I : /'=zo. — L'inégalité (2) s'écrit
(4) (o)2.r sin 0 — gco-^O)--]- oj'j-^o. L'égalité seule peut a\oir lieu, pour
tr
(5) y = o, X- z= — coiO.
II n'y a qu'une seule position d'équilibre, située sur la projection
de O: sur P. Il était d'ailleurs facile de l'obtenir directement, en écrivant que la résultante des deux forces est perpendiculaire au plan.
II : 6= — • — Autrement dit. V est perpendiculaire à (Jz. L'inégalité {■2) de\ ient
(6) roi(j^2^y-2) „y2<„
La région d'équilibre est un cercle de centre O et de rayon '—^, ce qu'il
fi)'
serait également très facile de trouver directement.
3. On donne trois points fixes A, B, C, formant un triangle équilaléral de côté 1 et trois points libres M, i\, P qui s'attirent niutaellenient suivant une force égale à la distance. De plus, A, B, G attirent respectivement M, j\, P suivant des forces égales aux distances AM, Bj\, CP. Trouver la position d^ équilibre du système. Dire si elle est stable. {Certificat de Mécanique rationnelle, Glermont-Ferrand, juin 1914; extrait du Calcul pratique.)
Prenons l'origine des coordonnées au milieu de AB, Taxe des .r suivant OA et l'axe des y suivant OC. Soient (-^i.jKi)! ("^"21/2)5 (-^s^JK-i) '^^ coordonnées inconnues de M, .\. P. Ou peut obtenir les équations d'équilibre, en écrivant que la résultante des forces appliquées à chacun des trois points a ses deux projections nulles. On obtient ainsi six équations, desquelles on peut tirer ensuite les six inconnues .r,, ..., v';j. On peut aussi remarquer que /e^ /o/'ce? appliquées au système dérivent d'une fonction de forces,
L = — i ( A iVP + B N- + CP^ + NP^ + PM2 + MN^ )
(r) U=:- l[{x,-ir--^y\-^{x,-^iY-\-yl + xl-\-{y,-\JlY
+ (a-3— J"2)'+( Js — ^Vo)-+(j:, — .rj)-
On a les six équations d'é(iuilibre en annulant ses six dérivées partielles par rapport à a:,, . , ., y^. On obtient ainsi le système
(2) 3^1 — a;', — ^;j — 1 = 0, Zx^ — x^ — ,r,4-i=o, 3.rj — ,/•, — x.^-=i'\
(3) 3r,-r, — /3=o, 3j,— r,— /, = o. 3,r,-y,-7,— \/3 = 0. En ajoutant les écjuations (2), on a
Haag. — Exercices, III. '••
l46 CHAPITRE IX.
puis, en ajoulanl (4) successivement à chacune des trois équations (2), il vient
(5) j-i=y, x,= — -J1 a;3=ro.
En opérant de même sur le système (3), on trouve
Nous avons finalement les' coordonnées des positions d'éijuilibre. Le
point P, par exemple, se trouve sur Oj et, en appelant G le centre de
gravité- de ABC, on a
