NOTIONS SUR LA DYNAMIQUE DES SYSTEMES

tion iangentielle de la roule sur la roue arrière, dans les hypothèses suivantes :

1° Le cycliste fait ao'"" à i heure, en palier.

2° Le cycliste fait lo"*™ à l'heure, dans une montée de 5 pour loo.

3° Le cycliste fait un démarrage, en palier, qui lui donnera une vitesse de So"^™ à V heure au bout de i5 secondes.

On donne le développement : 5™,5o, le diamètre de la roue arrière : o™,70, le diamètre du pignon de la roue arrière : 7'-°', la longueur des manivelles du pédalier : ij"^™.

Etablissons d'abord les formules générales. Appelons P le poids total du cycliste et de la machine; R la résistance à l'avancement, donnée par la formule (i) de l'exercice précité ; D le développement, a le rayon de la roue arrière, r le rayon du pignon de la roue arrière, /' le rayon du pignon de pédalier, / la longueur des manivelles, T la tension de la chaîne, Q la pression sur les pédales et F la réaction Iangentielle de la route sur la jante de la roue arrière; enfin p la pente, comptée positivement quand le cycliste monte, v la vitesse et y l'accélération. Toutes ces quantités sont évaluées dans le système M. K. S.

Pression sur les pédales. — Nous allons appliquer le théorème des forces vives. Si nous négligeons l'énergie cinétique due à la rotation des roues, des pédales, de la chaîne et aux mouvements des jambes, la force

vive est —v^\ sa demi-difTérentielle e'=>V—vdv =: — vydt. Evaluons marner ' B s

tenant le travail de toutes les forces appli({uees au système. JNous avons d'abord la résistance R, qui donne le travail — livdt; puis, la composante Iangentielle du poids P, qui est Pp et qui donne le travail — Ppdt; puis, les réactions de la route sur les deux roues, qui ne donnent aucun travail, tant ([u'il n'y a pas dérapage, puisque la vitesse de chaque point de contact est nulle. Il ne nous reste plus ([ue le travail des forces intérieures, que nous pouvons calculer en supposant la bicyclette immobile, puisque ce travail est indépendant du choix du trièdre de référence (n« 102). Nous avons d"ahord les différents frottements intérieurs à la bicyclette, qui dépendent essentiellement de la qualité de la machine et qui sont compris, en gros, dans l'expression empirique de R, 11 ne nous reste finalement que le travail musculaire du cycliste. Nous admettons que ce travail est tout entier employé à faire tourner les pédales ('). Si

(') Cti ii"esL pas toujours vrai dans la pratique, car les cyclislts qui ne savent pas pédaler dépensent de l'énergie en gestes l't contractions musculaires inutiles. Cette énergie est employée, en partie, à entretenir des mouvements du tronc que nous avons

CHAITIRK Ml.

nous supposons, pour simplifier, que la pression Q est perpendiculaire à la manivelle, son travail élémentaire pendant le temps dt est QldO, dO désien a m l'angle dont a tourné cette manivelle. Or, pour une rotation de 2-, la bicvclette parcourt le chemin D ; pour la rotation dS, elle parcourt v dt ; on a donc

,, 2-Vi/l

Finalement, le tliéorème des forces vives nous donne l'é(]ualii>n

d'où l'on lire (3)

-vydi= (— jj Vp — y.y-dt-

Tension de la chaîne. — Appliquons le tliéorème du moment cinétique au pédalier, en négligeant les variations de ce moment, qui est toujours petit. Le moment résultant des forces T et Q par rapport à l'axe doit être nul. On a donc

Q/ = T,'; d'où

Réaction sur la ro//e arrière. — liemarquons d'abord que la réaction tangentielle sur la roue avant est nulle, si l'on néglige les variations de son moment cinétique dans son mouvement autour de son centre de gravité; le théorème du n° 97 nous apprend, en effet, que le moment résultant des forces extérieures par rapport à son axe doit être nul, ce qui exige que la réaction de la route rencontre cet axe et, par conséquent, n'ait pas de composante tangentielle.

Cela posé, appliquons le théorème du centre de gravité à tout le svstèmi:*, en le projetant sur la route. Les forces extérieures ont pour |»rojcciions — \\, — Py> et F. On a donc

F K Vj,;

négiigi'-s tout à l'heure d;ms le calcul de l'énergie cinétique. Elle pioduit jiussi des déformations t'fastiqucs du guidon et de la selle; elle donne rie la chaleur, des uiouvernenls vibratoires, etc.

NOTIONS SLK LA DVXA.MIQUK DES SVSTK.MES. ) 27

d'où

(5) Y=.p(p+'^\-hR.

Si l'on rapproche cette formule de la formule (3), on voit (|ue

Cette formule peut s'établir directement, en appliquant le théorème des forces vives à la bicyclette considérée comme immobile. La force vive est nulle ('). Il en est donc de même du travail élémentaire des forces appliquées à la bicyclette. Parmi ces forces, nous avons la pesan teur et les forces d'entraînement (-), qui ne travaillent pas. Nous avons ensuite le travail de la force Q, soit Q/t/9, et celui de la force F, qui est, cette fois, — Fi>d£, car la vitesse d'entraînement du point de contact est — (', par rapport au cadre de la bicyclette. En annulant la somme de ces travaux et se servant de la formule (i), on obtient (6).

On peut aussi, en partant de F, calculer la tension de la chaîne. Il suffit d'appliquer le théorème du moment cinétique à la roue arrière. En négligeant les \ariations de ce moment, on doit écrire que le moment résultant de F et de la tension T appliquée au petit pignon est nul; cela donne

F a :=T /■] d'oii

Si l'on compare avec (4) et (T)), on trouve que l'on doit avoir (8) D = ?.T:a-;

ce fjui est bien la formule qui donne le développement.

Ajiplications numérifjues. — Nous avons — :=io; donc (7) devient

(9) T = ioF.

(') Nous négligeons toujours la force vive due à la rolation des roues.

(-) Il ne faut pas oublier que nous avons chanj,'é de trièdre de référence, l'accélération d'entraînement étant •;. Mais, les forces d'entr;iinemcnt et de pesanteur donnent lieu au même li-avail que. leur résultante, qui est appliquée an centre de gravité du système, lequel est immobile; donc, ce travail est bien nul.

Puis