Cette manière de procéder, qui fait partie

tles méthodes de recoupement, exige que l’angle RXP, au [joint à déterminer, ne s'écarte pas d'un angle droit de plus de j i oo grades.

68. On peut surabondamment obtenir, par suite de l’opération précédente, la position du [joint A. Tout se réduit effectivement à conduire, par la position x de X , une droite xa! parallèle à x t a ,, coupant la ligne rp en un point a qui sera la position cherchée; puisque le triangle xap est par construction équiangle, et conséquemment semblable à la projection horizontale du triangle XAP.

V*. §. Les deux points dont les positions sont données pour repères étant inaccessibles, ainsi (pie leur plan vertical, déterminer la position d’un point quelconque.

69. Quand on ne peut approcher ni des repères R, P,Jig. 28, ni du phu^vertical qu’ils déterminent , on choisit un poi tifplbordable Y, duquel on puisse découvrir, à la fbis,*les repères et le point à déterminer X, que nous supposerons d’abord accessible. Il est clair qft’on peut obtenir, par la méthode d’intersection , les positions r t , p t , des repères R, P, relatives à celles x J' i des points X, Y % pris pour points de départ; bien entendu que les positions x l ,y l , sont choisies d’une manière quelconque sur une autre feuille de papier qufe celle sur laquelle on dessine la carte.

Le tracé de la figure rjpjpc,, semblable, par construction à la figure RPYX, étant terminé, il ne reste plus évidemment qu’à construire sur rp une figure rpyx , semblable à la première, pour

avoir obtenu la position du point proposé X , et surabondamment celle du point auxiliaire Y.

70. L’inspection de la figure suffit pour montrer que l’exacte détermination des points r t , p,, exige que les angles XRY, XPY, ne s’éloignent pas d’un angle droit de plus de -j ioo grades. Pareillement les points x,j, ne seront à leur tour déterminés ayec précision, qu’autant que les angles RXP , RYP , ne s’écarteront pas de la même limite.

71. Lorsque le point X à déterminer sera inabordable, au lieu d’un seul point auxiliaire Y accessible, on en choisira deux, tels qu’on y découvre ii la fois le point X et les deux repères, afin qu’il soit possible d’obtenir les positions de ces trois derniers points, relativement aux deux points auxiliaires pris pour repères actuels de départ.

VI e . §• On ne connaît sur la carte que la position d’un des points de repère auquel on peut stationner, et la trace du plan vertical que les repères déterminent; trouver la position d’un point accessible.

72. Les questions que nous avons résolues jusqu’ici, constituent les levés purement augoniomètre, il « nous reste donc à parler maintenant de celles relatives aux levés augoniomètre et à la chaîne. Et d’abord pour résoudre celle que nous avons énoncée, plaçons le goniomètre au repère R,fig. 29, où l’on peut sationner, et dirigeons le plan de collimation du limbe vers le repère P , dont la position est inconnue sur la carte. Il est clair qu’en visant le point

à déterminer X, avec l’alidade de l'instrument, nous obtiendrons la mesure de l’angle XRP , Si donc par le point r, position de R, sur la carte, nous conduisons une droite rx', faisant avec rp', position de RP, un angle x'rp' égal à l’angle observé, cette droite rx' contiendra la position cherchée de X.

Pour terminer sa recherche, on fëit mesurer avec la chaîne, la distance horizontale des points R, X, et on en prend la valeur à l’échelle pour la rapporter de ren x; de sorte que le point x ainsi obtenu sur la carte est la position du point X qu'il fallait déterminer. Le triangle RXP de la carte topographique naturelle, et le triangle formé par les points r, x, et la position inconnue du repère P sur la carte, sont en effet semblables, comme ayant par construction un angle égal compris entre deux côtés proportionnels.

y3. La forme du triangle RXP n’étant soumise à aucune condition, elle est tout-à-fait arbitraire. Ainsi la construction précédente, qui fait partie des méthodes de cheminement , peut être employée avec le même degré d’exactitude à déterminer les positions de tous les points abordables visibles du repère accessible, quelles que soient d’ailleurs et leurs directions et leurs distances, pourvu néanmoins que celles-ci puissent être mesurées.

Il est donc fâcheux que les méthodes de cheminement , pour l’exécution desquelles on est obligé de parcourir le terrain à lever, ce qui a l’avantage d’en faciliter la représentation, consomment, ainsi quon est à même d’en juger , beaucoup plus cTe temps que les deux autres méthodes.

VII*. §. On ne connaît sur la carte que la position d’un des points de repère qui est inaccessible , et la trace, du plan vertical déterminé par les deux repères , dans letpiel on peut stationner et\ un lieu inconnu sur la carte; trouver la position cl’un point accessible.

74- Soit R,fig. 5o, le point de repère inaccessible , dont la position r est donnée sur la carte, et rp' la position de la trace horizontale du plan vertical des repères R, P. Si A est un point du lieu où ce plan peut être aborde , p!açons-y le goniomètre et dirigeons le plan de collimation du limbe sur l’un quelconque des repères, R par exemple. Visant ensuite avec l’alidade le point X à déterminer, nous connaîtrons l’angle RAX, et nous pourrons en conséquence conduire par un point quelconque a t de la ligne rp , une droite a j x / , qui fasse avec elle un angle ra / x / , égal à l’angle observé. Cela étant, mesurons à la chaîne la distance horizontale des points A, X, prenons-en la valeur à l'échelle pour la transporter de a, en x n sur ax /t et conduisons enfin par le point x n obtenu une parallèle oc„x" à la ligne rp' .

Allons placer maintenant le goniomètre au point X; dirigeons le plan de collimation du limbe sur le repère R, et celui de l’alidade sur le point A que nous occupions tout à l’heure. Nous obtiendrons ainsi la valeur de l’angle RXA, et nous pourrons conduire par le point r une ligne rx' qui fasse avec a i x l un angle égal à l’angle mesuré, et cette ligne coupera celle x h x" déjà tracée en un pointer, qui est la position du point X à déterminer.

48 LEVÉS t '*

En effet, menant xa parallèle à a / x l , le triangle rxa est semblable à l'échelle avec le triangle RXA; car, par construction, l’angle rax égale RAX; par la même raison les angles axr, AXR, sont égaux entre eux, donc coramexa=x ;( a J égale XA à l’échelle , les triangles mentionnés sont équiangles et de plus semblables à l’échelle.

75. La solution précédeute ^articipe à la fois de la méthode de recoupement et de celle de cheminement : aussi la forme du triangle RPX n’est plus arbitraire; car la position x cherchée étant fournie par l’intersection des deux lignes x u x " , rx' , il est nécessaire cpic l’angle x'xx n — x'rp' égal à XRP, ne s’écarte pas d’un angle droit de plus de 7 1 00 grades.

76. ()n peut remarquer que les constructions exécutées déterminent subsidiairement la position a du point A, où l’on s’est d’abord placé, dans l’endroit auquel le plan des repères R, P, se trouve abordable.

§. On donne les positions de deux points de repère pouvant stationner au premier , et le second étant inaccessible , on demande la position d’un point inabordable.

77. Pour résoudre ce problème, on cherche dans la direction du point X à déterminer, et. du repère inaccessible P, fig. 3i , un point Y tel que sa distance YR au repère R, où l’on peut stationner, soit mesurable. Ce point Y choisi, on obtiendra sa position y sur la carte, comme il est enseigné n°. 7a; de sorte que la position de Xse trou-

À TV GONIOM ÊTRE.

vëra nécessairement sur un des points de la ligtfe yp. Si donc avant de quitter le point R, on rtiesure l’angle PRX, afin de conduire par le point r une droite rx' , faisant avec rp un angle prx' de même valeur que le précédent; cette ligne rx' devint contenir la position cherchée, la fournira par son intersection x avec la droite py. Les triangles xrp, XRP, sont effectivement équiangles par ' construction.

78. Il est évident que le point x ne sera suffi-* samincnt bien déterminé qu’autant que les lignes rx',yp, se couperont sous un angle rxp — RXP, ne • différant pas d’un angle droit de plus de 7 1 00 grades.

IX e . §. On ne peut stationner à aucun des deux points dont les positions sont données pour repères ; mais l’un d’eux étant accessible, on propose de déterminer la position d’un point où l'on peut stationner.

79. Puisque le point à déterminer X,Jig. 3 a, est Je seul auquel on puisse stationner, plaçonsy le goniomètre, afin de mesurer l'angle RXP, compris par les plans verticaux que les repères R, P , déterminent concurremment avec ce point X : et mesurons ensuite la distance horizontale RX de ce même point X, au repère abordable Cela fait, décrivons sur la ligne rp , joignant les positions r, p, des repères, un arc de cercle rx'p capable d’un angle égal à l’angle observé RXP; et du point r pour centre, avec la distance RX prise à l’échelle , traçons encore un second arc de cercle x"x, qui coupe le premier. *

5o ^ LEVÉS

Si l’angle observé RXP est aigu , tant qui la distance XR sera moindre que RP, les deux arcs décrits ne se couperont qu’en un seul point x , du même côté de la ligne rp, et ce point sera évidemment la position cherchée du poipt X , puisque cette position doit se trouver à la fois si# 9 chacun des arcs décrits. Lorsque dans le même cas la distance RX sera plus grande que RP, et moindre que le diamètre du cercle déterminé par. *les trois points RPX , les deux points d’intersection des deux arcs de cercle décrits se trouveront ** du même côté de la droite rp , et le problème sera indéterminé.

Mais si l’angle observé RXP est obtus , l’inconvénient que nous venons de signaler n’aura jamais lieu, parce que la distance RX sera, par cela même, moindre que RP.

80. Ce qui précède “fait voir que le moyen de détermination des points, qui vient d’être expliqué, ne doit être mis en usage que lorsque les localités y obligent. On trouvera d’ailleurs facilement les conditions nécessaires à la précision du tracé graphique : elles sont, pour la description du segment capable de l’angle RXP, que cet angle ne s’écarte pas d’un droit de plus de 7 ioo grades; et pour la netteté de l’intersection des deux arcs de cercle décrits, que l’angle XPR, opposé à la distance RX mesurée, soit moindre que 7 100 grades.

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AU GONIOMÈTRE. 5l

X e . §. Les positions de trois points étant données sur un levé , on propose d'y ajouter celle d'un quatrième point d’où on peut découvrir les trois premiers.

81. Ce problème peut être résolu de plusieurs manières. Ayant en effet mesuré au quatrième point, les angles que comprennent deux a deux les plans verticaux qu il détermine concurremment avec les trois points dont les positions sont données , on est à même de mettre à exécution une quelconque des méthodes expliquées avec détail dans le Traité des levés à la planchette, chap. VII, I er . -§, où nous renvoyons pour cet objet, afin de ne pas nous répéter.

82. On peut encore faire usage des Courbes des erreurs , pour résoudre, le problème qui nous occupe par une construction analogue à celle de la Courbe de recherche particulière aux levés à la planchette. Remarquons avant de le faire voir, que la considération des segmens capables prouve qu’il n’existe sur la carte qu’un seul point qui, joint par des lignes droites avec les positions des trois points donnés, fournisse des angles égaux à ceux sous lesquels ces points sont vus du quatrième point à déterminer , et situés dans le même ordre de gauche adroite (N°.I, ig5). Tout se réduit donc à découvrir le point de la carte qui jouit de cette propriété.

Pour cela représentons par g, in, d,Jig. 33, les positions respectives données des trois points G, M, D, observés du quatrième point S, qu'il faut déterminer par suite du mesurage des deux angles GSM ,

MSD , qui sont ainsi connus. Cela étant, conduisons par le point m une ligne rni, dans la situation que nous estimons devoir être occupée sur la carte par la position delà direction SM; traçons ensuite des droites g \, di " , partant des points g, d, et taisant respectivement avec rtn des angles g dm, mig, égaux aux angles GSM, MSD. Il est clair que si la position donnée à m\ était la véritable, les trois droites menées comme nous venons de le faire se couperaient mutuellement en un point unique, qui serait la position cherchée de S. Lors donc que les trois droites mentionnées se croiseront de manière à former un triangle n'i", comme dans la ligure, la ligne MS sera mal représentée sur la carte, et il faudra rectifier la position m i , (|u’on lui avait assignée.

Supposons donc que la ligne m 2 doive être la position de MS , et opérons une construction tout* , à-fait semblable à la précédente, c’est-à-dire conduisons par les points g, d, les lignes gi', di" , faisant avec mi des angles respectivement égaux aux angles GSM, MSD, observés. Les trois lignes ni 2 , g-2 1 , da", ou concourront en un même point qui sera la position cherchée de S, ou se Croiseront comme dans la figure de manière à fournir un triangle 22' 2" plus petit que n'i". En continuant donc à déplacer, dans le même sens, la droite qui doit représenter SM sur la carte, on conçoit, qu il est possible d’obtenir, après un plus ou moins grand nombre de tàtonnemens, trois positions ms, gs, ds, des directions MS, DS, GS, donnant, par leur intersection unique s, la position cherchée de 5 . *

Digiti2

AD GOSIOMÈTRÉ. 55

85 . Nous avons supposé que le triangle 22V', formé par suite de la seconde direction ni 2 , donnée à la droite qui doit représenter SM , était plus petit que le triangle \ préalablement obtenu. Si cette circonstance n’arrivait point , on n’aurait «- pas déplacé la droite mi du côté convenable, erreur facile à réparer.

84. Afin de diminuer le nombre de tâtonnemeus à exécuter, remarquons que les sommets correspondans des triangles 1 i'i" , 22V' ...... obtenus

comme il a été enseigné, décrivent des branches de la Courbe des erreurs , lesquelles doivent se réunir h celui des points de la carte où doit être la position de S, Cela étant, dessinons lés courbes 12 3 , iVS', i'W, indiquées par trois triangles successifs, et prolongeons ces lignes conformément à l’esprit de leur courbure, jusqu’à leur point de concours estimé en s. ' .ht'ob. •

Pour vérifier si ce point est réellement la position de S’, on trace la droite ms, sur laquelle on opère comme on l’a fait sur les lignes mi , m% ; et si les droites qui doivent partir des points g, d, arrivent justement au point s, l’estime que l’on a faite sera exacte. .# â '

Dans le cas contraire, on obtiendrait un tout petit triangle, que l’on combinerait avec les trois précédens, pour rectifier le dessin des branches de la courbe des erreurs, de manière à estimer plus exactement leur point de concours. On vérifierait l’exactitude de la nouvelle position de ce point comme on a fait pour la première, ainsi de suite.

85 . Un moyen d’estimer avec assez d'exactitude, et tout d’abord, le point de concours des branches

de la courbe des erreurs, consiste à combiner les trois triangles successifs m'i", 22 ' 2 ", 55'3", avec un triangle 444" obtenu comme les précédons, mais, ainsi que le montre la figure, par des droites m \ , g/y, ^4 » situées des côtés des lignes ms, gs , fis, que n’occupent pas les droites fournissant les trois triangles mentionnés. En elFet , les sommets du triangle 44%"» donnant un point de chaque branche de la courbe des erreurs, au delà de l’endroit où elles doivent concourir, il est évident qu’outre que la marche de chaque branche de courbe sera mieux indiquée par quatre points que par trois , le concours des branches doit se trouver sur leurs portions tracées , et non sur leurs prolongeniens d’un dessin toujours un peu vague.

86. Le procédé par lequel nous venons de résoudre le problème énoncé, conduit à une courbe des erreurs particulière dont les branches dessinent évidemment, deux à deux, une circonférence de cercle. Ces branches ne sont effectivement que les segmens capables soit de chacun des angles observés, soit de leur somme; elles sont des portions des trois circonférences de cercle employées dans les Levés à la pldkchettc.

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