THÉORIE DES LEVÉS A LA BOUSSOLE

1". §. Généralités sur les levés à la boussole.

a55. La boussole est, dans les levés topographiques, le plus avantageux des instruraens qui donnent l’amplitude numérique de l’angle de deux plans verticaux; car, comme l’aiguille aimantée, sa pièce principale, a la propriété de se diriger constamment dans des plans verticaux considérés comme parallèles entre eux, dans toute l’étendue d’un levé topographique ; il s’ensuit que l’on peut obtenir la mesure de l’angle des plans verticaux de deux directions quelconques du terrain, par la différence des angles que ces plans font avec le vertical de l’aiguille aimantée. Quoiqu’il paraisse de prime abord que les opérations à exécuter pour rapporter définitivement, sur la carte, la position d’une direction assignée, soient plus nombreuses que lorsqu’on se sert de la planchette, et que par conséquent l’usage de la boussole doive consommer plus de temps, l’expérience prouve le contraire. . . ” / ",

256. C’est principalement à la propriété dont jouit l’aiguille aimantée de s’orienter d’elle-même , et de n’exiger qu’une seule opération pour connaître sa direction sur le terrain à représenter; c’est

aux perfectionnemens que les ingénieurs-géographes français ont apportés dans la construction de la boussole et dans l’usage du rapporteur ; c’est à la réforme qu’ils ont faite de l’ancienne habitude nue l’on avait, de toujours se servir de brouillons où 1 on ne pouvait effectivement que s’embrouiller, quand on n’avait plus le terrain sous les yeux, pour redresser les nombreuses erreurs que I on se mettait dans le cas de commettre , tout en perdant la faculté de dessiner à vue ou autrement, une foule de petits détail^dont la forme fugitive s’efface bientôt de la mémoire; c’est, disons-nous, à tous ces motifs que 1 on doit attribuer la préférence à donner aux levés à la boussole, rattachés d’ailleurs à des points principaux trigonométriquement déterminés, ou obtenus avec une bonne planchette et une alidade à lunette, lors.-jue le temps doit être surtout économisé.

257 . Que 1 on compte les angles que doit fournir la boussole, à partir du méridien magnétique, du . méridien terrestre, ou de tout autre plan vertical donné par sa trace sur la carte, peu importe; les moyens d opérer sont toujours les mêmes, lorsqu’on a réglé le limbe de la boussole de telle manière que 1 aiguille aimantée indique zéro , lorsque l’axe optique de la lunette est dans le plan du premier vertical, à partir duquel on convient de compter les angles des directions observées.

Si la trace du premier vertical, origine des angles, n’était pas donnée sur la carte, la première chose à faire serait de ramener l’axe optique de la lunette dans le plan vertical d’une des directions tracées sur le papier, et l’angle que l’aiguille indi-

querait alors, suffirait pour conduire sur la carte , ainsi qu’il a été enseigné, la trace du premier vertical qu’admet l’arrangement actuel du limbe dans la boite de la boussole, trace que nous pourrons donc supposer toujours connue , et que nous représenterons par une flèche dans les figures.

258. Les remarques que nous avons faites au sujet des levés purement aü goniomètre, et des levés au goniomètre et à la chaîne, étant respectivement applicables aux levés purement à la boussole et aux levés à la boussole et à la chaîne , i#us nous bornerons ici à renvoyer le lecteur au I". § du chapitre III.

II e . §. On donne, pour repères sur la carte, les positions de deux points accessibles ; déterminer celle d'un troisième pointsoit accessible soit inabordable.

z5g. Soient désignés par R, P,fig. 6o, les deux points accessibles dont les positions r, p, sont données, et par X le point dont on demande la position. Ayant placé la boussole en R, par exemple, afin d’en régler le limbe par l’observation de la direction RP, si la position du premier vertical est donnée sur la carte; ou pour obtenir, dans le cas contraire, la position du premier vertical que suppose la disposition actuelle du limbe dans la boite de la boussole , on dirigera la lunette vers X , et on lira la valeur p de l’angle compris entre le plan vertical de la direction RX et le premier vertical à partir duquel l’angle mentionné doit être compté, dans le sens nord-ouest-sud-cst-nord. On rapportera ensuite cet angle p sur la carte, en conduisant par le

A LA BOUSSOLE. 1 5j

point r, et à l’aide du rapporteur, une droite rx , qui fasse avec la direction du premier vertical un angle e'gal à p, de sorte que la position du point visé sera quelque part sur la ligne indéfinie rx'.

Cela fait, en se transportant au second point P, pour y mesurer l’angle 7:, compris entre le plan vertical de la direction PX , et le premier vertical à partir duquel cet angle doit être compté, on pourra rapporter cet angle sur la carte , en conduisant par le point p une droite px , faisant avec la direction du premier vertical un angle 77; et alors la position du point X sera quelque part sur la ligne indéfinie px' . Cette position sera donc le point x, intersection des deux lignes rx , px ' . Les deux triangles RPX et rpx sont en effet équiangles par construction , et par conséquent semblables. {Poj. 62 et 63.)

III”. §. Un des deux points dont les positions sont données pour repères est inabordable , déterminer la position d’un troisième point accessible.

- 260. On se transportera à celui R, des deux points R, P,fig. 61, qui est accessible , soit pour y régler le limbe de la boussole relativement à la position du premier vertical origine des angles, donnée sur la carte, soit pour tracer sur la carte, si cette position n’est pas donnée, celle qui convient à l’arrangement du limbe de la boussole; et cela par la seule observation de la direction RP des deux points R, P, dont r et p sont les positions sur la carte.

Avant de quitter le point R, on y observera

1 58 LEV)fS

l’angle p, compris entre le plan vertical de la direction RX du point accessible X , à déterminer, et le premier vertical origine des angles fournis par la boussole; et on rapportera cet angle p sur la carte, ce qui y fournira une droite roc , où devra se trouver la position cherchée du point X.

On se transportera ensuite à ce point X, et la boussole y donnera l’angle £ du plan vertical compris entre la direction XP, et le premier vertical origine des angles ; et , comme il est clair d’ailleurs que le prolongement PP de la direction XP, observé en P, fournirait le même angle £, il s’ensuit qu’en disposant le rapporteur sur la carte comme s’il s’agissait de trouver la position pp de la direction PP', il suffira de conduire le crayon le long du rayon du rapporteur diamétralement opposé à celui qu’il faudrait suivre dans-ce cas. Alors, en effet, au lieu d’avoir tracé sur la carte la position pp de PP' , on aura évidemment décrit celle px , de PX, laquelle devant contenir la position cherchée du point X , la fournira par son intersection x avec la ligne roc déjà tracée.

261. Il est évident que, clans le cours des opérations qu’exige l’exécution d’un levé topographique ordinaire, la rectiûcation des positions respectives du limbe et du premier vertical origine des angles, n’a besoin d’être faite qu’une seule fois, à moins d’accidens survenus à la boussole. Il ne sera donc pas généralement nécessaire de se transporter au point accessible R, poqr y elfectuer la rectification indiquée plus haut, et il suffira, pour résoudre le problème cjui nous a occupés, d’opérer au point X, sur le point R, comme on a fait sur le re-

A LA BOUSSOLE. l5().

père P. On voit ainsi que les méthodes de recoupement , exécutées à l’aide de la boussole, donnent la faculté de choisir des stations isolées les unes des autres, ce qni ne peut être pratiqué lorsqu’on se sert d’une planchette ou d’un goniomètre. Ces intrumens exigent, comme on l’a vu, que les stations successives soient liées entre elles par une droite commune, à moins qu’on ne prenne des stations d’où on puisse découvrir trois points dont les positions connues se prêtent à la solution du problème des trois points (8t et suiv. , et N". I, chap. 7 ). De la faculté que nous venons de signaler résulte la plus grande économie de temps , et nous verrons quelle se reproduit dans presque loutes les solutions de problèmes par la boussole.

( Voy. 65.)

IV e . §. Les deux points dont les positions sont données pour repères sont inaccessibles , mais on peut s’établir en un endroit de leur direction, inconnu sur la carte, déterminer la position d' un point accessible.

262. Soient R, P, fig. 62, les deux points inaccessibles donnés, Q le point de leur direction où l’on peut s’établir, inconnu sur le papier, et X le point dont il faut obtenir la position sur la carte , où les points R , P sont donnés en r p.

La première chose à faire est de se transporter en Q , pour viser, avec la lunette de la boussole, la direction QR ou QP des deux points connus, ce qui mettra à mêm% de régler la position du limbe relativement à la direction, donnée sur la

Digiti

l6o LEVÉS

carte, de la trace du premier vertical origine des angles ; ou de déterminer sur la carte la direction de la trace du premier vertical mentionné, que suppose l'arrangement actuel du limbe de la boussole.

, On ira ensuite au point X , d’où l’on visera successivement les points accessibles donnés R, P, en sorte que la boussole fournira les angles p, rr, compris entre les plans verticaux des deux directions XR, XP, et le premier vertical, origine des anglesj et ces angles p, ( « sont évidemment les mêmes que ceux que l’on trouverait, s’il était possible d’observer en R et P les prolongemens RR , PP, des directions XR, XP. Si donc on place le rapporteur comme s’il s’agissait de tracer sur la carte les positions ri , pp , des prolongemens désignés, d’après les angles observés p, n, il suffira de conduire le crayon le long du rayon du rapporteur, diamétralement opposé à celui qu’il faudrait suivre pour obtenir sur la carte les positions roc , poc des directions XR, XP, du terrain ; en sorte que la position cherchée du point X, devant appartenir à chacune des lignes roc , poc' se trouvera nécessairement à leur intersection x.

263. Ici doivent être reproduites les observations faites dans le précédent paragraphe (261) , de sorte que, la solution expliquée n’est réellement mise en usage que lorsque les données de départ l’exigent au commencement d’un levé topographique, ou lorsqu’il faut employer une boussole neuve ou en rectifier une accidentellement dérangée. A l’exception de ces cps, la solution du problème se réduira généralement aux opérations

exécutées au point X , et ne différera pas alors de celles du problème précédent et du problème qui va suivre. ( V oj. 67 et 68.)

V e . §. Les deux points dont les positions sont données pour repères, ainsi que leur direction, sont inaccessibles ; déterminer, avec la boussole , la position d’un troisième point, accessible ou non.

264* Ne pouvant plus se transporter à l’un des deux points R, P, Jig. 63, donnés de position, ni dans leur plan vertical, il sera impossible, soit de régler immédiatement le limbe de la boussole d’après la direction donnée du premier vertical, origine des angles qu’elle doit fournir , soit d’obtenir aussi immédiatement, sur la carte, la direction du premier vertical mentionné, relative à l’arrangement actuel du limbe. . #

Mais si l’on choisit sur le terrain, deux points accessibles R', P’, dont le point X , duquel on veut obtenir la position , devra être du noôibre lorsqu’il sera accessible, on les regardera comme deux points donnés, relativement auxquels il faudra déterminer les positions des points R, P, ce qui rentre dans lc^remier des cas discutés (259).

265. Ayant clone pris deux points r", o", pour représenter, sur une autre feuille de papier que celle où l’on dessine la carte, les positions des points choisis R', P', on se servira de la direction R! P', pour obtenir la trace du premier vertical , relative à l’arrangement accidentel du limbe de la boussole; après quoi on rayonnera les points donnés R, P, et celui X, â déterminer, s’il est inabordable, de

i6a levés

chacun des points ^choisis R', P ce qui fournira leurs positions r /f p /t x-, relatives à r", p". Il ne restera donc plus qu’à construire sur les véritables positions r, p, des points R, P , un triangle rpx , semblable au triangle r t p t x /t et le point x sera • évidemment la position cherchée du point X du terrain (70).

266. On pourra, en opérant de même, obtenir surabondamment les positions P, p', des points choisis R' t P' •

267. La dii’ection^u premier vertical employé pourra être rapportée de la même manière sur la carte. Si cette direction était différente de celle qui pourrait y avoir été donnée, on se servirait de l’une des directions des points R ou P ? vus de R! ou de P ' , ou encore de X, si ce point était»ac-

« cessible, pour régler le limbe de la boussole, de manière à compter les angles à partir du premier vertical dont la trace aura été assignée sur la carte.

268. La manière dont nous avons résolu la question proposée, est celle que l’on doit suivre quand elle se présente au commencement d’un levé topographique. Mais si d’autres opérations ont précédé, de sorte que la boussole fojg||pissc les angles à partir daine origine déjà connue de position sur la carte, la solution est plus simple. On «doit opérer alors comme il a été dit (261), parce qu’on se trouve évidemment da«s le cas qu’on y a prévu.

VI e . §. On ne connaît sur la carte que la position d’un, des points de repère , auquel on peut stationne g’, et la trace du plan vertical que les deux repères déterminent ; trouver à l'aide de la boussole la position d’un point ^accessible.

269. No«s n’avons examiné, jusqu’ici, que les questions dont les solutions sont indépendantes de ,

l’échelle à laquelle on opère, et qui constituent les levés purement à la boussole ; il nous res^î donc encore à examiner les problèmes pour la solution desquels la connaissance de l’échelle est indispensable, et qui font ainsi partie des levés à la boussole et à la çhaine.

Pour résoudre la question proposée, on se transportera au point accessible R fig. 64, pour régler d’abord, comme il a été enseigné, ,1e limbe de la *

boussole relativement à la position donnée, sur la carte, de la direction du pre^per vertical origine des angles; ou bien pour tracer sut' la carte cette direction relative à l’arrangement actuel du limbe de la boussole, en yoblfervant la direction donnée du repère inaccessible P.

Cela fait, on visera le point accessible X à déterminer, afin de rapporter sur la carte sa direction rx', sur laq&elle orf portera la valeur rx de la distance R X mesurée, prisé à l’échelle, et le problème sera résolu ; car le triangle que les deux points r, x formeraient avec la position Je P située . . sur rp' , serait semblable au triapgle RXP du terrain , comme ayant un angle égal compris entre des côtés proportionnels (73).

VII e . §. On commît sur la carte la position d’un des deux points de repère, inaccessibles, et la trace *tlu plan vertical que les repères déterminent ; trouver la position d'un point inaccessible , en stationnant, avec la boussole, à un endroit du plan vertical mentionné, inconnu de position sur la carte.

270. La direction donnée servira soit à régler le limbe de la boussole, soit, à obtenir la position de' l’originb des angles qui convient à son arrangement actiftl , connue nous l’avons pratiqué jusqu’ici; et cela, quoiqu’on ignorg en quel endroit de la carte se trouve la position du point A Jig. 65 , où l’on fait l’observation de la direction RP des deux repères. •

On visera ensuite le point accessible Xsl déterminer, et on rapportera sur la c<frte, et à partir d’uiï point quelconque a t de la ligne rp', une droite a t x' faisant avec l'origine des angles un angle égal à l’angle trouvd^on fera a t x' égal, à l’échelle, à la longueur de la distance AX mesurée sur le terrain; de sorte que, si lion conduit par x' une droite x' x” parallèle à rp', cette droite contiendra la position cherchée du point X. Si donc étant en X, on observe le repère inaccessible R, dont la position r est donnée sur la carte* 011 pourra rapporter comme on l’ajait (260), et à partir du point r la direction rx de RX , laquelle devant contenir la position du point X à déterminer, la fournira par son intersection x avec la ligne x' x".

Si l’on conçoit en effet, par le point x, une ligne xa parallèle à a t x' , le triangle r'j$a sera semblable, à l’échelle, avec le triangle RXA (jb).

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271. On pourra donc obtenir surabondamment la position a du point A , en traçant réellement la ligne xa que; nous venons d’imaginer.

272. Dans le cours des opérations d un levé topographique, c’est-à-dire , lorsque la boussole est déjà réglée pour fournir les aîigles à partir d une origine connue sur la carte, la manière de résoudre le problème énoncé doit subir quelques modifications. Il n’est plus alors nécessaire d’aller stationner au point A ; on vise ce point de la station que l’on fait en A' pour relever la direction XR, que l’on rapporte à l’ordinaire ; 011 trace ensuite sur La carte une parallèle x'a y à ladirection XA observée, et l’on prend à partir du point a / de rencontre de cette parallèle avec la direction des repères rp' , donnée , une longueur a y x' égale , à 1 échelle , à la distance XA , mesurée; par le point x' , ainsi obtenu, on conduit x'x parallèlement à rp' , et l’intersection x de cette ligne avec la direction xr, qui a été tracée d’abord , est la position cherchée de X.

VIII". §. On donne les positions de deux points de repère , a l'un desquels on peut seulement stationner ; trouver à laide de la boussole la position d’un point inaccessible.

273. Ce problème est très- facile à résoudre. S’étant en effet transporté au repère accessible R, jig. 66, on pourra , à l’aide de la direction rp , des repères R, P , donnée sur la carte, obtenir la position de l’origine des angles que suppose l’arrangement actuel du limbe de la boussole, ou disposer ce limbe comme l’exige la situation de l’origine

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lui R,Jig. 67, des deux points de repère R, P, duquel il est permis d’approcher, et que l’on ne peut même pas, par hypothèse, opérer dans le plan vertical que ces points déterminent, il est également impossible de régler le limbe de la boussole de manier^ à compter les angles à partir d’unç origine donnée sur la carte, ou de trouver la position de l’origine qui convient à l’arrangement des pièces de la boussole.

Quoi qu’il en soit, on ira au point X à déterminer, pour rayonner successivement les deux repères R, P, et il est de toute évidence que, les valeurs numériques des deux angles que l’on obtiendra ainsi, subiront pour passer à la valeur numérique de l’angle RXP. On pourra donc tracer sur la carte deux droites rx ‘ , px' , passant respectivement par les positions r, p, des repères, et faisant entre elles l’angle trouvé; de sorte qu’en décrivant le cercle que les trois points r, p, x', déterminent, ce cercle devra passer par la position cherchée de X. Si donc on mesure la distance XR pour en prendre la valeur à l’échelle, et décrire avec elle pour rayon , et du point r comme centre, un arc de cercle quf croise en x celui rx'p qui a été décrit, on formera un triangle rxp, semblable, à l’échelle, au triangle RXP : donc, x sera la position de X.

Ici doivent trouver place les observations qu'on peut lire dans la solution du problème à l’aide du goniomètre (79 et 80).

276. La position x de X étant déterminée comme on vient de le faire, on peut tracer sur la carte, en se servant de l’une quelconque des deux directions xr, xp , celle de l’origine des angles relative

i68 le xÈâ

à l’arrangement îles pièces Je la boussole. Si celte direction u était pas identique avec celle qui pourrait être donne'e sur la carte, on réglerait la boussole pour l’identifier si la chose était indispensable; autrement, on continuerait le levé en se servant de l’origine obtenue.

377. Si la question résolue se présentait dans le cours d’uu levé topographique, la solution en serait plus simple. Étant en X, on relèverait la direction de R, que l’on tracerait en arrière (260) par le point r de la carte, de sorte qu’en prenant la portion rx de la ligne tracée, égale, à l’échelle , à la distance XR, le point x serait évidemment la position de X. Le cas actuel se rapproche beaucoup, comme on voit, de celui traité plus haut (2G9).

X”. §. Les positions de trois points inaccessibles étant données sur un levé, on propose d’y ajouter, à l'aide de la boussole, la position d’un quatrième ■ point, d'où l’on peut découvrir les trois premiers.

278. Tout ce que nous avons fait au X e . § du chap. III pour la solution du problème çnoncé, à l’aide du goniomètre , convient également à l’emploi de la boussole, comme nous allons le faire voir. Quelleque soit la disposition du limbe de la boussole, celle-ci pourra servir à relever, au point à déterminer, les directions des trois points assignés inaccessibles , et des trois valeurs numériques obtenues, on pourra déduire facilement celles des angles qu’embrassent léfc directions observées, prises deux à deux. On se trouvera donc avoir les mêmes données que le goniomètre aurait fournies , et

A LA BOUSSOLE. l6ç)

il sera facile dopérer comme il a été enseigné.

27g. La situation du quatrième point étant obtenue sur la carte, on pourra tracer la direction de l’origine des angles qui convient à l’arrangement du limbe de la boussole, et réciproquement, en partant de la direction de l’un quelconque des trois points donnés , vu de la station déterminée, et» il sera facile de continuer ensuite les opérations de détail.

280. Il est clair que si le limbe de la boussole ♦est disposé de telle sorte que le rayon passant par

l’origine de la graduation , soit parallèle à l’axe optique de la lunette ; l’origine des angles sera précisément le méridien magnétique du lieu de station. La solution de la question proposée donne donc aussi celle du problème que l’on peut énoncer de cette manière : Les positions de trois points inaccessibles étant données, on propose de les orienter relativement au méridien magnétique.

Si l’on connaît de plus la situation des trois points assignés à l’égard du méridien terrestre , la solution indiquée donnera facilement la valeur de la déclinaison de l’aiguille aimantée, par la mesure de l’angle que comprendront entre elles les positions de cette aiguille et du méridien terrestre.

281 . On peut procéder comme fî suit au tracé des courbes circulaires des erreurs , à l’aide desquelles la question proposée peut être résolue. Une première position approximative de l’origine des angles étant tracée à vue sur la carte, on placera les positions relatives des directions des trois points observés. Les trois lignes ainsi obtenues se croiseront généralement deux à deux, et formeront un trian-

Di

gle qui se réduirait à un seul point, si la direction de l’origine des angles, eslirne'e, coïncidait par hasard avec la véritable.

Cela posé, il est clair que si l’on fait varier, sur la carte, la position de l’origine des angles, en la déviant vers l’est ou vers l’ouest d’une quantité angulaire quelconque m, les positions relatives des trois directions observées seront entraînées dans le même sens , et décriront autour des positions des trois points assignés, des angles égaux à w. Le triangle obtenu d’abord sera ainsi rem-# placé par un second triangle plus grand ou plus petit. Dans le premier cas , la première position estimée de l’origine des angles serait plus proche de la véritable que la seconde position. Le contraire aurait lieu dans l’autre cas. On saura donc toujours dans quel sens il convient de faire dévierla position estimée de l’origine des angles, pour réduire à un point unique les triangles Successivement obtenus j triangles dont les .sommets homologues déterminent les trois branches de la courbe des erreurs , qui sert de guide pour la* solution expéditive du problème, comme on l’a vu (84) dans l’exécution de constructions analogues à celles que nous venons d’indiquer.

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