NOTIONS SUR LA DYNAMIQUE DES SYSTÈMES. I

de moiaeiuent du système sur un axe fixe est égale à la projection sur cet axe de la somme géométrique de toutes les forces aop liguées au système.

Ce théorème est susceptible d'une autre interprétation. Introduisons les coordonnées (;, V), 'Ç) du centre de gravité G du système. Si M désigne la masse totale Sm, on a (t. I. n° 181)

(3) M; = S ma;.

En dérivant deux [fois par rapport à /, et portant dans (2), il vient

et les égalités analogues relatives à Oy et à O^. Ceci nous donne les équations différentielles du mouvement du point G, affecté de la masse M et nous permet d'énoncer le théorème suivant :

Théorème (dit du centre de gravité). — Le mouvement du centre de gravité cV un système est le même que si l'on )' concentrait toute la masse du système et si Von y appliquait toutes les forces appliquées aux différents points du système.

Ces deux formes différentes d'une même proposition sont également utilisées dans les applications. On emploie de préférence la première xjuand on s'aperçoit que certaines parties du système ne donnent que des termes constants dans la projection de la quantité de movnemenl ; ces termes peuvent alors être négligés dans l'application du théorème, puisque leur dérivée est nulle. C'est ainsi que l'on procède dans un grand nombre de raisonnements élémentaires d'Hydrodynamicjue. On emploie, au coxitraire, le théorème du centre de gravité, lorsqu'on attache de l'importance à la connaissance du mouvement de ce point, ainsi qu'il arrive, par exemple, pour les corps solides.

9(5. MoMiîNT CINÉTIQUE. — Oïiixppelie i/iomcn t ciné/ iq uc du S vst c/ue

par rapport au point O la somme géométrique OK des moments cinétiques de tous les points du système (n*^ o9) ou, ce qui revient au même, le moment résultant de tous les \ecleurs quautiti- de mouvement par rapport à O.

De même, on appelle moment cinétique par rapport à un

I lO CHAPITRE VII.

axe Oc le moment résultant des quantités de mouvement par rapport à cet axe.

Si l'on applique le théorème III du n" 59 successivement à tous les points du système et qu'on ajoute toutes les éi;alilés géométriques obtenues, on aboutit à la proposition suivante :

Théokkme (dit du moment cin('lique). — La dérn\'e géométrique, par rapport au temps, du moiiient cbiétique 0¥>. par rapport à un point fixe O est équipoUenle au moment résultant ., par rapport à O, de toutes les forces appliquées au système.

Il équivaut de dire que la vitesse du point K est équipollente et ce moment résultant et aussi que la dérivée du nwment cinétique par rappoit à un axe fixe est égale au moment résultant des forces par /apport à cet axe.

97. Il iniporle de se rappeler que les moments doivent être pris par rapport à un i)o\nl Jixe O. On peut se demander toutefois ce que devient le tliooréme quand on prend les moments par rapport à un point mobile O'. D'une façon plus précise, imaginons qu'on prenne un nouveau trièdre de référence O'xjz parallèle au premier et d'origine O'. On obtient un nouveau mouvement, qu'on appelle, pour abréger, le mouvemetit du système autour du point O'. Dans ce mouvement, nous pouvons évidemment appliquer le lliéorème du moment cinétique par rapport au point O', puisque ce point est maintenant fixe. Mais, il faut bien prendre gajrde que les forces ne sont plus les mêmes.

Si Y est le vecteur accélération de 0' par rapport à l'ancien trièdre, à cliacjue

> point M du système doit être ajoutée la force d'entraînement — ///y

( n" 48). Ces forces doivent intervenir dans l'évaluation du moment résultant par rapport à O'. Or, elles constituent un système de vecteurs parallèles, lequel est équivalent, au point de vue de la tbéorie des moments, à un vecteur unique (t. J[, n° l'a?). L'origine de ce vecteur uni(|ue est le centre des distances proportionnelles des points M ail'ectés de coeflicienls proportionnels aux forces — ni'( ou, ce (|ui revient au même, proportionnels aux masses m. C'est donc le centre de gravité G. On en conclut que, si l'on prend O' en Gel

dans ce cas seulement, le moment résultant des forces — m-^ est nul et, pinsuite, le moment résultant des forces relatives au nouveau trièdre de référence coïncide avec le moment résultant des forces relatives à l'ancien trièdre. D'où le tliéorème suivant :

Tiii;o«i;MK. — On pcitl ajiptiquer le ttiéarènie du uio//ieut c/né/i(/ue (^ \ ('j Ce iMOinenl ciiiiititpie doit être éviilué, d'après la démonstration ci-dc^sus, en