante de A.
Soient / = AAl la longueur du pendule et ^ := (Ax, AM) son élongation. 11 s'agit de déterminer la loi de variation de cette élongation en foncliou du temps. Cela revient évidemment à étudier le mouvement du pendule., lUMi pas par rapport aux axes fixes Oxy, mais par rapport aux axes mobiles A^cy. Au moment où A commence à vibrer, la vitesse de AI pairapport à A,r>' est brusquement diminuée de la vitesse absolue de A, laquelle est horizontale. 11 arrive donc, en général, que la vitesse relative de M n'esl plus perpendiculaire au fil et ce dernier se détend ou bien subit un choc. Pour éviter cette difiicullé, nous supposerons qu'on l'ail commencer la vibration de A à un moment où sa vitesse est nulle et nous prendrons cet instant pour origine des temps. Dans ces conditions, si l'on pose OA = a, on a une é(juation de la forme
(i) u = lhco^^t.
Soit, d'autre part,
(2) Oi= acofi{(xt -\- o)
l'équation du mouvement qu'avait le pendule immédiatement a\ant le temps zéro. Au temps zéro, les conditions initiales sont, aussi bien par rapport aux axes mobiles que par rapport aux axes fixes,
(3) OqZz: a coso, ^0 =
aa sin 0.
Hippelons enfin que la constante a est liée à la longueur du j)endule par la formule (n" 84)
(4) g = la\
Cela posé, nous allons chercher ré(|ualion difTérentielle du mouvement de M par rajiport aux axes mobiles Axy. La force relative totale qui lui est appliquée comprend le poids, de conqiosantes {m^\ o); la force d'entraînement ( n" /iS), de composantes (o, — mu"), et la tension du fil. Pour éliminer celle-ci, appliquons le théorème du moment cinétique par rapport à A (n" 39). Si (x,y) sont les coordonnées de AI, le moment résultant des forces précédentes est
x{— mu") —y{m,!r) — — ,n{gy + xu").
APPLICATIONS DE LA OVNAMIQLE DU POINT. loi
D'autre part, le moment cinétique est ni 1-9'. En écrivant que sa dérivée est égale au moment résultant précédent, on obtient l'équation
r-e'' = —:.-y — .vti" ou, en remplaçant j; par /cos$, v par IsinO et u' par — Ib^'-cosZt,
(5) 5"h- y sin 5 = ij3-cos5 cos^^.
Telle est l'équation rigoureuse du mouvement. Si nous nous bornons à l'hypothèse des petites oscillations, elle se simplifie :
(6) -j''+ V.-9=: hp'CO^Zt.
On retombe sur le problème étudié au n°90, dans le cas où l'amortissement est nul. L'intégrale générale se calcule par la méthode indiquée au n° 198 du Tome I; les constantes d'intégration se déterminent ensuite au moyen des conditions initiales (3), On trouve ainsi, tous calculs faits,
(-) 9 ^a cos( y. t + o) -h Ij ^-^ (cosy.t — cosjI), si 3 ^r :z ;
jj- — -a- '
by.t
(8) 5 = a cos(a^ -i- 9) H —yny.t, si p := y..
Interprétation des résultats. — La discussion complète est fort compliquée. \ous nous bornerons à examiner les cas particuliers qui donnent des résultats intéressants.
\ oyons d'abord s'il est possible d'obtenir an mouvement vibratoire simple. C'est impossible avec l'équation (8), car le terme non périodique ne peut pas s'annuler. Avec l'équation (7), le terme en cos^tne pouvant disparaître, il faut annuler les coefficients de cos:zZ et sin y.l. On eât ainsi conduit à la solution suivante :
(9) 0 — 0, az=b ^2 32> si5<a;
(10) 01=7:, a^b-^^ —y si -j >■ a.
Dans les deux, cas, on a
(11) • 5 = rtC05(3^-f- 9).
Autrement dit, l'oscillation (2) continue arec la même amplitude et la même phase initiale: seule, la période est changée; ce n'est plus la période propre du pendule, mais la période de A.
On aboutit à une interprétation très simple du phénomène en faisant la remarque suivante. Les mouvements absolus de tous les points de ÂM sont des mouvements vibratoires simjDles, ayant des amplitudes diverses; on est dès lors conduit à se demander si cette amplitude ne s'annule pas pour l'un de ces points, auquel cas ce point serait fixe. Faisons le calcul, en introduisant, pour plus de commodité, la longueur /' du pendule
dont la fréquence serait celle de A, soit l' =1 ^; de sorte que la formule (9) s'écrit
La droite AM étant orientée de A vers M, soit le point P défini par A P ^ /". Son ordonnée absolue est
j = M + rô = {/[/-{- ra) cos^t.
Elle est nulle quel que soit t, si Ib -+- ra =: o, ou en tenant compte de (12), si /■ —l~r, ou encore si PM =/'.
Nous arrivons donc à cette conclusion que le point 1* du fil (ou de son prolongement) qui se trouve à la dislance /' de M demeure fixe. Dès lors, tout se passe comme si Ion ai'ait araire à un pendule ordinaire suspendu par le point P au lieu d'être suspendu par le point A. Celte interprétation nous indique tout de suite comment il faut s'y prendre pour réaliser les conditions initiales donnant lieu à ce mouvement. On doit abandonner M sans vitesse initiale, à partir d'une position Mo telle que la droite AqMo rencontre la verticale 0.r en un point 1* situé à la distance /' de Mq. On peut aisément faire l'expérience, en réalisant le mouvement de A au moyen d'un pendule BA de longueur /', la masse de A étant choisie beaucoup plus grande que celle de M, afin que la tension du fil AM soit négligeable vis-à-vis du poids de A et n'ait aucune répercussion sensible sur le mouvement de ce pendule. On abandonne alors les deux pendules sans vitesses initiales dans la position indiquée sur la figure 19. La figure (a) correspond aux équations (10) (angle de décalage égal à 7:) et la figure {b) aux équations (9) (décalage nul).
Ce cas particulier étant mis de côté, revenons au cas général. Si la fréquence de A diffère de la fréquence ])ropre du pendule, le mouvement résulte de la superposition de deu.r vibrations de périodes différentes. 11 peut élre très complicjué et sa discussion générale serait inextricable. Par contre, nous avons envisagé, au n" 25, le cas particulier où les périodes sont très voisines, qui donne naissance à l'intéressant phéno-
APPLICATIONS DE LA DYNAMIQUE DU POINT. Io5
mène des battemenls. Si l'on pose [3 ::= a -+- s, les trois termes de la formule (7) se représentent, au moyen de la règle de Fresnel, par les
vecteurs OA (de longueur « et d'angle polaire 9), AB [parallèle à Ox et
; et BM (déduit de BA par la rota-
de mesure algébrique cmb
tion zt). Le point M décrit le cercle C, de centre B et de rayon BA.^Il part de A et tourne dans le sens positif ou dans le sens négatif, suivant que £ est positif ou négatif. La figure 20 montre que, dans tous les cas, il commence par aller vers le bas.
Fi". 20.
A chaque instant, l'amplitude de Toscillation du pendule est représentée par la distance OM. Elle varie périodiquement entre le minimum OMi ei le maximum OMj, avec une fréquence égale à la différence des fréquences de A et du pendule. Par exemple, si « = o, c'est-à-dire si le pendule part du repos, O est en A, ainsi que M,, M., étant le point |diamélralement opposé. L'amplitude oscille entre o et 3C.
io6
Ceci suppose toutefois que le rayon du cercle .C est assez petit pour que l'amplilude maximum puisse encore être confondue avec son sinus, de manière que le passage de (5) à (G) soit toujours légitime. Ce
ravon est sensi])lement égal à — • On voit qu'il augmente indéfiniment quand £ tend vers zéro. A la limite, le cercle C se confond avec la tangente AT en A, qui est décrite vers le bas, avec la vitesse — {fiS- ■^')i on se trouve alors dans le cas de l'équation (8).
Figf. 2 1 .
Si G •< © < TT, c'est-à-dire si le pendule est. au temps zéro, en avance <le moins d'une demi-période sur le point de suspension, l'amplitude commence par diminuer, passe par le minimum OM], puis augmente indéfiniment ( ' ).
Si, au contraire, o > tp >> — t:, c'est-à-dire si le pendule est en retard do moins d'une demi-période sur le point de suspension, l'amplitude ne cesse d'augmenter.
Lorsque cp=: -> c'est-à-dire lorsque le pendule est en avance d'un
quart de période, la décroissance atteint son maximum de rapidité et l'amplitude passe par la valeur o. Au contraire, si le pendule est en relard d'un quart de période, l'amplitude augmente immédiatement, avec le maximum de rapidité.
Lorsque '^ = o ou tt, c'est-à-dire lorsque le pendule est en avance de zéro ou une demi-période, l'amplitude reste sensiblement constante pendant le début du mouvement. Toutes ces conclusions sont évidentes sur la figure 21 .
C) Dien entendu, elle ne flevicni pus iiiliiiie, juiiscjuc lu Uiéorie ne s'aj)plitiiie plus ■<Jés que les oscillations ne sont plus très petites.
APPLICATIONS UK LA UVNAillQUIC DU POINT.
On peut s'en i-enJre compte inluilivement de la manièie suivante. D\ine manière générale, on conçoit que Tamplitude tend à diminuer quand le point de suspension va vers la verticale qui passe par la position actuelle du point M, puisque cela rapproche le pendule de sa position d'équilibre. L'amplitude tend, au contraire à augmenter, quand le point A s'éloigne de la verticale qui passe par la position actuelle de M. Cela posé, il suffit de regarder les figures 22, où Ion a marqué les positions
Fi-. 22.
du pendule aux extrémités des quatre quarts de la période. La figure (a) montre qu'il y a augmentation d'amplitude pendant le premier et le troisième quart et diminution dans le deuxième et le quatrième quart, lorsque les deux mouvements n'ont aucun décalage (chiffres non accentués pour les positions de M); il y a diminution pendant le premier et le troisième quart, et augmentation pendant le deuxième et le quatrième, lorsque le décalage est d'une demi-période (chiffres accentués); dans les deux cas, les effets se compensent. Sur la figure {b), au contraire, on voit qu'il V a toujours diminution, si le pendule est en avance d'un quart de période (chiffres non accentués) et toujours augmentation si le pendule est en retard d'un quart de période.
Il est aisé de vérifier tout ceci expérimentalement au moyen des deux pendules dont il a été question plus haut; il suffit de leur donner la mèiiie longueur, en imprimant au pendule supérieur une oscillation extrêmement faible. PZn leur donnant des longueurs légèrement différentes, on obtient des battements.
o. Calculer le demi-grand axe, l'excentricité et la durée de ré\'ulu-
Io8 CHAPITRE M.
iion de la planèle Mars, sachant qu'à une certaine époque, elle se trouve à la distance ijSggS du Soleil et qu'elle a une vitesse égale à 4,8443 et faisant un angle de 85° 22' avec le rayon vecteur . On a pris pour unité de longueur le demi-grand axe de l orbite terrestre et pour unité de temps Cannée julienne.
Commençons par déterminer la conslanle A du n° 93. Si Ton applique la formule (90) à la Terre, on doit faire « r^ i et T = i ; on a donc, dans le système d'unités de l'énoncé,
(I) k=kv.\
Nous avons ensuite
(2 ) C = /'oCosin V:=: 1 ,5998 X 4^^443 X sin 85° 22'.
On trouve
(3) • logC = 0,88773.
Puis, en appliquant la formule (87), on trouve, en tenant compte de (i),
Pour faciliter les calculs, posons e = sin o. On en déduit
^ = acosc3, /; = acos-a).
En portant dans les formules (86), il vient
(5) C^r^ /.a cos^co, — //=::-.
La deuxième nous donne immédiatement a :
En portant dans la première, on .calcule cp = 5"i5', puis
e:= sin cp = 0,091.").
Enfin, la formule (89) nous donne
^ 2 71 or* ces co
en années juliennes, donc
2 7:a*coso x 305,20 C '
en jours moyens. On trouve
On aurait, pu aussi calculer ce nombre, en appliquant la troisième loi île Kepler :
Les valeurs exactes des éléments que nous venons de calculer sont
Les différences sont assez faibles et proviennent de ce que la théorie du n° 93, qui nous a servi, n'est qu'une théorie approchée.
EXERCICES PROPOSÉS
1. Calculer le tableau des portées, des durées de trajet et des flèches pour un projectile lancé dans le vide avec les vitesses de lo™, loo'". Soo™, looo", i5oo™ par seconde et sous les angles 5°, i5°, .>.5°, 35' et 45°.
2. Calculer l'influence de la décroissance de ^ et de la convergence des verticales sur les flèches et durées de trajet des trajectoires précédentes. (Cy*. Exercice résolu n° 1.)
3. Au n° 76, nous avons appelé point de chute d'une trajectoire le point de rencontre de cette courbe avec le plan horizontal H mené par le point de départ O. En réalité^ la rencontre avec la Terre, supposée sphérique, se fait en un point B un peu plus éloigné. Ce point se projette en B' sur H. Calculer l'accroissement de portée AB'. Appliquer aux trajectoires de l'Exercice n° 1.
4.. Etablir la formule qui donne le nombre de minutes dont il faut augmenter l'angle de tir pour augmenter la portée de 100™. Appliquer aux trajectoires du n° 1.
o. Calculer l'augmentation de portée qui résulte d'un accroissement
relatif de vitesse initiale = — : calculer également la correction
d'angle de tir, en minutes, qui annule l'effet de cet accroissement. Appliquer aux trajectoires du n" 1,
CHAPITRK VI.
6. Calculer la coireclion ([iril faut faire subir à Tangle de lir, ([iiand l'objectif A se trouve à une altitude légèrement différente de celle de G. Evaluer le rapport de cette correction à Vangle de site, c'est-à-dire à langle que fait la droite OA avec le plan horizontal. Montrer que, pour les petites portées, ce rapport est sensiblement égal à i, de sorte qu'il suffit de relever le canon d'un angle égal à l'angle de site (principe de la T'igidilé de la trajectoire). Calculer l'erreur commise sur l'angle de tir. quand on fait cette approximation {correction complémentaire de site).
(Dans les trois exercices précédents, assimiler tous les petits accroissements à des difiTérenlielles.)
7. Démontrer que le point de contact d'une tiajecloire avec la parabole de sûreté se trouve sur la droite symétiique de la verticale Uj' par rapport à la tangente en O.
8. Calculer les équations du mouvement d'un point pesant dans le vide, en prenant l'axe des x suivant la vitesse initiale et Taxe des j vertical.
9. Calculer avec ([ueile vitesse il faudrait lancer verticalement un projectile pour qu'il ne retombe pas sur la Terre, en supposant qu'on puisse négliger la résistance de l'air. Quelle énergie faudrait-il dépenser pour cela, si le projectile pesait une tonne? Quelle serait effectivement la résistance que l'air exercerait sur le projectile à son départ, en supposant que l'on puisse appliquer la formule (lo) du n" 78, avec S = 4
et /i =r 0.02? ■
[Appliquer les formules (4) et (5) de l'Exercice résolu n° 1; il faut que a- soit négatif. On trouve que la vitesse doit dépasser ii'*'",i7o par seconde, en prenant R =; 63-o'*'": L'énergie à fournir doit être, en kilojoules, au moins égale à .^''R, soit
, 9,8l X 63-0000 z=:62,/4 X IO^
ou, en Ivilogranimètres,
ioooR^6,3- X lo'.
Un moteur de loooo chevaux mettrait environ 3 heures pour fournir cette énergie. La résistance de l'air au départ serait de o, i6^Rr= lo' kilogrammes-poids, sort loooo fois le poids du projectile. La pression moyenne par centimètre carré serait de aSo**!-'.]
10. On abandonne une sphèrede lo*^"" de diamètre, sans vitesse initiale, du liant de la Tour EifTel. Construire les diagrammes des espaces et des
APPLICATIONS I>E LA DVNAMIQUE DU l'OlNT. III
vitesses. Calculer la durée de chute et la vitesse au sol. Calculer, en fonction du chemin parcouru, le rapport de l'accélération de la sphère à raccélératioii de la pesanteur. On supposera successivement que la sphère est en plomb (densité ii,'!), puis en liège (densité 0,24). On adoptera la loi de résistance de l'air donnée dans l'Exercice résolu n° 2.
11. Que devient le coefficient balistifjue d'un corps solide quand on le remplace par un corps solide homothélique, en supposant que le coefficient A du n° 78 reste le même? Même question, quand on change le poids, sans changer les dimensions extérieures.
12. On reprend les données de l'Exercice résolu n* 2. On suppose que le diamètre de la sphère soit 101'"™ et que la densité de l'air ait diminué de ^ de sa valeur. Calculer ce que deviennent tous les résultats numériques obtenus, en supposant que la résistance de l'air est proportionnelle à sa densité. (DifTérentier les formules.)
13. Calculer les équations du mouvement d'un projectile dans l'air, en supposant la résistance proportionnelle au carré de la vitesse et les conditions initiales quelconques.
[Ecrire les équations intrinsèques (n° 08) en introduisant la vitesse c et l'inclinaison T de cette vitesse sur le plan horizontal. En remplaçant le
1 1 vdt . ,,. . , , ,
rayon de courbure par —r—y puis éliminant cit entre les deux équations.
on arrive à l'équation différentielle de l'hodographe
dv Ci>^
= V tangT +
d-: ° o cos T
qui est une équation de Bernoulli (t. I, n° 192). On a ensuite t, x. y par des quadratures, en fonction de t.]
li. Un cycliste, du poids total de So''?, se propose de franchir une piste ayant la forme d'une spire d'hélice, de pas assez faible pour pouvoir être assimilée à une circonférence, de 6™ de diamètre et située dans un plan vertical. A cet effet, il se laisse descendre sur une piste rectiligne, inclinée à 45° et se raccordant avec la piste hélicoïdale. De quelle hauteur doit-il partir pour être sûr de franchir la piste? On fera successivement le calcul <lans les deux hypothèses suivantes :
1° On néglige les résistances passives et l'on calcule la hauteur strictement miniinuni ;
2° On s'arrange pour que la pression du cycliste sur la piste, au point le plus haut, soit la môme que sur une piste rectiligne horizontale. En
outre, on adinel que les résistances passives sont données par la formule {cf. Cliap. ^'. Exercice résolu n° 1)
R zzi 0,004 P + o,oo25r^,
(■ étant la vitesse en kilomètres à l'heure et l'on prend pour valeur de cette \ itesse la vitesse maxinuim qu'atteindrait le cycliste dans son parcours, s'il n'y avait pas de résistances.
(Dans le premier cas, le cycliste doit partir d'un point situé à une hauteur au-dessus du point culminant de la piste égale à la moitié du ravon. Pour le deuxième cas, la vitesse maximum à adopter est de \%^™ à l'heure; ce qui donne une résistance de &"?■ environ. En appliquant le théorème des forces vives entre le point de départ et le point culminant, on trouve que la hauteur de départ doit être de 5™ au-dessus de ce dernier point.)
15. Lorsque le fil d'un pendule cesse d'être tendu, le point M, devenu libre, décrit une parabole. Démontrer que cette parabole adinel comme cercle osculaleur le cercle primitivement décrit par M. Construire le point où le fil se tend de nouveau. (Appliquer la deuxième équation intrinsèque. Pour le point de rencontre de la parabole et du cercle, XH)ir t. II, n" o32. )
16. Pour calculer la période d'un pendule, on part de la formule (46) du n° 84 et l'on fait le changement de variable : sin - = /«, en posant
A = sinf Développe,, la quantité sous le signe/ suivant les puissances
croissantes de A-, en appliquant la formule du binôme; intégrer ensuite terme à terme. On obtient ainsi le dé\ eloppement de T suivant les
puissances de sin---
17. Etudier les petites oscillations d'un pendule, en supposant qu'il est soumis à une résistance proportionnelle à la \itesse.
18. l'étudier le mouxement d'un point pesant sur un cercle parfaitement poli, dont le plan fait l'angle f avec le plan horizontal.
19. Un pendule elTectue de petites oscillations. .\ chaque passage dans un sens déterminé, à une certaine position M, on lui communique une petite imjtulsion, qui a pour effet d'accroître brusquement sa vitesse angulaire d'une quantité très petite £. Calculer l'augmentation algébrique de la période F du pendule, qui résulte de ce dispositif. Montrer que
celte augmentation est nulle si M est la position d'équilibre. Elle est également nulle si l'on produit des impulsions égales, mais changeant alternativement de sens, ou bien des impulsions identiques et de même sens en deux points M et M' symétriques par rapporta la position d'équilibre. [Si 9 et 6' sont l'élongation et la vitesse angulaire en M, l'amplitude et la phase sont données par
= asincp, y^ ^ <7(i) coscû,
Vf
Le choc fait varier brusquement a et q de da et do, tels que d9 = o, d9'=:s; d'où l'on peut lirev do. D'autre part, le pendule repasse par la verticale dans le sens positif, lorsque 9= 27r. L'accroissement continu de la phase est donc 27: — do et le temps correspondant égale
