I . Donc, AI
ÎTl + Ç
avec
(.-) Cela résulte aussi du la formule (32), qui montre que c/ = coscp„— -j^,
est ~ cos^o^i.
existe deux an<;le.s'^i, — of compris entre — - et +7t, dont le cosinus est égal à a. Il leur correspond deux points M, et M', sjinélriques par rapport à O;. Puisque cos'^ doit rester^ cos'^, , cp doit rester compris entre o, et — cp, ; autrement dit, M doit rester sur l'arc M,PM',, P désignant le point le plus bas de la circonférence. Si l'on suppose, comme tout à l'heure, '-s'^^ o, o commence par croître. Il atteint cp,
en un temps Uni, car la quantité sous le signe / de la formule (33) devient infiniment grande d'ordre- (t. 1, n" 154) ( ' ). Puis, il se met
à décroître jusqu'à — o,, croît de nouveau jusqu'à 'i( et ainsi de suite. Le mouv^ement est donc une oscillation indéfinie sur l'arc M|Pi\J,. Cette oscillation est évidemment périodique; on peut même ajoutei' que la durée T d'une oscillation simple est la même dans les deux sens et que, comme dans le premier cas, deux arcs symétriques par rajypcu't à Or- sont parcourus dans des temps égaux, de sorte que
fi
Cas intermédiaire .• a = — i, ou ro= ((. — La quantité sous h;
radical peut alors s'écrire
I 4- cos -i = 2 ros2 s.
cl la formule (33) devient, en siq)|)Osant c5'^j>>o,
d MM l'on tire
(38) lang/il^ = langl^^ e?V /' .
Celte formule montre «pie, lorscjue L croît de o à -j-oo, cp croît de cp,, à -. Autrement dit, iM se déplace constamment dans le sens positif et tend asjmptotiquement vers le point le plus hautP'.
I^es résultats de cette discussion sont bien conformes a\('c le bon
f; Car 9, est une riicine sim])Ic de la quaiUitc sous le radical, puisque la dérivée — sin^, n'est pas nulle.
APPI.ICAJIO.NS DK LA DVNAMlOt'K OU POINT. 9>
sens, car rexpéiience la plus vulgaire nous apprend que pour faire faille un tour complet à un pendule, il faut le lancer avec une grande vitesse ; si la vitesse est faible, on obtient seulement des oscillations. Quant au^as intermédiaire, il est évidemment purement théorique, car on ne peut jamais réaliser rigoureusement une égalité dans une expérience ('). Mais, on peut s'en approcher, en supposant toutefois, comme nous allons le voir plus loin, la liaison bilatérale. L'expéiùence consiste alors à lancer une bille dans un tube circulaire, de telle manière quelle s'arrête juste au point le plus haut ou dans son voisinage(=^).
83. CiLcuL DE LA RÉACTION. — Appliquons la deuxième équation intrinsèque (n° 08), en orientant la normale vers le centre du cercle
( 39) m -j = — mg coscp -l- R ;
d'où l'on tire, en tenant compte de (28) et de (Sa),
( \o) R = — {"ig z -t- // j = —j- (3z — lia) = mg (Scosç. — 2a).
Cherchons si celte réaction peut devenir négative, c'esl-à-ilire si le fil peut
se détendre. Pour cela, il faut et il suffit que coso puisse devenir < - a. Or,
le minimum de ce cosinus est a ou — i, suivant que le mouvement est oscii-
latoirc ou rolatoire. Il fiiut que ce minimum soit < - a. Dans le cas du mou-
vement oscillatoire, on doit avoir a ■< ^ «, ce qui exige a <C o. Aulremeni
dit, les extrémités Mj et M', de l'arc d'oscillation doivent être au-dessus du plan horizontal 11 qui passe par 0. Si cette condition est remplie, la réaction change de signe, donc le fil se détend, au moment où M alteinl le plan
horizontal H' situé à une dislance au-dessus de H égale aux -^ de la distance
de M] à H. \ partir d<' ee moment, le point M devient libre et l'on est ramené
au problème du n" 76.
Dans le cas du mouvement di- rotation, on doit avoir — 1 < -^ « ou, en teiianl
compte de ( îa),
' 10 vl<Cg(-2Zo-^M) = cf.
(') De phis, les froUeiiients, que nous avons négligés dans celle théorie, sont suffisants, quelle que soit leur petitesse, pour modifier nos conclusions dans ce cas particulier.
C) L'arrêt est justement produit pur le flottement.
g4 CHAPITRE M.
Celto inégalité est compatible avec t'o> i-'i, oar fi < f^. Si donc, Cq est compris eulre ej et t'j, le fil se détend encore. Ceci arrive, «-n particulier, dans le cas intermédiaire étudié tout à l'heure, qui ne peut donc être réalisé que si la liaison est bilatérale.
8i. I^^TiTEs osciLL.VTioAs. — Le pciitltilc ucst giière ulilisé dans la pratique que dans le cas particulier où il cfFeclue de très petites oscillations. On peut alors simplifier considérablement l'étude de son motivement. Supposons, par exemple, (ju'on Tahandonne, sans vitesse initiale, avec une élongation très petite a. Comme l'anj^le o varie entre — a et -h a, il demeure constamment très voisin de zéro et l'on peut, dans
la formule (33), remplaceii, sous le radical, cos'.5 par i — — • On peut
alors intégrer par un are sinus. On arrive plus simplement au résultat en partant de l'équation dilTérentielle du second o/dre à laquelle doit satisfaire es. Cette équation peut se déduire de (3i), en dérivant par rapport au temps et divisant par :>'i'. On obtient ainsi (')
(U) ef"+ysinç = o.
Si l'on remplace maintenant le sinus par l'arc, il vient
équation linéaire à coefficients constants, dont rintégrale gciuialc est (t. 1, n" 197)
ç=.Aeos^/f.+ Bsin^/f..
Comme nous supposons 'i^, = o et es,, -==7, on a ]î = ocl A = a; donc,
(i4) cp = acosl/^^.
Le mouvemeiat est un mouvemcnl vibratoire sinq)le(-). Sa dcmi-
f; Celte équation pourrait aussi être obtenue en appliquant la première équation intrinsèque ( n' .'iS) ou bien le théorème du moment ciiKliquc par rap|)ort à O f n" 59 ».
(') En réalité, il n'est pas rif,'Oureusement rcctiligne: mais, au degré d'afiproximalion que nous avons admis, on peut confondre l'arc d'oscillation avec un segment de l;i liiniiente en I'.
APPLICATIONS DE LA DYXAMlQUIi: DU POINT. 95
période ou durée d'une oscillation simple est
Elle est indépendante de a; c'est la loi de Visochronisme des petites oscillations. Ce n'est qu'une loi approchée, car la véritable valeur de T est donnée par (36) ou
(!«>) T=./gr, "'
^' ^ \ g J^ v/cosç — cosx
et elle dépend de a.
Ou peut en chercher une valeur plus approchée que la valeur (43 i, en poussant, sous le radical, les développemenls de cos'f et cosz jusqu'aux termes du quatrième ordre inclusivement :
(4rj T = 2i '"^
Si l'on pose ç = y.u, l'intégrale du second membre devient '' du
Si l'un développe, par la série du binôme, la quantité sous le signe / sui\ant les puissances croissantes de a-, en s'arrêlant au terme en a^, il vient
r= / / — of^i = - 1-4- — -+- - J,
j= Ç -^i^= r sin^e./o = ^.,
en posant u = ^■inO. Finalement, el, en portant dans (']"]),
L'erreur commise en adoptant celle formule est du quatrième ordre en a.
[)(j CIIAIMTUK VI.
85. pJLA^ i\< LiM.. — Considérons un j)lim I', (|iii fail l'angle i avec le plan liorizonlal. Siij;posons qu'un point M, de masse ni, soit assujelli à se déplacer dans ce plan, lequel sera d'ahord supposé paifai-
lemenl poli. Si nous projetons f= ///.-' sur le plan, la pi'ojeclion de la force se réduit à la projection du poids de M, puisque la réaction du plan est normale; c'est un vecteur égal à mgsini et dirigé suivant la ligne de plus grande pente descendante. D'autre part, la projection
de V est ce vecteur lui-même, puisqu'il est dans le plan P. Le mouvement du point AI est donc le même que s'il était lil)re dans le plan P, la pesanteur étant dirigée sui\ant la ligne de plus grande pente descendante et réduite dans le rapport s'ini. On est dès lors ramené au n" 76 et le mouvement, pour des conditions initiales quelconques, est un mouvement parabolique, se déduisant de celui du n" 70 par le ' changement de /> en ^^ sini.
Supposons maintenant qu'il y ait du frottement. Nous nous borncrf)ns à considérer le cas où la vitesse initiale est dirigée suivant une ligne de plus grande pente Ox, de sorte cjue le mouvement se fait sur
celte ligne, par raison de symétrie. En [)rojolanl y := /«. v sur O.r, on a
' 19 ) m x" = n\ g >iii i -t- \\ ,.
I) autre pari, en projetant sur la noruialc au plan cl en l'cmai'cpianl
qiu; la projection de y est nulle, on voit (pie la i<a(tu)n uoruudeNest égale et opposée à la composante normale du poids ini^\ de sorte que
( >o) N = mg co^i.
La force de frottement est égale à fîS =zf nii^rosi; elle est égale à zb R^, suivant que le mouvement a lieu vers le luiut ou vers le bas.
S(). l'ieniicr cas : moiivenicnt ascenddiil . — L'(''fpialu)u {\\)) dc\ ieni
('>\j x" = g(i'\n i -hfcosii).
L'accélération est constante; et dirigée en sens inverse du mouveinciii, le(juel est d(uic utiifoiiiiémeul i-etarrlé. V^n intégrant (5i) et tenant
APPLICATIONS DE LA DYNAMIQUE DU POlXr. <)7
compte des conditions initiales, on a
(5-2) ce' = ~ l'o-t- ^{^ini -hfco^î)t,
La vitesse s'annule au bout du temps (54) ti =
i sini -hfcosi)
Deuxième cas : mouvement descendant. — L'équation (4q) devient
(55) x" ^= g{i\ni — ycost).
Le mouvement est uniformément accéléré ou retardé, suivant que / est inférieur ou supérieur à langt. En intégrant, on trouve
(5G) 37'= 1^(1 -i- ^(sin t — fcosi)(,
(5/) X = f,i /H — gi i?in i — f cosi)t-.
Siy<;tang/, la vitesse va constamment en croissant, M descend indéfiniment d'un mouvemenl uniformément accéléré. Siy'j^- tang/, la vitesse s'ann'ule au bout du temps
s,'-{J cosj — siii i ) Si /= tangi, le mouvement est nnifoi^me.
Cas intermédiaire : la vitesse initiale est nulle. — On ne sait pas a priori si le point \a monter ou descendre. Toutefois, la première hypothèse est contraire au bon sens. Elle est également contraire à la théorie, car si le point commençait à monter et prenait une petite vitesse ascendante t'o, cette vitesse s'annulerait au bout du temps /,, lequel serait infiniment petit, puisque proportionnel à Cq. Autrement dit, il est impossible que le point prenne une vitesse ascendante sans que cette vitesse s'annule aussitôt. Il ne peut donc pas monter.
Lorscjue/'^tangi, le même raisonnement s'applique au mouvement descendant. Donc, dans ce cas, le point ne peut ni monter, ni descendre; il reste immobile, conformément aux lois du frt)tlemcnt au repos (iiM 29).
H.VAG. — Cours, III. 7
Si / <^ t'^ing'? on peut adinellrc. sans C'[yv coudull à une conlradiction, que le point se met à descendre. En if'allté, Texpérience montre que ceci ne se j)r()(luii que si tangi dépasse le coefficient de frottement au repos ^0, qui est toujours plus grand que /' (n" 129).
On peut maintenant résumer comme il suit les conclusions de la discussion précédente :
Si le point est lancé i^ers le haut., sa vitesse décroît uniformément et s^annule au bout du temps /, ; à ce moment^ le point s'arrête si Xnn<j;i <:^/o; sinon, il repart vers le bas, d'un mouvement uniformément accéléré.
Si le point est lancé vers le bas, il descend indéfiniment si tangf ^/; sinon . il s' arrête au bout du temps t.^.
87. Attraction pkoi'oktioxmîlle a la distance. - — Considérons un point M, de masse m, qui, par rapport à un certain trièdre de référence 0.iyz., est en équilibre stable dans la position O. Écartons-le dans une position très voisine M. Nous admettrons que cet écart
donne naissance à une force absolue A.MO, qui est une attraction proportionnelle à la distance. C'est là une lijpolhèse qu'on fait sou- \ent en Physique, par exemple dans les théories qui reposent sur les mou\ements vibratoires de Téther. On la fait également en Mécanique appliquée, dans l'étude des ressorts. Par exemple, si l'on allonge un ressort à boudin (ou un fil élastique) au delà de sa longueui- naturclh-, la tension du ressort ou du (il est sensiblement jjroportionncUe à rallongement, pour\u que cet allongement ne soit pas tiop grand.
Le point INl étant lancé de la position ^lo avec la vitesse c„, cherciions le niouvemenl qui j»r('nd naissance. Les écpialious (lifTérenticllcs de ce mouvement sont
('19) mx" -\- kx = o, iny"~>rky = i), fnz"^kz = o.
Ce sont dés équations lini-aires du second ordi-c à cocflicienls constants. Si l'on pose
(6oj ui = i / — ,
l'intégrale générale est doniue par (t. I. n" 197) ( C)i) a: = \ cosw/ -+- H sin toi
APPLICATIONS DE LA DYNAMIQl E DU POINT. 99
et des formules analogues pour j- et ;, les constantes A et B étant seules changées.
Si l'on se re[)orte au n° 32. on i-econnaît les équations générales d'une vibration elliptique de centre O et de fréquence
Pour la déterminer simplement en fonction des conditions initiales, prenons OMo pour axe des x. Distinguons maintenant deux cas :
Premier cas : la vitesse initiale est dirigée suivant la droite OM,, . — Prenons des axes Oy et O.; quelconques. Les conditions initiales sont
^0, ^'o=^», JKo =J>'fj = -0 = -,', = o.
En ])ortant ces hypothèses dans les équations telles que (6i ) et dans ces équations déri\ées par rapport à t. on trouxe aisément
(63) a: = Xn cosoj/ -i sinw/. r=o, ;:; = o.
, On en conclut que le mouvement est un mouvement rectiliane vibratoire simple.
Deuxième cas : la vitesse initiale ne passe pas parO. — F^renons Oy parallèle à cette vitesse et Oz quelconque. Les conditions initiales sont
x^, xl, = o, ^^0=0, y'o = f^o, -0 = -il = o-
< )n en déduit les valeurs des constantes A, B, en faisant / = o dans les équations telles que {6i) et dans leurs dérivées; un calcul très simple conduit liualemenl aux écpiations sui\antes :
''o • ( G.'i ) X =^ Xo co?iO)t, y= — sinw/, 3=0.
Le mouvement est une vibration elliptique.
88. Knergmc d'un mouvement vibratoire. — L'attraction précédente dérive
d'une fonction de i'orce 11= — - r^ ( n" 62). On peut donc écrire lintéîirale
loo ciiAPrmt: vi.
des forces vives i n" 68)
(G5) - mv--\- - r-= 11.
Les deux termes du premier membre sont respectivement l'énergie cinétique et l'énergie potentielle du mouvement vibratoire. Leur somme constante h en est l'énergie totale; elle dépend uniquement des conditions initiales; la vibration conserve l'énergie.
En Mécanique appliquée, ceci n'est pas vrai, à cause des frottements inévitables et l'énergie totale diminue, car elle est absorbée progressivement par le travail des frottements, travail qui est toujours négatif in" 73). Par exemple, si l'on bande un ressort, de manière à l'allonger ou à le raccourcir de /• à partir de sa longueur naturelle, on lui donne une énergie potentielle (appelée
aussi énergie de déformation) égale à — r-. Si ensuite on l'abandonne, il se
met à vibrer; l'énergie potentielle initiale se transforme plus ou moins partiellement en énergie cinétique, suivant la pbase du mouvement. L'énergie totale devrait tbéoriquen)ent rester constante; mais, pratiquement, elli' diminue et finit par sannuler, puisque le ressort finit par ne plus vibrer.
89. Amoktissicmknt divs vit5R.VTi().\s. — Oïl sc rciid compte de celle exlinclioii des vibrations, si l'on admet Texistence d'une résistance constamment opposée et proportionnelle à la vitesse. Bornons-nous an cas du mouvement recliligiie. La résistance est alors de la forme — ax' ., a désigiianl une constante positive. L'équation difl'érentielle du mouvement est
( ()() ) tn x" ^ ax' ->r kx = o.
C'est en(;ore une é(jiiati(»n linéaire à coeflicients constants; mais, ('ctte fois, elle est com])lète. Deux cas sont à distinguer, suivant |la réalitcdes racines de l'équation caractéristique.
I*remier cas : a^'x\Jkm. — Les racines sont imaginaires, soit —
\J f\kni — a'^
L'intégrale générale de (66) est
(^.8) x = e-«'r\ cosp<-+- Bsinp/).
On reconnaît un nioiiKementribratoire amorti ( \\"^1). L'aniortissciMcnl rsl d'aiilanl pins rajude (Uie a est jdus grand, c'est-à-dire que
AIM'LICATIONS DE l,A DVNAMIQUE 1>U POINT. lOI
le coefficieul de résistance a est pins oranil par ra|)|)ort à la masse m. La fréquence, qni est proportionnelle à ^, diminue quand a augmente.
A l'extrémité de chaque vibration, Ténergie cinétique est nulle et l'énergie potentielle est — x'-. Comme les élongations maxima décroissent en progres-
sion géométrique de raison y/D == e v'*/'"' — «•, l'énergie totale décroît en progression géométrique de raison D. La perte d'énergie doit être égale au tiavail de la résistance — ax' . C'est ce que nous laissons au lecteur le soin de vérifier par un calcul direct, à titre d'exercice.
Deuxième cas : a ^ 2 \/ km. — Les racines de l'équation caractéristique sont réelles et négati\es, soient — 7' et — r' . L'intégrale générale de {JoQ) est alors
(()()) 37 = Ce-''-r- Ce-''''.
Supposons, par exemple, que la vitesse initiale soit nulle. Les constantes C et C sont alors déterminées par les conditions
En résolvant ces deux éqiiations du premier degré et portant dans (69), il vient
(70) X =^ — '- r(re~'''' — r'g-'M.
La vitesse v est ensuite donnée par
Si l'on suppose, pour fixer les idées, /■>/', la parenthèse est constamment négati\e, donc aussi la vitesse. Le point M se rapproche constamment du point (), qu'il atteintasvmptotiquement pour t = co. 11 n'y a plus de vibrations; on dit que le mouyemenl es,l apériodique. T^amortissement est donc encore plus rapide que dans le cas précédent et cela se conçoit aisément, puisque la résiNtance est plus grande.
90. E\TKET[i:.\ n'iN mol \ i;\ri:« r viiîka loiui;. — Le frollemcnl linil par éteindre toute vibration. De là résulte le problème expérimental de l'entretien des oscillations. Nous ne pouvons passer en revue les diflerents procédés imaginés, dans ce but, par les physiciens et les
r.llAPITRK VI.
techniciens. ^>ous nous conlenterons d'indiquer la soliilion (iiii lésulle de l'emploi d'une lorce |)erluil)alrice j)ériodi([ue.
Reprenons le polnl M du numéro précédent el supposons qii on lui applique une force perturbatrice sinusoïdale
{-■>.)' \ = b siiuo/.
L'équalion {C)Q) est simplement modifiée j)ar ladjonclion du terme \ au second membre, ^>ous sa\ons (t. 1, n" 198) que rintéi;rale gén('rale (68) doit être, à son tour, modifiée par l'addition dune solution particulière de l'équation avec second membre, laquelle est de la forme G cosiof -t-C sincof et se détermine |)ar la méthode des coefficients indéterminés (t. I, n" 198). Un calcul facile conduit à la Solution
h} a cn^oit -\- ( mto- — A" ) si n o) /
oj- a - -t- ( «« w- — A' )2
En lui ajoutant (()8 ) ou (69), on obtient la forme néiessaire de Télongation, dans les nouvelles conditions. Or, quelles que soient les constantes, c'est-à-dire quelles que soient les conditions initiales, les seconds membres de (68) et de (69) tendent vers zéro. Il suit de là que l'élongation du point M tend vers ç. On peut résumer ceci en disant (|ue le mouvement du point M résulte de la superposition de la rihration amortie qu'il prend (juand il n'y a pas de Jorre perturbatrice et qu'on (tppelle sa viuiuimon i'koi'ke avec une vibration non amortie qui a même jx-riode que la force perturbatrice et à laquelle il se réduit plus ou moins rapidement^ suivant que V amori issement de la vibration propre est plus ou moins grand ( ' ).
\)\. J/cllVl de la foire piilnilialiiie e-l doiir, m di fiiiilive, d iiil retniii- Ici vik)ialion simple définir |iiii la fdi iiiide (7^). <^li('i<li(iii- l'imipliliidc A île cette vibration, ainsi que son diTalai;e 'y par lapporl à la force pertmbalrire. A oi'l efirt. nou> devons identifier (yîj a\ec
('74 j ;= \'-in/oj^ — cp).
f) Si les «■(jiKliliufis iniliali- ^oiil (cllis di- la \iijialiiiri (73;, la \il)raliim inopic n'cxislc pas et, dés le di'-lmt, le tiiouMinenl csl rif^ouien^einenl la \il)ialioii eiilreteriue.
API'LICATIOXS DE LA I)Y.N.\MIQl E DU l'OINT. Io3
On trouva
(75) A = — ^ lans;'^
'angle o devant rire cnmpii,- entre o et -4- ::. k.}^\iÇ.\o\\-^ fréquence propre du point xM la fri''(|iiencc — qu'il aurait -il n'y
avait ni force perturbatrice, ni résistance, w' étant donc égal
deuxième furnuilc (jâj non- montre que la vibration est en retard sur la force d'un angle inférieur ou supérieur à un angle droit, suivant que la fréquence de la force est inférieure ou supérieure à la fréquence propre. Le décalage tend vers zéro en même temps que la fréquence de la force.
Quant à l'amplitude A. il est facile d'étudier ses variations en fonction de u), puisque cela revient à étudier les variations du trinôme en oj- qui se tiouve soi'.s le radical. Si a- <C. > km^ le maximum de A est obtenu pour
( "bj M- = tu := a>r:
il est égal à
, xbm
ij:) Ai =
a \^ '\ km — a-
On voit qu il divicnl infini, quand a tend vers ziio. wi tendant alors vers M . Autrement dit. quand l'amortissement de la vibration propre est faible et que la période de la force perturbatrice est très voisine de la jiériode propre, la vibration entretenue a une très grande amplitude . C'est là le principe àe^r. phénomènes de résonance.
Lorsqu'on a rigoureusement a = o et w = w', la formule (jSj est en défaut «t doit être remplacée par la sui\anle 1 t. \. n" 198) :
(7H1 | = — ■tcr>>Mt.
', m lu
La vibration n'est plus périodique; --on amplitude croît proporlionnelli-ment au temps. Mais, ce cas est évidemment purement théorique.
O^. Si la force perturbatrice n'est pas sinusoïdale, mais seulement périodique, on peut la développer en série de Fourier (n" 26; et appliquer lerésultats précédents à chaque harmonique; on obtient les harmonique- de la vibration entretenue.
Si la pi'riode de la force e-t n foi- plu- grande que la période propre, le n"'"^'' harmonique a une très grande amplitude; il y a ré-ouance.
93. Mouvement DKS PLANkiKS, — Suit tin liièdre de n'-fért'iife O J' )'*
Io4 ClIAPITIU: VI.
avanl |)(iur origine \c cenlre du Soleil ( ') el dont les axes percent la sphère célesle en des points fixes par rapport à la conlignralion invariable que forment les étoiles. Un tel trièdre sera appelé frièd/e al) s 1)1 a (^- ).
Considérons maintenant un corps quelconcpu- M du système solaire, que nous assimilons à un point. En vertu du piineipede la gravitation universelle, la force lelative totale qui lui est appliqiu'e esl la résullanle des attractions lunvloniennes des diirérents astres. On sait (|ue celte attraction esl de la forme
. fin ni
ni et />/' désignant les masses du corps attiré et du corps attirant, /' leur distance el / un coefficient numérique, qui dépend uniquement du choix des unités el qu'on appelle la constante de la gra\italion. Parmi les astres qui peuvent attirer AI, il en est de très éloignés; ce sont tous ceux qui n'appartiennent pas au système solaire. Les attractions correspondantes sont très faibles el nous les négligeons. Quant aux astres du système solaire, il en esl un qui esl beaucoup plus gros que tous les autres; c'est le Soleil. A cause de sa masse, son attraction est de beaucoup la plus forte, sauf dans le cas où un autre corps du système solaire serait beaucoup plus rapproché <pie lui de AI. Celle dernière circonstance se présente pourun satellite d'une planète, qui est beaucoup |)lus près de celle planéu- que du Soleil. Alais, si AI est une planète (ou une comète), on peut admettre que raltracliou du Soleil esl pi<''poud(''i'aulc el négliger toutes les autres (^ j.
Dans ces conditions, la force relative appliquée an poini M est
^8oj — -,
(^) En rralité, on clrmonlre que l"oi'igine dcM'ail l'Irc le icnlie de gravité du syslénrn- solaire. Mais, il ditrère très peu du ccnlie du Solrjl. j ( ;iiim' de la grosse masse de ce dernier, comparée aux masses des |)lancli's.
C ) Ci-lte dénomination est évidemment pui-ctnenl eoiivenl ionnelle et le inouxeiiient |)ar rapport à ce trièdre est un mouvement lelalif rumme les antres, Ijien •ju'on ait ItiaLitude de le (jualifier de mouvement absolu.
( ■' ) iJien entendu, les asti-onomes aetuels ne se contentent i)as de eetle ap|)i'o\imalion el corrigent la jirésenle solution jiar la théorie dts jjci Un bâtions.
m (]<''si<;nanl la masse de ce point et A le produit de la masse du Soleil par la constante f. En outre, cette force est dirigée suivant MO. C'est une force centrale, dérivant de la fonction de forces (nM)2)
Nous savons (n° 68) que la trajectoire est dans un j»lan passant par O et qu'elle est décrite suivant la loi des aires par rapport à ce [)Oint. Si nous prenons des coordonnées polaires de pôle O, nous pouvons écrire l'intégrale des aires et l'intégrale des forces vives
(8>.) r-d(i = Cdt,
(83) dr--^ r'-M'- = (— -{'/i\dr-.
Pour avoir l'équation de la trajectoire, éliminons dt :
, ^,.^,-dO^=^{^-^h).
Ou en tire
L\ forme du second membre nous incite à poser -= o; nous avons
alors
■do
Cette intégrale se calcule en décomposant le trinôme sous le radical en une différence de deux carrés et faisant le changement de variable
/c avec
On aboutit finalement à réquation suivante :
(85) /•= ^—, (Oo=consl.),
Io6 CHAPITKE VI.
t'a posant
Celte ('•((uallon nous montre (|ue la Irajeetoire est une eoniqiic de foyer O. de [paramètre yj, d'excentiieité c et daxe focal 0 = 9„ (t. II, n°'o:20).
(j'est une ellipse, une liv[)erbole ou une parabole, suivant (pie e est inférieur, supérieur ou égal à i, c'est-à-dire, d'après (86)^ suivant que h est négatif, positif ou nul. Or, h est la constante des forces vives; elle est donnée, en fonction des conditions initiales, j)ar la formule suivante, déduite de (83) :
(8-) k^çi^ll.
Donc, 1(1 trajectoire est une ellipse^ une hyperbole ou une parabole, suivant que la vitesse initiale est inférieure^ supérieure
ou éinale à une certaine vitesse critique^ dont la \aleur est! / — •
Pour toutes les |)lanètes, l'excentricité est très inférieure à i ('); leurs orbites sont donc des ellipses, ressemblant beaucoup à des cercles. Les orbites hyperboliques ne se rencontrent que pour les comètes non périodiques; elles ont une excentricité très voisine de i et peuvent être assimilées, en première approximation, à des paraboles.
9i. ix»^ A iiox i)K Kéi'i.kk. — 11 nous reste luaintenant à Irnuver la loi du mouvement sur la trajectoire, c'est-à-dire à calculer- /. Ou |)ourrait le faire en portant (85) dans (82) et intégrant pai' rapport à H. Mais, les calculs sont assez compliqués. 11 est plus simple de rapporter l'orbite, que nous supposerons elbplique, à ses ax(!s et diiil tdduirc ranoinalie excentrique u (l. Il, n" ol2l)). SI a r\ b sont les |(iii|^iiciii'.s des <l('iiii-a\c>. (III a
X = a cosa, y = b ^\u 11.
Ecri\on:> qii<; la \ liesse aréolaire par rapport au foyer S(c, o) est
( ' ) t-ll<- l'sl i|i; l'ord I r iIm rcnliémc, siiiif pour Mirciirr, (Imil l'rxcciilriiilr est o.aofj.
APPLICATIONS nR I.A DYNAMIQUE DU POINT. I07
égale a - :
ou
( al> — cb cos II ) n' = C.
Dixisons par au et iiilégrons.
. Gt
( <Sb ) • Il — e SI 11 II = — T •
au
Cette équation, qui porte le nom adéquation de Kepler^ nous donne immédiatement l'époque à laquelle la planète se trouve en un point donné de son orbite. Inveisement, en chereliant l'unique racine de cette équation par rap])ort à u (cf. t. 1, Chap. XXII, Exercice proposé n" 8), pour une \aleur donnée de f, on peut a\oir la position de la planète à une é[)0(|ue donnée.
La durée de réxolution T s'obtient en faisant u = 27z dans (SH) :
^ ir.ab
Eliminons la constante C, en la tirant de (86) et remarquant que p = — ud vient, en élevant au carre,
Gomme la constante /.' est la m('me pour toutes les planètes du système solaire, cette formule nous donne la troisième loi de Ki'pler :
Les carrés des durées de révolution sont proportionnels aux cubes des f^rands axes des orbites.
NOTIONS SUR LA DYNAMIQUK DES SYSÏKMF.S.
95. PUOJECTIOWS DKS QVAMITÉS IIK MOUVEMENT. — Coiisidérons U 11
syslènie S constitué par un certain nombre de points matériels (' ). dont les mouvements sont rapportés à un même trièdre d(^ référence Oxyz-. Soit M(:r, y^ z) l'un quelconque d'entre eux et soit m sa masse. Supposons qu'il lui soit appliqué difléi'entes forces, dont la
résultante M/ a pour composantes \, ^ , Z,. Nous avons
(i) ma"=X, my" = \ ^ /nz" = Z
et les égalités analogues pour tous les ])oints du sjstènu^. Xjoiildns mendjre à mcndjre toutes les équations telles que la première :
^■2.} Xm,7;''=SX.
[.e second membre est la projection, sur ():r, de la somme géomé-
Irupu- du svstéme de vecteurs conslitiu'' par les forces M/, (hiani iiu premier, c'est la dérivée, par rappoit au tenq)s. de l;i (puinlilé "^iiix'^ c'est-à-dire de la somnie algélirique des projections des quantités de mouNcment de tous les points du système sur l'axe des x. Nous avons donc le théorème suivant :
luÉouÈME ( dit de la jn'o leclion des (jiiaiitih's de niouvemenl). — La dérivée par rapport au temps de la projection des (luaulités
P) Pour I;i coiiiinodilé des raisonnements, nous supposerons toujours ces ])oints en nornjjrc lini. Mais, dans la réalité, on a souvent allaire à des milieux conliniis. Ofi leur étend la théorie, en les divisant rn petits morceaux, dont cliacun est assimilé à un point et en passant à hi limite. |i;ir les procédés du calcul intégral (<f. t. I, n- ISl, i8->j.
