NOTIONS SIR LA DYNAMIQUE DES SYSTÈMES. I

choc et avant le choc a une valeur donnée — le, k étant un nombre positif au plus égal à i. Vérilier que la force vive perdue est dans le

rapport avec la force vive due aux vitesses perdues.

[Si JC et jc' sont les vitesses après le choc, on a

x'—x=k{v— ç') — kY.

D'autre part, le centre de gravité doit conserver la môme vitesse ; on en déduit une seconde équation et l'on trouve

La force vive perdue pendant le choc est

mm'{i — k'-) V^ m ■+- m'

La force vive due aux vitesses perdues est

Lorsque k = o. on dit que le choc est. mou; lorsque A" = i, on dit qu'il est parfaitement élastique: dans ce dernier cas, il n'y a pas de perte de force vive.]

i. On donne un coup de marteau sur une pointe. La tète du marteau pèse i''s. Elle arrive sur la pointe avec une vitesse de 2™ par seconde et elle est arrêtée en •— de seconde. Calculer la valeur moyenne delà réaction exercée par le marteau sur la pointe. De combien s'enfonce la pointe, si l'on admet que la réaction demeure constante pendant toute la durée du choc? (La quantité de mouvement perdue par le marteau est égale à la réaction demandée multipliée par la durée du choc. On trouve i02''S. Le chemin parcouru peut se déduire du théorème des forces vives; on trouve 2™™. )

0. Un chariot empli de liquide est percé, à la base d'une de ses parois verticales, d'une petite ouverture, de surface s. La vitesse du jet par rapport au chariot est v, la densité du liquide est a. Calculer la réaction R exercée sur le chariot par le liquide. (Appliquer le théorème des quantités de mouvement à la masse liquide qui se trouve dans le chariot au temps /. vVu temps t + dt, une masse asv dt de ce liquide a pris la vitesse v, une masse égale a perdu la vitesse sensiblement nulle du niveau supérieur et le reste a gardé la même distribution de vitesses. On en IIaag. — Exercices, III. y

déduit raccroissement de la (fuantilé de mouvement et, en divisant par dL, la force — H.)

6. Deux poulies P et P' sont montées sur le même axe et sont solidaires l'une de l'autre. Leurs rayons respectifs sont R et R'. Sur la première, s'enroule un fil, dont une extrémité est fixée à la poulie et dont l'autre extrémité supporte une masse m. Sur la seconde s'enroule de même, mais en sens inverse, un fil supportant une masse /n'. Calculer l'accélération du système. {Cf. Exercice résolu n" 2.)

7. On donne deux circonférences (] et C, de même axe A et de rayons

respectifs R et — Deux points M et M', de même masse, se meuvent sans

frottement, le premier sur C, le second sur C En outre, ils s'attirent proportionnellement à la distance MM'. Trouver leur mou\ement, en supposant qu'on les abandonne tous deux sans vitesse initiale et dans une position quelconque. Calculer la durée des petites oscillations. (Le, moment cinéti(|ue par rapport ',à A est nul. On en déduit |3 =r — l^a.^ en appelant a et ^ les angles polaires de M et de M' par rapport à des rayons parallèles, de direction convenablement choisie. On peut ensuite appliquer le théorème des forces vives, en remarquant qu'il y a une fonction de forces, qui. tous calculs faits, est proportionnelle à cos5a. On a un mouvement pendulaire.)

8. Pour mesurer la puissance d'un moteur, on adapte à une poulie

'Fig. 24.

calée sur 1 arbre un frein (dit frein de Prony) constitué par deux sabots S et S', que l'on peut serrer par des boulons les reliant l'un à l'autre. Le sabot inférieur S porte un bras Ali muni de crochets à ses

NOTIONS SIR LA DYNAMIQUE DES SYSTÈMES. Xil

deux, extrémités. Le moteur étant au repos et les boulons n'étant pas serrés, le bras AB est en équilibre dans la position horizontale. On fait tourner le moteur à la vitesse de N tours par minute, le frein ayant subi, au préalable, un certain serraiçe. Puis, on suspend au crocliet A un poids P tel que AB reste horizontal. Connaissant la distance i/des deux crochets, calculer la puissance du moteur. Application numérique :

N = ,',36, / = 5o^"\ P = 86kb'.

(Le moment résultant des forces de frottement est P/. Pour l'application numérique, on trouve environ 26 chevaux.)

9. Un moteur de 40 chevaux tourne à la vitesse de 280 tours par minute. Le mou\emenl est transmis par une courroie s'enroulant sur une poulie de Se'"'" de diamètre calée sur Taxe du moteur. Quelle doit être la largeur de la courroie si l'on veut que la tension par centimètre carré soit !!^o^s'! Lépaisseur de la courroie est de 7"""' et le rapport des tensions des deux brins est 2,2. (La plus forte tension est de 913*^0; la largeur doit être de 33'-™.)

10. La jante d'un volant a pour diamètre extérieur 2™, 20 et pour diamètre intérieur 2'^\ Son épaisseur est de 3o''™. Sa densité est -,8. Il tourne à i3o tours par minute. Calculer son énergie cinétique. Au bout de combien de temps et de combien de tours s'arrètera-t-il s'il est abandonné à lui même, en supposant que la seule résistance passive soit le frottement sur les coussinets. Le diamètre des tourillons est de 120™™ et leur coefficient de frottement sur les coussinets est 0,10.

11. On suppose que la bicyclette de l'Exercice résolu n°i descend une pente de 8 pour 100 et qu'elle a atteint sa vitesse limite. Le cycliste veut s'arrêter brusquement. Il exerce sur la jante de la roue arrière une pression de oo*^^ avec un frein dont le coefficient de frottement est o,25. Au bout de combien de temps et de combien de mètres sera-t-il arrêté? Même question, en supposant qu'il agit, en même temps et de la même manière, sur la roue avant. Quelle pression maximum peut-il exercer sur chacun de ses freins sans que les roues dérapent, en supposant que le centre de gravité du système tombe au tiers de la distance des deux rcjues, à partir dé la roue arrière? On fera le calcul avec un coefficient de frottement de la roue sur le sol égal à 0,6 (sol sec), puis à 0,10 (sol boueux). Calculer, dans chaque Cas. l'espace parcouru avant l'arrêt, en supposant un seul frein, puis deux freins. (Pour simplifier le calcul du temps d'arrêt, on pourra admettre que la vitesse V qtii donne la résistance R est la moyenne entre les vitesses initiale et finale. )

l32 CHAPITRE VU.

12. Démontrer que le moment cinétique d'un système par rapport au point fixe O est égal au moment cinétique de son centre de gravité, ou serait concentrée toute la masse, augmentée du moment cinétique par rapport à G, dans le mouvement autour de ce point (n° 97). ( Théorème de Kœnig. Faire un changement de coordonnées et écrire les composantes de ces difFérenls moments suivant les axes de référence.)

13. Démontrer un théorème analogue au précédent pour l'énei'gie cinéti({ue.

14. On fait un changement de Irièdre de référence. Démontrer que, si la vitesse relative de chaque point d'un système est perpendiculaire à sa vitesse d'entraînement, l'énergie cinétique absolue est la somme des énergies cinétiques relative el d'entraînement.

15. Calculer Ténergie cinétique d'un corps solide animé d'un mouvement hélicoïdal de pas/) et de vitesse de translation v. (Appliquer les Exercices 13 ou 14. )

16. Un obus de 76, pesant 7'^?,'25o, est lancé avec la jvitesse de 535™ par seconde par un canon dont les rayures sont inclinées de 7° sur les génératrices du tube. Calculer son énergie cinétique. Quelle serait la vitesse initiale si la même énergie était employée sur le même projectile, mais avec un canon lisse?

17. Un pendule est constitué par une sphère de 5*""' de diamètre, fixée à l'extrémité d'une lige de i™ de long et de 2'"™ de diamètre. Calculer la longueur du pendule synchrone.

18. Un métronome est un pendule composé, constitué par une tige supportant une grosse masse fixe située au-dessous de l'axe O de suspension el une petite masse mobile pouvant glisser le long de la lige, audessus de O. Soit X la distance de O au centre de gravité de la petite masse, l^our x= 20™™, le métronome fait 208 oscillations simples par minute et, pour ,c = i25""", il en fait [\o. Graduer le métronome.

I La longueur du pendule synchrone est de la forme — )

19. On veut mesurer le rayon de gyration d'un corps solide de révolulion par rapport à son axe. A cet efiel, on le fixe dans un cadre rectangulaire ABCD, de telle manière que son ave coïncide avec le côté CD. Puis, on fait osciller le cadre autour de l'axe AB maintenu horizontal. On compte 100 oscillations en 108 secondes. On fait ensuite osciller le

NOTIONS SLft LA DYNAMIQUE DUS SVSTKMES. l33

cadre seul el l'on compte loo oscillations en 74 secondes }. Calculer le rayon demandé, sachant que le cadre pèse luoos, le corps solide 228''s, que le centre de gravité du cadre est à 47'"'" de AH et enfin que BC := i"".

20. Démontrer que, dans un pendule composé, le frottement des couteaux sur les supports est sans inlluence sur la durée d'oscillation et ne fait que diminuer progressivement leur amplitude. (Si les oscillations sont petites, on peut admettre que le frottement exerce un couple constant. Ce couple a pour unique efiet de déplacer la position d'équilibre, vers la gauche ou vers la droite, suivant le sens du mouvement.)

21. Un moteur de puissance P est muni d'un système amortisseur constitué par des ailettes qui donnent un couple résistant proportionnel au carré de la vitesse angulaire. Etudier le mouvement du moteur, en

supposant qu'il part du repos. Calculer sa vitesse limite. (Le couple mo-

P teur est de la forme /. (.

22. Un arbre vertical, supportant une charge d'une tonne, repose sur une crapaudine de 80™'" de diamètre. Il tourne à la vitesse de i5o tours par minute. Calculer la puissance absorbée par le frottement, sachant que le coefficient de frottement du pivot sur la crapaudine est 0,10. (On supposera que la pression sur la crapaudine est uniformément léparlie et l'on calculera le moment des forces de frottement.)

23. Calculer le mouvement d'un cylindre de révolution homogène qui roule sur un plan incliné, ses génératrices étant horizontales, ou bien faisant l'angle o avec les horizontales du plan. (Théorème des forces vives. Appliquer l'Exercice 13.)

2t. Un disque plein homogène, de rayon r, roule à l'intérieur d'une circonférence, de rayon R et de plan vertical. Déterminer son mouvement; calculer la longueur du pendule synchrone. (Forces \i\es.)

25. Un fil rectiligne en acier, de longueur /et de rayon /', est encastré dans un étau à l'une de ses extrémités. A l'autre extrémité, il est encastré dans un corps solide S, qui pendlibrement au bout du fil. Si Ton impose à ce corps solide une rotation de l'angle 9 autour de la \erticale, la réaction du fil donne naissance à un couple dit couple de torsion, de sens

1 ■ I / I \ ôooot:/'* ,, inverse a la rotation et dont la \aleur (en kg x mm) est 7, en

supposant / et /• évalués en millimètres el 9 en radians. Déterminer la loi

l34 CHAPITRE VII. — NOTIOXS SUR I.A DYNAMIQUE DES SYSTÈMES.

des oscillations que prend S si on l'abandonne sans vitesse initiale à partir d'une Aaleur quelconque de l'angle de torsion. Calculer la durée d'une oscillation. Application numérique :

rayon de gyration de S ^ 5'""-, poids de S = i8''S.

26. Un arbre de transmission, en acier, de 5o™™ de diamètre, porte deux, poulies distantes de 4""- Sur lune s'exerce le couple moteur et sur l'autre le couple résistant. La puissance transmise est de 80 clievaux et l'arbre fait 750 tours par minute. Calculer l'angle de torsion entre les deux poulies, en admettant la formule donnée dans l'exercice précédent pour le couple de torsion.

27. Calculer la loi suivant laquelle varie la torsion de l'arbre précédent, en supposant que le couple résistant varie suivant la loi

C = Ci, + fi sinoj t,

Co désignant le couple moteur. Quelle est la valeur critique deoj qui donne lieu à la résonance (n° 91) des vibratious torsionnelles? On appellera 1 le moment d'inertie de chacune des deux poulies et l'on négligera l'Inertie de l'arbre. (Ecrire séparément l'équation du mouvement de chaque poulie sous l'action du couple moteur et du couple de torsion.)

LES UNITÉS EN MÉCANIQUE

EXERCICES RESOLUS

1. Le moment d'inertie cl' un lore de masse spécifique ij. et dont le, cercle générateur a pour rayon \K el a son centre à la distance a de l'axe est donné par la formule

( I ) I = ij--' Y^'-aUa^ + - W

Calculer, en kilogrammètres, en ergs, en joules, en kilnjoules, les énergies cinétiques des deux tores suivants, tournant chacun autour de leur axe à N tours par minute :

(1) « = i'^,2o, R^iS'™, N = 45;

( II) a =: 65™™, R = 4""", ^^ = I i5o. Densité commune : 7,8.

Calculer, en chevaux, en watts, en kilowatts, en poncelets, la puissance moyenne d'un moteur qui les arrêterait, suivant un mouvement uniformément retardé, en 10 secondes. Evaluer, dans chaque cas, le couple résistant en ergs, kilojoules et kilogrammèlres, ainsi que la force en dynes, sthènes et kilogrammes, qui produirait ce couple, en la supposant tangente au parallèle maximum du tore.

Etablissons d'abord les formules générales. L'énergie cinélique est

0) désignant la vitesse angulaire en radians par seconde. La puissance moyenne d'un moteur qui absorbe cette énergie pendant le temps t est

l36 CHAPITRE VIII,

Le couple résistant (qui est constant) a pour valeur

Enfin, la résistance tangentieile appliquée à la distance jc est

Toutes ces formules supposent qu'on emploie uniquement des unités absolues appartenant à un même système, lequel peut être choisi arbitrairement. Choisissons, par exemple, le système C. G. S. Nous transformerons ensuite les résultats suivant les unités praticjues demandées.

Nous avons d'abord

^ = ^=7,8; jiuis,

a = \20. R = l5; a'=r6,5, R'rr:o.4,

en désignant par des letties accentuées les éléments relatifs au second tore. La formule (i ) nous donne alors

] érijions l'ordre de grandeur. Dans les deux, cas, on peut négliger le second terme de la parenthèse. Si nous remplaçons /jl par 8 et t:- ])ar lo, nous avons à peu près

I=ri6oK2rt3^

soit, en prenant R ::= 20, a = 100,

et, en prenant R' = -> a' = 6,

< )n retrouve bien des valeurs du même ordre que les valeurs (6). Nous avons ensuite

Portons dans (2),

(8j E==673XIo'^ E' — 491x10-' {en ergs).

LES UNITKS EX MECANIQUE. 1^7

\ érilions l'ordre de i^randeiir. Il suffit de remarquer que — est à peu

près égal à lo et — à peu près égal à 7 x 10^ et de remplacer I'

par - X io\

Four avoir les valeurs de E et de E' Qn joules, il suffit de diviser les précédentes par lo". ce qui donne E:zz 67200 elE'=4î9i- Les valeurs en kilojoules sont encore 1000 fois plus petites : £ = 67,2; E'=:o,oo49i.

Le kilogrammèlre valant 9,<Si joules, les valeurs en kilo^rainmètrea sont 9.81 fois plus petites que les valeurs en joules, soit E = 684o et E'i= 0,5.

On peut aussi passer des valeurs (8) en C. G. S. aux valeurs en M. K. S. en utilisant le symbole de dimensions de 1 énergie ML-T~- et prenant

M =: -— — , \,z=.io"-: d'où ML-T"-= — -— -

gbio ' 9,8i

Il suffit, pour avoir les nouvelles valeurs, de multiplier les valeurs (8) par ce nombre, qui est à peu près égal à io~*. Gela nous vérifie immédiatement les ordres de grandeur des nombres trouvés ci-dessus.

Galculons maintenant P par la formule (3). Nous devons prendre t^io. En prenant les valeurs de E et de E' en joules, nous obtenons les puissances en watts :

En kilowatts, les puissances sont looi» fols plus petites, soit 6.-i et 4 -9' X io~^.

Les puissances en chevaux s'obtiennent en divisant les énergies évaluées en kilograramètres par 75^1=750, ce qui donne P::=9,i et