I .JOO
Les puissances en poncelets s'obtiennent en divisant les mêmes
nombres par 100/ := 1000, ce qui donne P = 6,8 1 et P'=:
Le couple G nous est ensuite donné parla formule (|), en prenant
— =: 20 ,*) et = O02 ,0.
En prenant les valeurs (8), on obtient les couj)les en (>, G. S., c'està-dire en e/A'.v •"
(10) G = 284x10% G'=Si.O(M..
En AL T. S., c'est-à-dire en Idiojoules. il faut diviser par 10'", ce qui
CHAPITRK VIII.
donne •2.S-'\ et 8, i5 X io~''. En M. K. S., cesl-à-dire en kilograniniètres. il sufTit de partir des valeurs de E et de E' en kilogrammèlres, ce qui donne C =: 290 et C':= 8,3 X lO~*.
Enfin, appliquons la formule f5). en prenant, en C G. S.,
(11) a:=i35, ,r'=ir(),9.
Nous avons, en dynes :
(12) F = 2ixio', F'=rii8oo.
Les valeurs en sthènes sont 10* fois plus petites, soit 2. i et 1 , 18 x 10-*. Enfin, les valeurs en kilogrammes peuvent se déduire des couples en kilogramraètres, x et ic' étant évalués en mètres, soit
(i3) . ^:=i,35 et .r'=:o,o69.
On obtient ainsi
(i4) F=r2i4''S, F' =z o*^-^'. 012 =r 12 grammes-poids.
Au lieu de prendre le système C. G. S. comme système fondamental. on aurait pu prendre le système M. K. S. Faisons, par exeni[)le, le calcul direct de E en kilogrammèlres. On a
La formule (i) donne (i5) I = Gi5.
Perlant dans (2), on trouve
Er=684o,
c'est-à-dire la même valeur que tout à Theure.
EXERCICES PROPOSÉS
1. Vérifier l'iiomogénéité des formules (32) et (34) du Chapitre V,
(ûj, (7), (9)> ('4), iiG), (33), (02). (70), (-5), (80), (9..) du Chapitre M.
2. Calculer les symboles de dimensions de la fré(|uence d'un mou- ^
veinent vibratoire, des coefficients k et a de ré(|uation (06,) du Cha- i pilre M. V
LES LXITÉS EN MÉCANIQLE. I Sg
3. Calculer les dimensions de la constante/ de la gravitation (n° [)'.]), Sachant que/=r6,()5 x lo-», en C. G. S., calculer les valeurs dans
les syslèmes M, T. S. et M. K. S., ainsi que dans le système qui consiste à prendre pour unité de longueur la dislance de la Terre au Soleil, soit 149^5 X lo'"' km. pour unité de temps l'année julienne et pour unité de masse la masse de la Terre. (On donne la densité moyenne de la Terre : 5 , 5.)
4. Lne tige cylindrique de longueur / et de section s s'allonge de la
longueur ^ quand on la soumet à une traction P. On appelle module
d^élasticilé la quantité E= — • Calculer son symbole de dimensions.
SJC ■'
Sachant que. pour un fil d'acier, E= 28000, si 5 est évalué en millimètres carrés et P en kilogrammes, calculer la valeur de E dans les systèmes C. G. S.. M. T. S. et M. K. S.
o. Une poutre, de longueur /, encastrée à ses deux extrémités, soumise à une charge uniformément répartie égale à/) par unité de longueur, fléchit en son milieu de la quantité
'' ~ 384 El '
E désignant son module d'élasticité {cf. Exercice précédent) et I le moment d'inertie de sa section droite par rapport à un axe passant par son centre de gravité et perpendiculaire au plan de flexion, en supposant la densité superficielle égale à i. Vérifier Ihomogénéité de cette formule. Calculer la flèche dune poutre en chêne, de 4'" de long, dont la sectioii droite est un rectangle de iS*^™ et 20"" de côtés, le petit côté étant perpendiculaire au plan de flexion, la charge totale étant de rooo'^s. On donne le module d'élasticité du chêne Ezz:ii-u, l'unité de longueur étant le millimètre.
{). L'allongement d'un lessort à boudin est donné par la formule
57rn Pr^
où n désigne le nombre de spires, r le rayon du cylindre qui contient les centres de gravité des sections droites du ressort, P la traction et l \q inomenl d' Inertie polaire de la section droite, c'est-à-dire le moment d'inertie de l'aire de cette section par rapport à son centre de gravité, la densité superficielle étant supposée égale a 1. \crifier riiomogènéité de cette formule. Calculera: pour un ressort de 10 spires constitué par un
1^0 CIIAPITRK VIII.
fil cylindrique en acier de 6'"™ de diamètre, le ravon /• étant égal à 35'"'" et la traction P égale à 4o''s. (E:= 28000, si l'unité de longueur est le millimètre et l'unité de force le kilogramme.)
7. Si le re-sort de l'exercice précédent est soumis à un couple de torsion égal à C, l'angle de torsion est, en radians,
Vérifier l'homogénéité de cette formule. Calculer Tangle de torsion en degrés pour l'application numérique de l'exercice précédent, en supposant que le couple C est produit ])ar une force perpendiculaire à l'axe du ressort, située à lo*""' de cet axe et égale à lo""?.
8. Quelles sont les dimensions du coefficient /. de la formule (10) du Chapitre VI '? Calculer sa valeur en C. G. S. et en M. T. S. en partant des valeurs numériques données au n° 78.
9. Ecrire la formule (i) de l'Exercice résolu n° 2 du Chapitre V successivement dans les systèmes C G. S.. M. T. S., M. K. S.
10. On admet que les résistances passives pour une automobile de poids P en kilogrammes, de surface normale à la vitesse égale à S en mètres carrés et enfin de vitesse v en mètres par seconde, ont une résultante égale à o,oo2r)P r + 0,09 Se-. Une voiture de 16 chevaux pèse gSo'^f^'. Sa surface S = !'"%•?,. Calculer sa vitesse en palier et dans une rampe de 8 pour 100, en kilomètres à l'heure.
11. Le piston d'une machine à vapeur a 21.")"^"' de diamètre et 420""" de course. La pression moyenne de la vapeur dans le sens du mouvement est en excès de a'^s^S par centimètre carré sur la pression exercée sur l'autre face du piston. Sachant que la manivelle fait l'iT) tours par minute, calculer la puissance de la machine en chevaux et en kilowatts.
12. La puissance en chevaux d'un navire de T tonnes dont la \ itesse
«5-1 de II nœuds est donnée par la formule empirique P ==: AI'-' «•', J{ étant une constante à peu près égale à o,c)o42i. Quelles sont les dimensions de celte constante'? Que devient-elle si l'on évalue P en kilo\\atts et n en kHomètres à l'heure? (La vitesse de i nœud est de i mille marin à l'heure; le mille marin a aut 1855"".)
13. i*our mesurer la puissance d'une machine à vapeur, on se sert du
LES XJNITÉS EN MÉCANIQUE. l4l
diagramme indicateur de Watt^ obtenu eu portant en abscisse la course du piston et en ordonnée la pression effective, c'est-à-dire la diUérence de pression sur les deux, faces du piston. On mesure l'aire comprise entre l'axe des x et le diagramme, à l'aide d'un planimètre et l'on trouve 1465™"^'. Quelle est la puissance de la macliine, sachant que la manivelle fait iio tours par minute, que le diamètre du piston est de ySo""™ et que les échelles du diagramme sont de i'""" pour i'^'" de course et de 2 "" pour une pression de l'^s par centimètre carré.
li. Calculer l'énergie cinétique due au mouvement de translation de la Terre autour du Soleil, l'énergie cinétique due à son mouvement de rotation sur elle-même et enfin son énergie cinétique totale (théorème de Kœnig, Chap. VII, Exercice proposé n" 13). On évaluera les résultats en kilogrammètres, en kilojoules et en kilowatts-heure. (Pour les données numériques, voir Exercice n" 3.)
1.5. Le pied anglais vaut environ SoV"*" et la livre vaut environ 453^,6. Le pied étant pris pour unité de longueur et la livre-poids pour unité de force, calculer g, la constante / de la gravitation, la constante A de la résistance de l'air [cf. Exercice n° 8), le module d'élasticité E de l'acier {cf. Exercice n° 4), le kilogrammètre, le joule. Sachant que le cheval anglais (HP) vaut 55o livres-pieds, calculer sa valeur en kilofframmètres.
EXERCICES RÉSOLUS
1. Une hélice à axe vertical tourne autour de son are avec une vitesse angulaire constante. Un point pesant peut glisser avec frottement le long de cette hélice. Trouver la condition d'équilibre relatif.
Nous commencerons par observer que la condition cherchée est, a priori^ indépendante de la position M du point sur l'hélice, car si l'on change cette position, les forces gardent la même grandeur et la même position par rapj^ort à l'hélice. Pour faciliter les calculs, prenons pour axe des ;: l'axe de l'hélice orienté vers le bas. pour axe des x le rajon du cylindre rectifiant qui aboutit en M et un axe des y perpendiculaire.
Par rapport à un Irièdre de référence invariablement lié à l'hélice, les forces appliquées au point M sont, outre la réaction, son poids (o, o, nig) et la force centrifuge (mco^U, o, o), en appelant R le rayon du cylindre rectifiant. Pour qu'il y ait équilibre, il faut et il suffit que la résultante de ces deux forces fasse un angle inférieur à l'angle de frottement a\ec le plan normal ou, ce (|ui revient au même, un angle a
supérieur à o avec la tangente. < )r, les cosinus directeurs de cette
résultante sont
oj2R g
\/^y'W' + g' \Uy'W'-^g-^
Ceux de la tangente sont n, sinV, cos\, en appelant V Tangle constant sous lequel l'hélice coupe les génératrices de son cylindre rectifiant. ( )n a donc
i; cosV
STATIOUE. 143
La condition d'équilibre est
cosa <: cos( — — 9 ) = sincp,
- .A'-'-cos-^V p
ou, en résolvant par rapport à
ÙO,
(3) oy>-^(^—:^ snvV
Pour qu'il y ait équilibre, il faut et il suffit que la \ itesse angulaire dépasse une certaine limite. Cette limite est d'autant plus grande quey est plus petit. Quand il n'y a pas frottement, elle est infinie et l'équilibre est impossible; ce qui est, du reste, évident a priori^ car, la force centrifuge étant normale à l'hélice et la pesanteur lui étant obli([ue, il est impossible que la résultante soit normale.
La condition (3) est remplie quel que soit oj, si tangV>> -• En particulier, cette dernière inégalité est la condition d'équilibre lorsque l'hélice ne tourne pas. Elle est analogue à la condition d'équilibre du plan incliné.
'2. Un plan P tourne uniformément autour de la verticale O5, avec laquelle il fait V angle 0. Tromper la région d''équilibre relatif d''un point pesant M, qui glisse avec frottement sur ce plan.
Prenons pour origine le point de rencontre de P avec l'ave 0-3, lequel est supposé orienté vers le haut, le plan des zx étant par ailleurs perpendiculaire à P, de sorte que ré([uation de ce dernier plan est
(i) J7 == :: tang9.
Gomme dans l'exercice précédent, nous allons écrire (jue la résultante de la force centrifuge et de la pesanteur fait avec la normale à P un angle inférieur à l'angle de frottement. Soient (a;, >', z) les coordonnées de M. Les composantes de la résultante sont, au facteur ni près, w-.r, c.)- K, — g- Les cosinus directeurs de la normale au plan sont cosô, o, — sinô. La condition d"é(|uilibre est donc
(c)-^ cosÔ -f- ,:,' sinÔ)- r
ou
(2) w^[.î:-(sin=(5 — /2 cos-9) + j-] — 2(1 -h f-)t.o^gcc ^iu9 cosQ
+ g-^{cos-9—psin-d) < o.
Celle inégalité nous définit la projection horizontale de la région d'équilibre. La courbe limite est une conique C. «lui admet pour axe 0.z', les sommets A et A' de cet axe avant pour coordonnées
g (i +/-) sin 5 cosO ±/
La conique est une ellipse, une hyperbole ou une parabole, suivant que tang(3 >/, <;/ou =/. L'origine appartient à la région d'équilibre,
si tang6'>- -> ce r|ui est. du reste, évident a priori, car, en ce point, la
force centrifuge est nulle et l'on retombe sur l'équilibre ordinaire d'un point pesant sur un plan incliné. On peut remarquer aussi que le point à l'infini sur Oy n'appartient jamais à la région d'équilibre, ce qui est non moins é\ ident a priori, car la résultante des deux forces est dirigée suivant cette ligne el, par suite, se trou\e dans le plan P, quand M est dans celte position, et cela est incompatible avec l'équilibre, si graiitl que soit le coefficient de frottement.
En nous bornant au cas où le coefficient de frottement est <C i • b' figure 25 nous montre la région d'équilibre (en projection horizontale, région non hachurée) dans les quatre principaux cas.
Signalons encore les cas particuliers suivants :
