PROBLÈME# RELATIFS AUX LEVÉS AU GONIOMÈTRE

I er . §. On propose d'obtenir, à t aide d’un goniomètre , la distance des extrémités dune ligne polygonale.

87. Les goniomètres fournissant l’amplitude nu* mérique des angles, tous les problèmes dont nous allons nous qccuper , comme ceux qui font le sujet du cbapitre précèdent, peuvent être résolus soit graphiquement , soit par le calcul. Si nous nouà bornons aux solutions graphiques , c’est qu’il ne s’agit ici que de construire des levés, d’opérer sur le terrain, ce qui exclut évidemment le calcul tri— gonométrique; les solutions numériques de tous ces problèmes et de bien d’autres encore,' feront d’ailleurs partie dè notre Traité des opérations trigonométriques , auquel nous renvoyons pour cet objet. Ce chapitre sera' terminé par la solution de quelques Problèmes inverses de levés au goniomètre, au moyen desquels le dessin d’un projet quelconque étant arreté sur le levé d’un terrain partout accessible , on peut en construire le tracé sur le terrain même.t. . >" . 1

88.. !ÜQCM>poos-nous d’abord du problème e'noncé en tète, do .ce paragraphe V et représentons par JBCDE, fig. 54, la ligne polygonale des extrémités ud , \E , de laquelle il faut mesurer la distance réciproque, Pour cela prodédons d’abord au mesurage de tous les côtés AB , BC , CD ...>de la ligne poj-

lygoualejl ainsi que îles angles ABC, BCD, ... for-*: mes à chacun de ses sommets par deux côtés successifs. Ces mesures prises, nous pourrons, à l’aide du rapporteur, construire sur une feuille de papier, et à une échelle choisie, le plan abede de la ligne polygonale ABCD E .En e(Fet, ayant pris une portion de droite ab, égale à AB réduit à l’échelle, on mènera par le point b une ligne bd faisant avec ab un angle abc égal à celui mesuré en B avec le goniomètre; de sorte que si l’on prend ensuite, à partir de b, une longueur bc, égale à BC réduit à l’échelle , a , b , c, pourront être considérés comme les positions respectives des points A , B, C, ainsi de suite. Prenant donc une ‘ r ouverture de compas égale à ae , pour l'appliquer surl échelle, on y lira, en mesures employées, la valeur de la distance AE qu’il s’agissait d'obtenir.

IP. §. Trouver , à l aide d un goniomètre, la longueur dune droite qu'il est impossible de chaîner.

89. Ce problème peut offrir trois cas différens : et d’abord , si les deux extrémités de la droite à mesurer sont accessibles , on parcourt sur le terrain une ligne polygonale aboutissant à ses extrémités, et le problème se réduit évidemment alors à trouver la distance des extrémités d’une ligne polygonale accessible , ce que nous savons foire.

90. Si une seule des extrémités de la droite à mesurer est accessible , on procédera au levé d’une ligne polygonale accessible CDEFA ,jig.- 35 , aboutissant^ l’extrémité A de la droite donnée, et de deux sommets Ç , D , de laquelle on puisse décou-

DigilizedOy GoôgI(

vrir l'extrémité inaccessible B de cette droite. Cela fait, il sera possible de construire, aune échelle choisie , le plan cdefa de la ligne polygonale et la position b du point B ; i\e sorte qu’en prenant à 1 échelle la valeur de la ligne ab , on aura en unités employées la valeur de la droite AB.

La solution la plus simple attra évidemment lieu, quand de l'extrémité accessible A de la droite donnée on pourra découvrir l’extrémité inabordable B , et que la ligne polygonale A FED, qu’il faudra suivre pour arriver à un autre point D d’où l’on voye B , se réduira à une droite unique.

91. Il est évident que la solution actuelle résoudrait également cet autre problème : trouver à quelle distance on est dun point inabordable que Ton peut ou non découvrir.

92. Le troisième cas du problème proposé a lieu quand les deux extrémités de la droite à mesurer sont inaccessibles. Considérant le problème dans toute sa généralité, on procède au levé d’une ligne polygonale CDEFG , Jig. 36 , partout accessible, et telle que les extrémités^/, B, de la droite donnée puissent être découvertes chacune de deux des sommets de cette ligne. Le pian cdefg , de la ligne polygonale étant tracé à une échelle choisie , on y ajoutera les positions a, b, des points A , B, obtenus par la méthode d’intersection, et prenant à l’échelle la valeur de la droite ab , on aura celle de la ligue AB en mesures employées.

Les opérations à exécuter deviennent les plus simples possible, lorsque le terrain permet de trouver deux points visibles l’un de l’autre, desquels on puisse mesurer la distance et découvrira

1» fois les deux extrémités de la droite donnée; il e*t clair qu’alors la solution se réduit précisément aux opérations décrites au n . 69.

c}3. Dans ce troisième cas , le problème résolu pont être ainsi énoncé : trouver, à T aide cCungo~ niomètre , la distance de deux points inabordables.

III e . §. Trouver , à F aide d'un goniomètre , la plus courte distance d'un point à une droite donnée.

■ * 94. Comme les extrémités de la droite et le point donné peuvent être ou non accessibles, on voit que ce problème offre six cas différons , lesquels se rattachent, deux à deux, à un des trois eus du problème traité dans le paragraphe précédent, comme on va s’en convaincre.

Si le point donné est accessible , on y placera l’un des sommets des lignes polygonales suivant lesquelles on a cheminé pour résoudre le problème mentionné; ou bien on liera ce point avec le polygone, soit par le plus simple embranchement possi-' ble levéen cheminant, soit de toute autre manière.

g 1 ». Quand le point donné est inaccessible , on ne peut plus le lier aux lignes polygonales par un système de lignes toutesunesurables, desorte qu’il faut déterminer sa position par intersection, en partant, soit des sommets des lignes polygonales, soit des extrémités de la ligne droite donnée lorsqu’elles sont accessibles.

Les lignes et les angles nécessaires étant me- , surés, on rapportera le tout sur un papier, et ou obtiendra ainsi les positions respectives a, b,Jig.5j, des extrémités A , B , de la droite AB , ainsi que

tt ; ’ *

celle m du point donné M. Si donc du point m 0T1 abaisse sur ab, la perpendiculaire mp, sa longueur appliquée sur l’échelle à laquelle le plan aura été construit, conduira à la valeur, en unités employées, de la plus courte distance du point M à la droite assignée AB.

9 6. Les opérations que nous venons d’exécuter donnent aussi la solution de cet autre problème: Une droite et un point étant donnés sur le terrain , trotter les distances des extrémités de cette droite* au pied de la perpendiculaire abaissée du point assigné. On peut en effet relever à l’échelle les valeurs des dignes ap , bp , qui représentent ces distances sur" plan.

< ."ÎFd ... ,t;v i Vr.oïJtiÿtoS'î' .

IV e . §. Passer, à F aidedun goniomètre, déladistance réciproque de deux points assignés inabordables à celle de deux, autres points donnés accessibles.

97. Ce problème est susceptible d’offrir dans la pratique trente-six cas diffe'rens. En effet , étant à un des points accessibles , il peut arriver que des trois autres points aucun , un, deux , ou tous trois soient visibles ou invisibles, ce qui ne donne que six combinaisons réellement différentes; et comme il en est de même au second point abordable , on voit qu’il y a en tout six fois six, ou trente-six combinaisons possibles..

Le cas le plus défavorable aux opérations arrive quand de chacun des points accessibles A , B ,Jïg. 38 , on n'aperçoit aucun des trois autres points , et il est évident que, la solution du problème peut être alors ramenée à celle du cas le plus favorable.

Go

lequel résulte de l’hypothèse que, de chacundes deux points accessibles on découvre les trois auti es points. Supposons en effet qu’à partir des points accessibles A , B , on chemine le long de lignes polygonales conduisant respectivement aux points E, F, visibles l’un de l’autre , et desquels on découvre à la fois les deux points inabordables C , D , donnés. Cela fait , il est clair que si nous parvenons à connaître FF, nous aurons facilement la distance AB des extrémités de la ligne polygonale accessible

AGFIEFIB.

Or, pour parvenir à EF par CD, il faut résoudre le problème proposé dans les circontfances les plus favorables, et on est conduit à opérer précisément comme on l’a fait au n*. 69. En effet , si aux, points E , F, on mesure les angles compris entffe le plan vertical de ces points et ceux qu’ils déterminent respectivement avec les points inaccessibles C,D, le plan c'd'e'fWn quadrilatère CD EF pourra être tracé en prenant une ligne quelconque e' f pour représenter EF , et on aura la projection*; le nombre cherché de mesures contenues dans EF, est au nombre donné de mesures contenues dans CD—e'f : c'd! , et par suite la valeur de EF— CD. e'f : c'd'-.

98. Pour ne pas faire de calcul, sur une ligne cd égale CD à une échelle choisie , on construira le quadrilatère <y/e/ semblable à dd'e'f, et la ligne ej appliquée sur l’échelle indiquera la valeur de EF en mesures employées.

V'. §. Parvenir, à laide d un goniomètre , à lairê , d'un terrain donné.

99. Quelle que soit la forme des limites de ce terrain , on en construira le plan à une échelle suffisamment sensible, et avec le secours du goniomètre. Ce plan obtenu , il peut se faire que la limite mentionnée décrive un polygone rectiligne, ou quelle existe , au contraire , suivant une courbeirrégulière fermée. *

Dans le premier cas , on décomposera le polygone en triangles, desquels on pourra obtenir la surface soit en faisant usgige, comme à l’ordinaire, de leurs bases et de leurs hauteurs relevées sur le plan, soit en employant les longueurs reievés de leurs trois côtés pour calculer la formule qui donne, la surface d'un triangle , égale la racine carrée du produit de son demi-périmètre multiplié successivement par les excès de ce demi-périmètre sur chacun de ses trois côtés. Il sera bon de calculer l’aire cherchée en faisant usage soit de ces deux méthodes, soit de la première seulement mais appliquée à deux décompositions différentes du polygone en triangles, afin de se procurer des résultats moyens exempts d’erreur.

100. Si la limite du terrain est une courbe fermée, rentrante sur elle-même , on peut toujours imaginer un polygone rectiligne qui en diffère Aussi peu que l’on .veut. Généralement ce polygone sera eu partie inscrit et en partie circonscrit; et sa surface sera plus petite que .faire cherchée, d’une quantité égale à l’excès des segmens extérieurs sur

les segmens intérieurs compris entre le polygone *et la courbe limite. Pour avoir luire d'un pareil segment, on divise le côté nb du polygone, Jig. 5 g, èn parties égales au côté de tare , par les points 1,2,

3 ....n } et on fait la somme des perpendiculaires à ce côté 1 1' t 22' , 33 ' nti t dont le dixième ex-

prime en ares la surface du segment, si ab égale un nombre rond de côtés d’ares, et si les portions de courbe ai', i'a', 2'3', ... n'b , peuvent être considérées comme' sensiblement droites. Si nb n’égalait pas le côté de l’are , on n’ajouterait que la moitié de la dernière perpendiculaire tut! à la somme de toutes les précédentes, et on augmenterait leur dixième total de la moitié du produit de/in' par«£', pour tenir compte du petit triangle nn'b.

101. La règle que nous venons d’exposer peut être étendue à une limite entièrement curviligne, comme 011 peut le voir facilement. Sa démonstration, d’ailleurs fort aisée à trouver, sera exposée dans notre Traité d' arpentage , où nous donnerons en outre la construction et l’usage de divers Calculateurs , instrumens servant à obtenir, sans calcul , la surface d’un terrain dont on a le plan construit à une échelle connue.

VI*. §. Trouver, à T aide d'un goniomètre , le point

d'un terrain accessible correspondant à un point

ajoute au plan de ce terrain.

102. Les Problèmes inverses des levés au goniomètre se réduisent tous au problème à résoudre, lequel n’est soluble qu’autant que le terrain est accessible. Soient en effet a, b,c,fig. 40, lespositionsdes

A H COSIUMETRK.

points A,B,C, du terrain représenté par une carte à laquelle ona ajouté un points, dont il fautlrouver le correspondant Asur le terrain. On estimera toujours assez bien dans quel endroit tombera ce point A, pour juger quel est celui des points connus A, B, C , dont il con vient de partir pour aller le rejoindre. Supposons que î’onaitchoisi le point/?, il peut alofs se présenter plusieurs cas ; car l’endroit où devra être situé le point cherché X sera visible de B , ou il sera invisible ; et puis il peut arriver encore que quelque obstacle s’oppose à ce que l’on puisse chaîner une ligne polygonale joignant les points B , X.

Supposons d’abord que du point B on découvre le lieu où X doit être situé , et que I on puisse effectuer en ligne droite des chaînages qui y aboutissent. Alors on joindra par une droite, sur le plan, les points b, a, et on relèvera avec le rapporteur la valeur numérique de l’angle abx, par exemple. Cela fait, on arrêtera le vernier de l’alidade du goniomètre sur la division du limbe portant le nombre de degrés trouvés pour la valeur de cet angle; on placera l’instrument , dans cet état , au point B du terrain ; et on dirigera le plan de collimation du limbe dans le plan vertical des points A , B. Alors le plan de collimation de l’alidade fera avec le plan vertical mentionné un angle égal à abx ; si donc on remarque au loin un point X' situé actuellement dans ce plan de collimation ,1e point A" se trouvera quelque part dans le plan vertical des points B , À'. Prenant donc à l’échelle la valeur de la ligne bx pour la faire chainer du B en X , dans la direction BX' , l’extrémité X du chaînage

eil'ectué sera évidemment le point dont x est la position.

10 3 . Si le lieu où doit se trouver le point cherché est invisible du point choisi pour départ, on cheminera tout le long d'une ligne polygonale partant de cç dernier point , et aboutissant à un endroit d’où on puisse découvrir le lieu où le point cherché doit être situé. On se trouvera alors dans des circÿnsta lices semblables à celles où l’on était tout à l'heure, et l'on procédera de même.

104. H nous reste à 'examiner le cas dans lequel il est impossible d'exécuter un chaînage entre un des points donnés du terrain et le point cherché, cas qui ne doit cependant pas exclure la faculté de pouvoir arrivera ce dernier point. Pourque le problème soit susceptible de solution, il faut que l’on puissè parvenir encore à deux point» tels que B, C, desquels on découvre le lieu où le point cherché X doit se trouver. Cela étant, on joindra, sur le plan, les points a, x et b, x , et on relèvera au rapporteur les deux angles abx , bcx, par exemple , afin de pouvoir, comme on l’a fait plus haut , placer le go-

t niomètre successivement aux points B , C , de manière que le plan de collimation de son alidade détermine les plans verticaux dont les droites ax , bx , peuvent être considérées comme les traces, lesquels doivent ainsi contenir le point cherché A. Les passages de ces plans verticaux sur le terrain étant rendus sensibles à l’aide des jalons X' , A", que l’on fichera en terre dans le lieu où X doit se trouver, il est clair qu’un jalon arrêté dans l’intersection mutuelle des deux alignemens A 'B , X" C , fournira le point X qu il s’agit de trouver.

VII'. §. Tracer sur le terrain, à l'aide d'un goniomètre, l' alignement correspondant à une droite ajoutée au plan de Ce terrain.

10 5 . La solution de ce problème peut se ramener à celle du préce'dent. Si l’on trouve en effet les deux points du terrain correspondant à deux points choisis de la droite donnée sur le plan, il est clair qu’ils détermineront, sur le terrain, un certain alignement, qui sera la trace du plan vertical dont la droite donnée indiquait la position, et le x problème sera résolu.

La manière dont nous venons d’opérer ne fournit que la direction de l’alignement cherché. Si l’on youlait en reporter les dimensions sur le terrain, il suffirait de choisir les extrémités de son plan, pour les points dont on a fait usage; les points correspondons du terrain y indiqueraient évidemment les extrémités de l’alignement cherché.