NOTIONS SIR L4 DYNAMIQUE DES SYSTEMES
(' ... I ., , . I dv
est — » son moment cinelujue est — c et il tant ajouter— -- ;iu premier
membre de (i).
Si nous supposons maintenant ([ue Taxe est supporté par deux coussinets et si nous appelons / leur coefficient de frottement sur les tourillons, les forces de frottement ont une somme égale à /(2M -i- /«)^, car les composantes normales des réactions ont une somme égale au poids total du système (*). Leur moment résultant par rapport à i';txe est
en appelant /• le rayon des tourillons. Ce moment doit être retranché du second membre de (i). Cette écjuation devient, dès lors,
On en tire
rR(2M
-+-/")-Ht7
dv
dt *
■ /{2M + ,n)ffr.
On sait que, dans la pratique, Taxe de la poulie ne repose pas sur des coussinets, mais sur de petits galets entre-croisés, dont chacun roule contre le tourillon avec lequel il est en contact. Ceci a pour elTet de diminuer considérablement Tintluence du frottement. On a encore la formule (4), mais avec une valeur beaucoup plus faible de/, qui fait intervenir le frottement de roulement de l'axe de la poulie sur les galets et le frottement de glissement des axes des galets sur leurs coussinets.
Quoi qu'il en soit, on trouve toujours une valeur constante pour l'accélération. Cette valeur peut être rendue très faible en prenant assez petit le rapport — • Cela permet d'utiliser la machine dAtwood pour l'étude expérimentale du mouvement uniformément accéléré.
Deuxième méthode. — Employons le théorème des forces vives, en nous bornant à l'approximation (jui nous a conduit à la formule (2). La force vive du système est (2M -f- m) v^. Sa demi-dIfTérenlielle est
(2M -i- m) vdv = (2IM-I- m) vydl.
(') Nous négligeons le poids de la poulie. Kn outre,^ nous supposons que le conla.t de chaque tourillon avec son coussinet a lieu suivant la génératrice la plus basse, ce qui nest pas tout k fait exact (cf. n» 15G).
Le travail élémentaire se rédiiil à celui du poids de la masse additionnelle, soit mgK-dt. On a donc
( 2 M + tu ) K'ydt = mgvdl :
d^où Ton lire la formule (2).
Troisième méthode. — Appelons T la tension de chaque brin du fil ('). Appliquons le théorème du centre de gravité séparément aux masses M et \1 -1- m. Aous avons
(M + m)v = (M-+-"Oo -T.
En additionnant membre à membre, de manière à éliminer T, on relrou\e encore une fois la formule (2). Si Ton porte la valeur de y dans l'une (juelconque de ces équations, on peut en tirer la valeur de la tension
3. Suspension bifilaire. — Deux fils de même long^ueur AU et A'B' sont attachés aux poiitts Ji.ies A et A', situés sur une même horizontale. Ils supportent un corps solide C, auquel ils sont attachés en des points H et B choisis de telle manière que la droite HB' est horizontale lorsque
le système est en équilibre. On fait tourner C d'un petit angle autour de la verticale qui passe par son centre de gravité et on l'abandonne sans vitesse initiale. Calculer la durée des oscillations qui prennent
naissance.
(') Nous admettons que ces deux tensions sont égales. Cela revient à ncyiliger le monieiit d'inertie <lt; la poulie et les frottements.
NOTIONS SUR I.A DYNAMIQUE DKS SYSTÈMES. Ia3
Application. — Ak'=io'-'"; BB'=r20'='". La distance de A A.' à BB' quand il r a équilibre est de i"". On compte 72 oscillations simples dans une minute. Calculer le rayon de gy ration de C par rapport à l'axe vertical qui passe par son centre de gravité.
Lorsqu'il y a ét^uilibre, la figure AA'B'B est un trapèze isoscèle et le centre de gravité G de G se trouve sur l'axe O- de ce trapèze, f[ui est la verlicale passant par le milieu O de A A' {cf. Cliap. IX, Exercice proposé n" 22). Pendant les oscillalions, G tourne autour de O;; et subit, en même temps, une translation suivant cette droite. Calculons la relation qui existe entre la cote z de BB' et l'angle B dont a tourné G depuis sa position d'é([uilibre. Si nous prenons un axe Ox dirigé suivant A'A et un axe Ok perpendiculaire à zOx^ les coordonnées du point B, par exemple, sont ( b cosO, b sin9, z), en posant BB'=:: 2 b. Appelons, d'autre part, 2(7 la distance AA' et l la distance qui sépare AA' de BB' dans la position d'équilibre. Écrivons ({ue la distance AB n'a pas changé :
{b cosB — a)- -+- b'sin-O;
d'où l'on tire
(2) Z-= l- — 2(70(1 — COSS)
Si l'on suppose 5 petit, on peut prendre z'-z=r-—abe\
ou, en développant par la formule du binôme et se limitant au terme en 6-,
Gela posé, appli([uons le théorème des forces vives. La seule force qui travaille est le poids mg de G; il dérive de la fonction de force mgz, ou,
en négligeant une constante additive, U =1 — nrg — 5-. ("alculons maintenant l'énergie ci néti(iue. La vitesse de chaque point de G est la sommegéométri«{ue de la vitesse de translation ^'=: ybB' et de la vitesse due à In
rotation qui est égale à rB\ en appelant /• la distance du point considéré à Oc. Gomme ces vitesses sont rectangulaires, on a
On pourrait en déduire l'expression exacte de l'énergie cinétique de C ('). -Mais, cela est inutile, car le second terme du crochet est négligeable vis-à-vis du premier, de sorte que l'on peut se borner à prendre
l'énergie cinétique due à la rotation autour deO::, soit — 9'-, en appelant I
le moment d'inertie de G par rapport à Oz. Nous avons dès lors
On pourrait inté^^rer par une (juadrature. Mais, il est plus simple de se ramener à une é((uation linéaire à coefficients constants, en dérivant (5) par rapport à ^ et divisant par 2O' ; on trouve ainsi
(6) ff-^'^O^o.
On aboutit à l'équation d'un mouvement vibratoire simple, dont on sait calculer la période. La durée d'une oscillation simple est
y m gai
Si on la mesure expérimentalement, on peut en déduire 1
nigabl-
Si K désigne le rayon de gyration, on a
Application nuniériijue. — On a, en unités G. G. S.,
T =: — = -> ^=981, a = 5, /^=:io, / = ioo. l'n portant dans (9), on trouve K = 5,88, soit environ 59™".
i (-). On considère le cycliste de l'Exercice résolu n" 2 du Chapitre V. Calculer lu pression sur les pédales, la tension de la chaîne et la réac-
(') Cf. Kxercices proposés n'" V.\ et l'i.
(') (lel exercice [njurrail aussi Lii-n cire rattaché au Cliapitre IX.
