AC
(3j ^ = — R cosC -4- -^^ cosA 4- Q :=:< ) I H ; 7--COIC
6 \ b AC
en désignant par C et A les angles ACD et IIAB et en tenant compte de (I) et de la relation évidente
(\\ AF = ACsinC.
P) \i)us admettons (|ue le inoiiient de la rùailimi du [k iiil A est nul;- ceci csl pertiiis, parce que nous supposons que la barre AB est arliculée en A, c'est-à-dire qu'elle peut tourner librcinenl autour rie ce point. Si elle était, au contraire, encastri'C dans ()A, les réactions clasliques dcvcloi)pcraieiit un couple de flexion, qui de\iMit entrer dans notre équation des moments.
lo) CllAIMTRE X
Si nous considérons maintenant la barre AE, elle subit, en A et E, des réactions égaies et opposées, ainsi quon le voit en répétant le raisonnement fait pour CD. Soit T la réaction en A, comptée positivement suivant EA. cest-à-dire si la barre est tendue. Appliquons les équations universelles au système formé par toute la grue, à rexcP])l!on de la barre AE. Prenons d'abord les moments par rapport à O, en remarquant que la réaction en O a un moment nul, puisque nous avons une articulaliou :
(^> X Bll^TxOî;
doii
Nous obtenons un résultat positif; donc la barre AE est tendue.
Si nous projetons maintenant sur Ox et Or, nous obtenons les c tnposanles de la réaction de O sur OA :
(6) x'=TcosE = Q.^,
(7) V^Q + TsinEr^of. + J^j.
Il nous reste à calculer les tensions des tiges AB et OA, Sur I)B, nous ai'ons une compression, ([ui est la somme des projections des tensions du câble sur BD, suit
(8 ) C = O cos.\ + ^•
Sur AD, nous avons la force précédente, diminuée de la projection de K sur AB; cela nous donne une tension
(q) T'= HcosD — OcosA — -^•
Comme vérification, elle doit être égale à la projection de la réaction (X, Y) sur DA, soit — X sin A — Y cos A. C'est ce qu'il est aisé de constater, en observant que A — C r^ D.
Il convient de remarquer que la barre ^Jâ n'est pas seulement soumise à des ejforts longitudinaux, mais aussi à des efl'orts tranchants et à des moments fléchissants {cf. Exercice proposé n" 45).
La compression sur AC est la somme aljrébri([ue des projections sur AC de la tension T de AE, de la réaction de AB et de la réaction de
Al'IM.ICATlONS TIF. !.A STATIQLIi. l83
la poulie, soit
(lo) C' = TsinEH-Y + ^(i — cosÂ) = gx rT7 + '^ + ^(i cosA;.
La compression sur TC esl égale à la inécédente augmenlée de la projeclion de R, soit
iii) C"= C'-i- R cosC.
Enfin, la compression sur OT est égale à (V ^, car la réaction du
tambour T a pour cooiposante verticale la tension du brin AT; nous négligeons, d'autre part, la force appliquée à la manivelle. Comme vérification, cette dernière compression doit être égale à la composante Y' de la réaction en O. C'est ce que le lecteur vérifiera aisément, en se servant des formules (i), (3), (-).
Piemarquons enco,re que, dans ses diflerentes parties, O V esl soumis à des efforts tranchants et à des moments fléchissants.
Nous avons maintenant les formules donnant les efforts demandés; il ne nous reste plus qu'à faire les calculs numériques.
Le triangle ACD, dont on connaît les trois côtés, nous donne
cosAr=^ """'^ ~;^'? :=o,524. sinA = o,85'i, A = 58°.>V: •2X3,5x4,0
puis
BH = 6 sin A ::= j , 1 I ; puis
sin C = sin A —^ = 0,548, C^So'^iS', cosC = o,83j;
AF = 3,5 X o , 548 = I , g-i.
K =: 10000 = :ib70o"?.
Portant dans (i), il vient
26'- La section de CD doit donc a\oir une aire au moins éiiale à — r^ =: /iS*^"'.
Les formules (2) et (3) nous donnent ensuite
X = — 10 000 ( 1.46 — o , 1 4 0 = — '3 •îoo'^P, Y = — 22400 + 870 -f- 10 000 = — II Soo'^p.
Le triangle rectangle <>AE nous donne ensuite
l84 CUAl'lTRE X.
PorlaiU dans (5), on trouve
rr 5,iiXV''4' ,. , ,...
1 = loooo = ib^oo'^-.
I fi '' La section de AE doit èlre de — r- = 28^^'"'.
Les formules (6) et (7) donnent ensuite 5 I r
X'nriOOOO— ^z — =:r IO?.Oo'^S, Y'= 22 Soo'^S.
La formule (8) nous donne 0=^:6900'^?. La section de DB doit avoir au moins 12*"''.
L'angle D = A — C = 25° II';
COsD=: 0,905. R COSD r= 24 100, T'^ri^aoo.
La section de AD doit avoir au moins 29'"'"',
Ces deux sections devraient d^ailleurs cire augmentées, surtout au voisinage du point D, pour tenir compte des efforts de flexion.
I^es formules (10) et (11) nous donnent ensuite
C'=2ioo'^5, C"=245oo'^5;
et enfin la compression sur OT est
C"'=22 8ooH' = Y'.
Les aires des sections doivent être au moins égales respectivement à 4""', 4i'^'"\ 38''"'. Elles devraient d'ailleurs être majorées pour tenir compte des efforts de flexion.
3" Le moment de la charge S demandée par rapport à O doit être égal au moujent de Q. Donc
2S = 5,iiQ, S=:256oo'<s, soit 26 t.
EXERCICES PROPOSÉS
1. Une soupape de sûreté a 65"'™ de diamètre et pèse 2''e,5. (^)uand la pression dépasse "y^^ par centimètre carré, elle doit soule\er un levier horizontal pesant 6'^?, dont le point fixe O est de 60""" à droite du centr(t de la soupape et dont le centre de gravité est à So"""' à gauche de U. Quel poids doit-on fixer au levier, à 70"" à gauche de O?
2. Le pèse-lellre représenté par la figure 87 est constitué par un le\ier
APPLICVTIONS 1)K \.\ STATIQUE. l85
coudé ABC, dont le point fixe est B. Le plateau Iv est solidaire de la lige AF, qui demeure verticale, grâce au parallélogi-ainme articulé AI'IIB. Le levier entraine un arc de cercle CD, terminé par la masse E et portant une graduation, qui se déplace devant l'aiguille / fixée au sup-
port BL. Quand le plateau est vide, l'aiguille est au zéro. Quand on met un poids P, l'aiguille se trouve devant la division P, telle que l'angle OBP soit droit. Connaissant ce poids P, peut-on graduer l'appareil ? Etablir la formule générale qui donne l'angle OBp en fonction du poids p. Calculer la sensibilité du pèse-lettre en fonction de p et étudier ses variations quand p croît de o à P. Déterminer la constante de l'appareil jîour ([ue la sensibilité soit la même aux deux extrémités de la graduation. Montrer que la graduation est alors symétrique par rapport à son milieu.
Si 9 désigne l'angle OBp, on a col5 r= A h > A et B désignant deux
