I.EVÉS

Table des Cordes de 10 en 10 de crade, depuis o*. jusqu à 1 35 ‘. , pour un rayon Sfjal à 10000 .

AD GONIOMÈTRE.^ j3

Table des Cordes de grade en grade , depuis 1 35 ! . jusqu’à aoo £ . , pour un rayon égal à 10000.

L’étendue que nous avons donnée à cette table nous paraît suffire aux besoins ordinaires qu’on peut en avoir ; car il sera toujours préférable de se servir des tangentes ou cotangentes naturelles, quand on voudra opérer avec beaucoup d’exactitude. Les longueurs des cordes y sont exprimées ,en dix millièmes du rayon.

21 . On se servira de cette table des cordes comme de celle des lignes trigonométriques naturelles, c’est-à-dire que l’on prendra les longueurs du rayon des cordes et de celle de ces lignes relative à l’am-j plitude donnée, sur une échelle de parties égales, pour opérer ensuite comme il a été dit à l’article I du I". §.

III”. §. Usage (C instrumens spéciaux pour rapporter un angle d'une amplitude numérique donnée.

Art. I. Règles divisées suivant les valeurs des lignes irigonomé triques naturelles et des cordes. ,

22. Parmi les instrumens spéciaux dont on peut se servir pour rapporter, sur le papier, les angles

dont l'amplitude est donnée, les règles en question ne doivent pas être dédaignées. On conçoit en effet que si sur la face , ou mieux sur les bords d’une règle et à partir d’un même point, on marque les longueurs d’une même ligne trigonométrique de dixième en dixième de grade, par exemple, cette règle dispensera de prendre, à chaque fois, sur une échelle de parties égales, les longueurs données par les tables. Une règle ainsi divisée sur ses bords sera une espèce de table graphique, traduction de celle écrite.

L’usage de ces règles est donc entièrement semblable à celui des tables numériques des lignes trigonométriques naturelles auxquelles elles se rapportent ; nous n’ajouterons donc rien de particulier, puisque le lecteur peut trouver facilement lui-même tout ce que nous pourrions lui dire. Les figures 5, 5' et 5", représentent les trois faces d’une règle trigonométrique triangulaire.

Art. II. Du rapporteur circulaire centésimal, et manière de s'en servir.

23. Le rapporteur circulaire centésimal , à l’usage des topographes, est une plaque de corne mince et transparente , dont un des bords est dressé suivant une ligne droite a'b',Jig. 6, parallèle à la ligne ab, diamètre du demi-cercle adb , qui forme le reste du contour de la plaque mentionnée. Ce demi-cercle, auquel on donne ordinairement o m ,i de rayon, est divisé en demi-grades, que l’on numérote de dix en dix, presque toujours de gauche à droite, le zéro étant en avant de l’observateur.

La graduation commence donc au premier rayon

AO GONIOMÈTRE.' ' l5

ca du rapporteur, et s'étend depuis zéi’o jusqu'à too grades dans le premier quart de cercle acd; après quoi la graduation recommence et court dans le second quart de cercle dcb du rapporteur , depuis le rayon cd, perpendiculaire à al), numéroté i oo 8 pour le premier quart et zéro pour le second , jusqu’au fermer rayon cb, numéroté ioo 6 .

On donne ordinairement o m ,oi de largeur à l’espèce de règle aba'b' .

24. Supposons que l’on doive conduire par X extrémité inférieure M,fig. 7, de la droite MN , une autre ligne faisant avec elle un angle de 60 grades, par exemple, comptés de droite à gauche.

On appliquera le rapporteur adb sur la feuille de papier où est tracée la ligne MN , de manière que son centre c et la division numérotée 60 se trouvent sur la ligne mentionnée , et la règle de l’instrument vers le point M de cette ligne. Le bord a'b' de cette règle ne passera pas généralement par le point M ; mais on pourra toujours faire glisser le rapporteur, et ramener a'b' au point M, tout en laissant le point c et la division 60 sur MN. Alors on passera le crayon le long de la règle Ma', dans le sens du premier rayon du rapporteur, et il est évident que l’on tracera ainsi la ligne demandée. Car d’abord elle passera par le point M, et comme elle est parallèle à ca et que le rayon c 60 se confond avec MN, il s’ensuit quelle fait avec MN le même angle que ca avec le rayon c 60, c’est-à-dire un angle de 60 grades.

11 est évident que tant que l'angle assigné sera plus petit que 1 00 grades , il faudra toujours chercher dans le premier quart de cercle acd le rayon à

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faire coïncider avec la ligne donnée MN, et tracer sur le papier la ligne Ma' indiquée par le premier rayon du rapporteur.

25 . SU angle assigné est plus grand que 100 grades et moindre que 200, sans s’inquiéter de la centaine de grades , il faudra chercher le rayon mentionné dans le second quart de cercle dcb , tracer toujours la portion de ligne Ma' indiquée par le premier rayon du rapporteur,^. 8.

26. Dans le cas où Y angle assigné sera plus grand que 200 grades et plus petit que 3 oo, on cherchera le rayon dans le premier quart de cercle acd ; mais on tracera sur le papier la portion de ligne Mb' désignée par le dernier rayon du rapporteur, fig. g\

27. Enfin , lorsque l'angle assigné sera plus grand que 3 oo grades et plus petit que 400, on cherchera le rayon dans le second quart de cercle dcb , et l’on tracera encore la portion de ligne Mb' indiquée par le dernier rayon du rapporteur,^*. 10.

28. On voit, par ce qui vient d’être dit, que le rapporteur aura la même position relativement à la ligne MN , lorsqu’il s’agira de tracer une ligne qui fasse avec elle un angle de n grades, ou de (200 -f- n ) grades , et que cette position sera encore la même quand l’angle à rapporter sera égal à (100-f-n) grades ou à ( 3 oo -j- n) grades. Cela tient évidemment à ce que les angles énoncés diffèrent de 200 grades; en sorte que la seule différence dans la manière de procéder gît en ce que le demicercle du rapporteur tournant sa convexité vers la partie supérieure de la droite donnée, celle que l’on cherche est fournie par le premier rayon du rapporteur lorsque l’angle est moindre que 200 grades, et

Ato CtONl OM ÊTRE. 17

par ledernier lorsqu’il est plus grand que 200 grades.

ag. Si l’on voulait obtenir la droite NO,Jig. 1 1, partant de l'extrémité supérieure N de la droite AJ JY, et faisant avec celle-ci ou plutôt avec son prolongement NN' un angle donné N'JVO, la marche à suivre serait analogue à celle qui a été détaillée.

En effet, le demi-cercle du rapporteur tournant sa convexité vers T extrémité inférieure M de la ligne donnée AIN, si l’angle assigné est compris entre o et 100, ou entre 200 et Zoo grades , on cherche le rayon à faire coïncider avec MN dans le premier quart de cercle du rapporteur ; et au contraire dans le second quart, si cet angle est compris entre 100 et 200, ou 3 oo et 400 grades , la droite que l’on cherche est dirigée dans le sens du dernier rayon du rapporteur lorsque l’angle donné est moindre que 200 grades , et dans le sens du premier rayon quand cet angle dépasse cette valeur.

3 o. La maniéré de se servir du rapporteur, que nous venons de détailler, est générale, et s’applique également au cas où la droite à tracer, tout en faisant un angle déterminé avec la droite donnée MN , devra passer par un point assigné sur cette ligne ou au dehors, au lieu de partir d’une de ses extrémités ; car il suffira d’opérer comme on l’a enseigné, avec cette seule différence qu’il faudra faire glisser le rapporteur le long de la ligne AIN, jusqu à ce que le bord de sa règle atteigne le point assigné.

Néanmoins, lorsque l'angle proposé diffère peu, soit de o ou 400 grades, soit de 200 grades, il • ne peut être rapporté commodément, tant à cause de la largeur de la règle ah a! U du rapporteur,

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qu’à cause <!u peu de longueur qu’il est possible de donner au rayon caj ciri onstances qui font que souvent aucune position du rapporteur sur la ligne MN, ne peut permettre au bord ah' de la règle de saisir le point assigne' par où doit passer la ligne à tracer.

5i. Le moyen le plus simple d’obvier à l’incon- . vc'nient que nous venons de signaler, consiste à rapporter les angles à partir d’une droite PQ perpendiculaire à MN,fig. 12 , ce qui est d’une exécution facile. En effet, comptant toujours les angles dans le même sens que lorsqu ils partent delà droite 1\IN, on voit de suite que dans le cas où le point Q sera regardé comme l’extrémité supérieure de la ligne PQ, il suffira d’augmenter de ioo grades les valeurs numériques de ces angles, et de retrancher avant de se servir de la somme résultante,

4oo grades ou une circonférence, lorsque la chose sera possible.

Si l’on veut au contraire regarder le point P ç comme extrémité supérieure de la droite PQ, il faudra diminuer d’un angle droit ou de ioo grades la valeur numérique de l’angle à rapporter, après 1 avoir augmenté de 4oo grades ou d’une circonférence, lorsque la soustraction ne pourra pas être effectuée.

Art. III. Du rapporteur circulaire sexagésimal , et de son rapporteur complémentaire. %

32. Le rapporteur circulaire sexagésimal , où divisé en degrés anciens, représenté par une partie de la ftg. i3, est loin d’être d’un emploi aussi k

ATI G O’NÎOAI'ÈTBÏ.

•simple que le rapporteur centésimal Aon\ nous venons de nous occuper. Le nombre d’angles droits •compris dans un angle donné n’étant pas en effet, dans l’ancienne division , indiqué par celui des unités du chiffre des centaines de son amplitude numérique, il n’est plus possible de déterminer la direction d’une droite relativement à une autre, qu’ensuite d’une soustraction à effectuer, soustraction qui influe sur tous les chiffres, excepté celui des unités.

33 . C’est pour obvier à cet inconvénient qu’on a imaginé de graduer depuis zéro jusqu’à 180" la ■demi-circonférence du rapporteur sexagésimal, et de faire rebrousser la graduation jusqu’à 36 o°, de >manière que chaque division du demi-cercle extérieur porte deux nombres différant de 180°. Cela étant, pour rapporter un angle moindre que 180 0 , ton tourne la convexité du demi-cercle du rapporteur vers l’extrémité supérieure de la ligne donnée , et la première partie de la règle de C instrument fournit la droite cherchée. Voyez la fig. 14.

34. Lorsque l’angle est compris entre 180 et 36 o°, il faut tourner au contraire la convexité du demicercle vers l'extrémité inférieure de la ligne donnée , où s’effectue alors la lecture , et la droite cherchée est encore fournie par le meme côté de la tègle du rapporteur. Voyez fig. i 5 .

55 . Dans cet état de perfectionnement, le rapporteur sexagésimal n’est point propre à rapporter, sans soustraction préalable, les angles différant peu de zéro ou 36 o degrés, et de 180 degrés, en se servant même d’une perpendiculaire à la droite, à partir de laquelle les angles doivent être

Digit

comptés, ainsi que nous avons vu n'. 3 i , qu’il est très-commode de le faire alors. C’est pour obvier à ce grave inconvénient que feu M. Maissiat avait imaginé le rapporteur complementaire , tracé dans l’intérieur de celui que nous avons décrit, comme la fig. i 3 le représente. Le rapporteur complémentaire est ainsi nommé parce que les deux nombres que portent chacune de ses divisions, tout en différant entre eux de 180 degrés, diffèrent de 90 degrés en plus, des amplitudes marquées sur les divisions correspondantes du rapporteur sexagésimal ordinaire, tant que ces amplitudes sont moindres que 270 degrés, et de 90 degrés en moins pour les amplitudes comprises entre 270 et 56 o degrés, comme on sent bien que cela doit être, puisque l’origine des angles a été reculée d’un angle droit.

36 . Cela posé , s'il s'agit de rapporter des angles compris entre 0 et 90 degrés, et entre 90 et 1 80 degrés , on tourne la convexité du demi-cercle du rapporteur vers V extrémité droite de la perpendiculaire à la ligne à partir de laquelle on devait primitivement compter les angles, pour y effectuer la lecture. Le premier côté de la règle du rapporteur, dans le premier cas, et le dernier côté dans le deuxième , fournit la droite cherchée. Voyez fig. 16.

37. Au contraire , pour rapporter un angle compris entre 180 et 270 degrés , et entre 270 et 56 o degrés, on tourne la convexité du demi-cercle vers la gauche de la perpendiculaire mentionnée, et la ligne cherchée est fournie par le second côté de la règle du rapporteur dans le premier cas, et par le dernier côté dans le deuxième. Voyez fig. 17.

Quoique le rapporteur complémentaire devienne

inutile avec des instrumens divises en grades , il est, comme on voit, très-précieux quand on se sert d’instrumens divisés suivant l’ancienne division du quart de cercle. On fera donc bien de s’en nSunir dans cette hypothèse.

Art. IV. Des rapporteurs rectangulaires.

38. Au lieu de tracer les rapporteurs sur des plaques de corne taillées en demi-cercle, on en construit aussi quelquefois de forme rectangulaire, fig. 18 . Les petits côtés ae, bf, de l’instrument, étant divisés par des lignes émanant du point c , milieu de ab , et embrassant entre elles des angles égaux à un grade, par exemple, il est visible que la division de ces côtés est opérée suivant les valeurs des tangentes pour le rayon ca — cb—'-ah. Par la même raison, les côtés de, df, sont également divisés suivant les valeurs des tangentes relatives au rayon cd = ae=z bf.

Il résulte de ce que nous venons de dire , que le rapporteur rectangulaire jouit de toutes les propriétés des rapporteurs décrits dans les deux articles précédens, ainsi que de celles des règles dont nous avons parlé n°. a 2 . Il pourra donc servir aux mêmes usages.

3g. Lorsque cet instrument est tracé sur une plaque d’ivoire , il est nécessaire de supprimer la règle , et on a coutume de graver une échelle au ~— m ‘ sur la portion de surface que les divisions n’occupent pas. On trace encore sur le revers du rapporteur des lignes diversement divisées, suivant le besoin que l’on peut en avoir.

22 PÉTÉS

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