do do
Donc,
(1) a-fji-
Ce problème trouve une application dans l'échappement des horloges,]
20. Au moment où un pendule passe par une certaine position M, on fait varier brusquement sa longueur d'une petite quantité dl. En supposant que la vitesse tangentielle du point pesant ne soit pas modifiée par cette opération, calculer la variation brusque que subit la vitesse angulaire. En déduire la variation d'amplitude de l'oscillation. Montrer que cette variation est maximum, si M est la position d'équilibre, et qu'elle est nulle, si M est une position d'élongalion maximum. Que se passe-t-il si l'on raccourcit le pendule à chaque passage à la \erticale, en lui rétablissant sa longueur au prochain maximum d'élongation?
(r, de' dl ^ . . , > • 1 r
I On a -^ =i J-- Un calcule da en se ser\ anl des équations de 1 exer-
, , , ,, da dl , 1, . . 1 I
cice précèdent et 1 on trouve — = ^cos-q; d ou résultent les propriétés de renoncé, qui donnent le schéma de la théorie deVescarpolelte. )
21. Lorsqu'on lance un pendule M à partir d'un point voisin du point le plus bas P et avec une faible vitesse initiale, mais de direction quelconque, il décrit une courbe tracée sur la sphère de centre O et de rayon / {pendule sphérique)^ qui s'écarte très peu de P et peut être considérée
Haao. — Exercices, III, 8
I l4 CHAPITRE VI.
comme située dans le plan langent en ce point. On appelle (x, y) les coorùonnée? de M par rapport à deux axes rectangulaires de ce plan issus du point P. Former les équations dilTérentielIes approchée:^ auxquelles satisfont ces coordonnées, considérées comme infiniment petites. Montrer que le niouA'ement du point M est sensiblement une vibration elliptique, f La tension du fil est égale à mg au second ordre près. Ses pro-
jections sur Vr et Py sont — f^^g-j et — mg-j- 1
22. Le point de suspension A du pendule précédent est soumis à un mouvement vibratoire elliptique. Etudier les petites oscillations. {Cf- Exercice résolu n° h. On obtient des résultats analogues, en étudiant le mouvement par rapport à des axes entraînés par le point de suspension et procédant comme il est indiqué dans l'Exercice 21. On peut toujours choisir les conditions initiales de manière que M efteclue une vibration elliptique homothétique et synchrone à celle de A. Lorsque les deux périodes sont voisines, on a le battement des \ibrations elliptiques.)
23. On considère deux plans inclinés A et A', se coupant suivant une horizontale H et faisant respectivement les angles i et i' avec le plan horizontal. Un point B, de poids P, peut glisser sur A, avec le coefficient de frottement/; de même, un point B', de poids P', peut glisser sur A', avec le coefficient de frottement /'. Les deux points sont reliés par une corde, qui passe sur une poulie, disposée sur Thorizontale H, de manière que les deux brins de la corde soient respectivement parallèles aux lignes de plus grande pente des deux plans. Etudier les mouvements possibles du système. (Ecrire séparément les mouvements des deux points, en introduisant la tension de la corde et éliminer ensuite cette tension. )
24-. Un point, de poids P, se déplace sur la ligne de plus grande pente d'un plan incliné, sous Faction d'une force constamment parallèle à cette ligne. Démontrer que le travail absorbé par le frottement est égal au produit de/P parla projection horizontale du chemin parcouru. Démontrer qu'on a sensiblement la même propriété si le point décrit une ligne quelconcjue, située dans un plan \erlical, avec une vitesse constamment très faible. (Dans le cas de la trajectoire courbe, il faut que la vitesse soit assez faible pour que l'accélération normale soit négligeable visà-vis de g.)
25. Etudier le mouvement d'un point pesant sur un plan incliné, en supposant que la vitesse initiale n'est pas dirigée suivant une ligne de plus granrle pente et en tenant compte du frottement. (Ecrire les é(jua-
APPLU',ATIO^S DE LA DYNAMIQUE DU POINT. Il5
lions intrinsèques du mouvement, en introduisant Tangle polaire a de la \itesse v. Puis, éliminer le temps. Tout s'intègre par des quadratures très simples. Cf. Exercice n" 13.)
2«>. Appliquer les résultats de Texercice précédent avec les données suivantes : « :=: io°, /= o,5. Calculer la durée T du mouvement et les coordonnées du point d'arrêt P, en fonction de l'angle o que fait la vitesse initiale avec l'horizontale Oa; du point de départ, lùudier les variations de T et construire le lieu de P, quand o croît de o à t:.
27. l n fil élastique, de longueur naturelle 2/, est coupé en deux parties égales. On attache chacune de celles-ci à un point M, pesant loS; les deux autres bouts sont fixés à deux points A et B, distants de i™. La tension de chaque morceau de fil est /.A/", àr désignant son accroissement de longueur au delà de /.
1° On place la droite AB verticalement, A au-dessus de B; M prend une position d'équilibre située à 60*^"^ au-dessous de A. Calculer />-.
2° On place AB horizontalement ; M prend une position d'équilibre située à 20"" au-dessous de AB. Calculer L
3" On place AB comme dans 1° et l'on abandonne M, sans vitesse initiale, à 40'=™ au-dessous de A. Calculer la distance extrême à laquelle il descend et la durée de cette descente.
4" On place AB horizontalement et l'on abandonne Al à partir du milieu (le AB. Calculer la distance à laquelle il descend.
i Certificat de Mécanique rationnelle, épreuve pratique; Clermo/it, novembre 191 i .)
28. Un point pesant M est lancé horizontalement à partir de la position A, avec la vitesse Vq. Il est attiré par un point O, situé à la distance a au-dessous de A, suivant la force A. MO. Déterminer son mouvement.
29. In point AI, de masse i, est attiré par O suivant la force 2 MO. Il est soumis à une résistance opposée à la vitesse et égale à 3r. On le lance à partir du point A(i ,0) avec une vitesse égale à 2 et perpendiculaire à OA. Déterminer son mouvement. {Cf. Chap. I, Exercice proposé n° 8.) Calculer le travail absorbé par la résistance depuis le temps o jusqu'au temps t et construire le diagramme correspondant.
30. Un fil élastique est attaché au point fixe O. Son autre extrémité est attachée à un autre (il élastique, qui supporte, à son autre bout, un point pesant M. Étudier le mouvement de ce dernier, en supposant qu'on
Il6 CHAPITUE VI.
l'abandonne, sans vitesse, à partir d'un point quelconque de la \erticale du point 0. Les longueurs naturelles et les coefficients d'élasticité des deux fils sont supposés quelconques.
31. Un ressort à boudin s'allonge de 45""° quand on lui suspend un poids de loo'^P. Calculer l'énergie emmagasinée dans le ressort quand il e>t allongé de lo'™.
32. Un ressort vertical s'allonge de i4""",5 sous raction d'un poids M de loo'. On l'allonge encore de 20™"', en tirant sur M ; puis, on abandonne le tout. Un certain dispositif permet d'amortir les vibrations, au moyen d'une résistance proportionnelle à la vitesse. Calculer ce que doit être cette résistance pour une vitesse de 1'" par seconde, de manière que le décrément soit de ~. Construire le diagramme des espaces, en supposant que la résistance est double de la résistance limite à partir de laquelle le mouvement devient apériodique.
33. On reprend le ressort précédent et l'on fait vibrer verticalement le point de suspension, avec une amplitude de lo'""" et une fréquence /. Calculer l'amplitude et le décalage de la vibration forcée que finit par prendre M. Construire les courbes représentatives de ces deux éléments, quand on fait varier /". Calculer, en particulier, le maximum d'amplitude et la valeur correspondante de f. On se placera successivement dans les deux hypothèses envisagées pour la résistance dans l'Exercice 32.
3'+. Un point M est attiré par un point fixe O proportionnellement à la dislance. On le lance, à partie d'un point donné A, avec une vitesse donnée Tq, dans une direction quelconque. Dans quelle région de l'espace doit-on placer un point V pour qu'il ne soit pas atteint par M? (Il y a un ellipsoïde de sûreté. )
3o. l'Uudier le mouvement rectiligne d'un point sous l'inlluence de l'attraction nev\ tonienne. {Cf. Exercice résolu 11° 1.)
30. Dans le mouvement d'une planète, on appelle anomalie vraie l'angle t' = (9 — 0^ de la formule (85) du n° 93. Démontrer qu'elle est liée à l'anomalie excentrique par la formule
tang-=tang(^--^-jtang-, en posant e ^^ sin ^.
37. Calculer le temps en fonction de l'anomalie vraie, dans le cas de l'orbite ])arabolique.
38. Avec quelle vitesse faudrait-il lancer un corps dans le sys-
tème solaire, pour que son orbite soit un cercle? Annuler l'excentricité, donnée par la formule (86) du n" 93. La vitesse doit être perpendiculaire au rayon vecteur et é2:ale à 4 /— •
39. On donne le Tableau suivant des demi-grands axes, des excentricités et des masses des différentes planètes :
Demi-giand
axe. Excentricité. Masse.
Mercure 0,38-10 o,2o56i o,o5o
Vénus 0,72333 0,0068164 o>8i7
Terre. i 0,016750 i
Mars ". . . 1,5237 0,093309 0,108
Jupiter 5,2026 o, 0^8335 3iS,36
Saturne 9,5547 0,055892 95,22
Uranus 19,218 o,o46344 14,58
Neptune 3o,iio 0,0089970 17,26
Soleil 333432
Calculer les vitesses maximum et minimum de chacune d'elles, ainsi que la durée de révolution. Calculer les limites entre lescjuelles varie l'énergie cinétique de cliaqueplanète, ainsi que leslimites entre les(|uelles reste certainement comprise l'énergie cinétique totale du système solaire.
L'énergie potentielle étant prise égale à — — > calculer l'énergie totale
pour chaque planète, ainsi ([ue l'énergie totale de tout le système solaire. On calculera les énergies en kilojoules et en kilogrammèlres. On calculera également le temps que mettrait un moteur de loooo chevaux pour fournir chacune d'elles.
La valeur de la constante de la gravitation, en unités C. G. S., est 6,65 X io"~^. La distance moyenne de la Terre au Soleil est
149,5 X 10*' km.
'i-O. Un point M est attiré par le point fixe ( ) en raison inverse de 0M-. On le lance, à partir d'un point donné A, dans un plan donné et avec une vitesse i> donnée, mais dans une direction variable.
1° Prouver que toutes les trajectoires ont même longueur d'axe focal.
2° Le lieu du deuxième foyer de la trajectoire est un cercle de centre A.
3° Construire, en s'appuyant sur ce qui précède, les trajectoires qui passent par un point donné. Montrer qu'il y a une ellipse de sûreté, admettant pour foyers 0 et A.
