Soil donc généralement ^ \di fraction échelle

c'est-à-dire la fraction indiquant le rapport qui existe ou qui doit exister entre les dimensions du levé et celles correspondantes de la carte topogra^ phique naturelle; soit m le nombre de subdivisions de rétalon de la mesure en fonction de laquelle on veut exprimer ces demièresdimensions: cela étant, il est clair que la longueur des m subdivisions de la mesure employée prise sur le levé, doit représenter la longueur d'un nombre e de ces mesures prise sur la carte mentionnée. On cherchera donc le plus grand diviseur d commun aux nombres m et ^ , et on

effectuera les divisions -9 ^> ^^ ^P^^ conduira à deux

quotiens exacts m\ e\ tels que la longueur de m' subdivisions représentera sur le levé, là longueur réelle de e' mesures ; et généralement là longueur totale de ces m' subdivisions , pourra être inarquée sur une ligne droite tracée le long de la marge du dessin. Cela fait on cherchera les facteurs premiers (p\ q/\ <p", ..., ^^, du nombre é; et ces facteurs indiqueront les divisions graphiques successives qu'il faudra faire subir à la longueur totale des m' subdivisions de la mesure , pour avoir la longueur qui sur le levé représenté une seule de ces mesures.

^7. D'où il suit que si parmi les facteurs premiers <P', <p'\ etc. , il se trouve 2 et 5 , dont le produit

est lo, en les omettant oii obtiendra la longueur qui sur le levé doit représenter une dizaine de mesures. De même s'il se trouve les facteurs 2.2.5.5 de loo, on les omettra, et on obtiendra, après les divisions successives indiquées paf les facteurs restans, la langueur qtti doit représenter sur le levé c^ile d'une centaine démesures enïployées, ainsi de suite.

98. Il peut arriver que lès facteurs de roj 100, iQoo, etc;:, œ se tirouvent point en totalité ou en partie paFn;ii les fefCteurs ^; qj**, etc. , de é. Dans ce cas» on peitt opérer de deux manières différentes pour obtenir les longij^urs des dizaines , des centaines, etc. y de maures employées. 1** On peut omettre les facteurs de î o , 1 00 , etc. , cômtfiruns à é^ et diviser la longueur dés ni subdivision» de Fétàlon, comme^il est indiqué par les autres Jeteurs : après quoi, on ajoutera à elles-mêmes les dernières parties obtenues , autant de fois qu'il y aura d'unités dans le produit des autres facteurs de 10 , 100, etc., ne se trouvant pas dans é.

99. 2® On peut encore compléter , même en totalité, si cela est nécessaire, les facteurs de 10, 100, 1 000 , etc. , qui ne se trouveraient^ point dans e', eu multipliant à la fois ce nombre, et 772', par le produit <Z7des facteurs manquans. Cela fait, on prendra sur là marge du dessin Une tongueur égale à ^ni subdivisions de l'étalon de la mesure , pour la partager en autant de parties qu'il y aura d'unités dans le produit (les facteurs du nombre më^ non communs â 10, 100, 1000, etc. Cette manière de pror

céder doit être nécessairement employée quand les divisions successives de la longueur des m! subdivisions de l'étalon, indiquées par les facteurs de é^ non communs aux nombres i o , i oo , i ooo , etc. , conduisent à des quantités trop petites , et sur lesquelles il devient impossible d'opérer.

100. Si, par exemple, 6'= io5 ou 3.5.7, et qu'il soit question d'obtenir la longueur de la dizaine de nfiesures,on pourra i® diviser la longueur totale des Tïïi subdivisions de l'étalon de la mesure employée, d'abord en 7 parties égales entre elles , et puis chacune de celles - ci en 3 nouvelles parties chacune ; l'opération exécutée, il est clair que les dernières parties obtenues représenteront chacune 5 mesures, puisque; 5 est le facteur de Jo5 omis. Il faudra donc ajouter ensemble deux des parties mentionnées pour avoir la longueur qui à l'échelle représente |a dizaine demesiures cherchée.

a^ Au lieu d'opérer ainsi, on peut au contraire introduire le facteur a de 10 non commun à e' ou io5. Et alors on dira qtie \ni subdivisions de l'étaloti de la mesure doivent représenter ié ou 2.5.3.7 mesures. Il suffira- donc* de diviser successivement par 7 et par 3 la longueur totale des a/w' subdivisions mentionnées, pour avoir ceUe de f^^ dizaine de mesures à l'échelle. Ainsi de suite pour les autres cas qui pourraient se présenter.

ici. Notis avons supposé dans ce qui précède qu'il existait un diviseur commun d entre le nombre m de subdivisions de l'étalon de la mesure employée, et le dénominateur e de l'échelle exprimée par une «

6o LEVES

fraction ayant l'unité pour numérateur; nous avons

supposé encore que le nombre ë ou - n'était pas

un nombre premier. On sent néanmoins que ces diverses hypothèses peuvent quelquefois ne pas avoir lieu.

Dans le cas où il n'existera pas de commun diviseur û?, la longueur totale de la mesure sera la plus petite ligne de laquelle on puisse déduire celles des imités; dizaines, centaines, etc., de mesures sur le levé. L'avantage qu'offrent dans d'autres circonstances, les subdivisions de l'étalon de la mesure ^ disparaît entièrement ici.

I02. Quand le nonibre e' sera premier, on perdra de même l'avantage de pouvoir arriver aux longueurs cherchées par des divisions graphiques successives,' toujours plus faciles à exécuter qu'tine seùlè'division en un grand norabî'e de parties égales.

io3. S'il était enfin impossible de ramenèt la fraction échelle, à la forme de -i e étant un nombre

entier, on ne trouverait jamais pour e' qu'un nombre, fractionnaire, dans le ca$ où le diviseur commun â? existerait. Ainsi le moyen d'obtenir les longueurs de ip, loo, iooo,etc. , mesures à l'échelle, indiqué au n° qq, devrait avoir ici la préférence.

' IV® %, Applications des principes précédens .

.Art. I. .Çofpstruction des échelles dècir^ales r^lqutis>fi,s. p.u, ■ :.. sjrstepi^ piétrique décimal Jrfk^çais*

j o4. Nous prendrons d'abord pour exemple de la

A LA PLANCHETTE. 6f

construction des échelles celle au -rrrr > qui est la 3* de la 4* triade y et nous la construiroYis dans le nouveau système métrique reconnu par les lois françaises. Celte échelle indique qu'une longueur de i ■** sur la carte doit en représenter une de aooo"**- sur le terrain ; ou ce qui est la même chose, à cause que les plus petites subdivisions tracées sur les étalons du mètre sont des millimètres, looo""""* doivent représenter aooo"^''. Or le plus grand commun diviseur *de ces derniers nombres est looo, d'où il résulte quel "^'"'représentera a"*\ Mais a est un riomhTe premier, qui se trouve facteur de lo, de iFoo, de looo, etc.; ainsi une longueur de i6^^- sera représentée sur la carte par 5"**"*"*-, celle de loo"**par So"'"'"', et ainsi de suite.

jo5. On tracera donc onze lignes parallèles équidistantes, comprenant dix bandes égales entre elles et de dimensions quelconques. Et comme, ainsi qu'on a pu s'en apercevoir, la longueur d'un mètre est sensible à l'échelle actuelle, on portera de a vers dj fig. ao , sur la gauche de la parallèle inférieure de dix longueurs de dizaines ou de 5"*"'°', et a leur suite, sur la droite, de a vers c, un nombre plus ou moins considérable de longueurs de centaines , ou de So"*"''"' ; on conduira ensuite par tous les points de division obtenus , une seconde série de droites parallèles entre elles , et dans une direction qui pouvant être quelconque, est le plus souvent perpendiculaire à la direction des premières parallèles tracées, afin de mieux distinguer leurs points d'intersection. Ces premières parallèles se trouve-

6a LEVÉS

ront toutes ainsi divisées sur leur gauche en pôrtions de 5™"""** représentant i o"***, et vers leur droite en portions de 5o"^*"*"- représentant loo"*''.

On écrira zéro att point a où commencent sujr la ligne dc^ les dix longueurs de dizaines dont les points de division seront de droite à gauche y gi^ués des

nombres i, a, 3, 4? â* ^o. Les points de divi*-

sion des longueurs de centaines seront aussi gradués sur la ligne Je, des nombres i , a, 3^ 4*»»-' ^n partant dû même zéro, mais de gauche à dfoite..

Si Ton joiat maintenant l'extrémité droite de chacune des dix divisions de la paralL^e inférieure do^ représentant des dizaines de mètre, avec l'extrémité gauche de chaque division correspondante sur la parallèle supérieure d!^\ par des diagonales; oas diagonales seront parallèles entre elles, ^ les parties des neuf parallèles à de qu'elles intercepteroi^tt seront donc de même longueur , et représenteront aussi des dizaines de mètres.

Maintetiaiit si Ton ne considère que les portions des dix parallèles à dc^ comprises entre la diagonale ah passant par le point zéro , et la parallèle uci de la seconde série passant par le même point , origiyi^ à la fois des graduations des dizaines et des cten^ tailles ^ jces portioins forsoisnt respectivement avec les lignes aé, iiei^ ^i^ triangles dont les cotés suiymAah ou aa', peuveint être successivement représentés 4>ar les ncmibres i , a, 3, 4-^ ix>. Or, fitar

coQ^i^ifition le icoté db^ du plus grand triangle, re-* présente ato mètres; donc les côtés homologues .des dix triangles considérés , c'est • à - dire les portions

des parallèles de la, première série mentionnées, représenteront successivement les longueurs de I , a , 3, 4-'—9 mètres. C'est pour cela que les extrémités dexes parallèles situées sur la ligne dd' ' doivent être graduées de ces nombres ; après quoi l'échelle est tei^minée.

io6. Il nous faut montrer à présent, que les cons-

tructionsetlesgraduationsopérée^donnentlemoyen de prendre sur l'échelle la longueur de ligne qui doit représenter un nombre quelconque de mètres composé d unités , de dizaines et de centaines. Pour cela , on portera la pointe droite d'un compas ordinaire sur la parallèle delà première série numérotée du chiffre des unités du nombre de mètres à représenter, et on ira de gauche à droite sur cette ligne, jusqu'à ce qu'on rencontre la parallèle de la seconde série graduée du chiffre des centaines du nombre de mètres proposé. Laissant la pointe du compas en cet-endroit , on ouvrira cet instrument jusqu'à ce que la pointe gauche aboutisse à l'intersection de la parallèle de la première série dont on a fait usage, avec la diagonale graduée du chiffre des dizaines du nombre de mètres à représenter.Cela étant l'ouverture du -compas sera évidemment égale à la ligne cherchée.

Exemple : Soit 187 mètres àprepdre à l'échelle. J'arrête la pointe droite du compas , au point e, intersection de la parallèle de la première série graduée 7, avec la parallèle de la seconde série graduée 1 00 : et j'ouvre le compas de manière que la pointe gauche aboutisse au point y, intersection de la pa-

levés'

rallèle de la première série employée , avec la diagonale graduée 3o, l'ouverture e/du compas est alors de iSy mètres; en effet on peut la considérer composée de trois parties eg + gh + hf, c'est-à-dire de IOO+ 7 + 3o , ou de iSy mètres.

T07. Réciproquement une ouverture de compas étant donnée, on peut trouver, à l'aide de l'échelle, le nombre de mètres qu'elle représente.

Il faut appliquer pour cela l'ouverture de compas donnée sur la ligne inférieure de l'échelle, de manière que la pointe droite de cet instrument étant située à un des points de division des centaines , sa pointe gauche aboutisse dans la partie de la ligne mentionnée d'où partent les diagonales de l'échelle; alors le nombre affectant le point ,occupé par la pointe droite du compas sera celui des centaines du nombre cherché. La quantité de dizaines égalera la graduation de la .dernière des diagonales embrassées par l'ouverture de compas, laissée dans la position indiquée. Pour trouver le chiffre des unités, on fait glisser la pointe droite mentionnéç sur la parallèle de la seconde série où elle se trouve, en tenant le compas de manière que pendant ce mouvement son ouverture reste parallèle à la ligne sur laquelle on l'avait d'abord appliquée; et quand la pointe gauche aboutit à une intersection de la dernière diagonale embrassée, avec une des parallèles de la première série, la graduation de cette dernière est le chiffre des unités du nombre.de mètres cherché. Cela se prouvé comme dans le numéro précédent.

A. LA KAKCHETTE. 6$

1 08. La combîoaisou de transversales dont nous Tenons de faire usage pour estimer des fractions <l'une longueur de ligne droite est fort ancienne ; car, en 1573, Thomas Digges en attribua l'invention à Cautzler; puis, en iSyy^ Tycho-Brahé dit s'en être servi pour ses instrumens dès 157:^, et qu'il la lenait luî-méme de Homélius de Leipzick.

Art. II. Construction des échelles décimales dans un sj'S'

tlme métrique arbitraire.

1 09. l^Tous allons construire une échelle qui fournisse la loooo^*"' partie des distances mesiurées avec une toise, par exemple, dont l'étalon n'est pas divisé décimalement , en ne tenant compte que des unités de toise. Cette échelle, comme on voit, est celle de t^tts* relative aux mesures anciennement usitées en France.

D'après l'énoncé, i***"* doit représenter loooo"**^; et comme les plus petites subdivisions marquées sur un étalon de toise sont des lignes , au nombre de 864 > on dira encore que 864'^" doivent représe;nter 1000.0**^**'. Cherchant le facteur 16, plus grand commun diviseur des deux derniers nombres, eMe supprimant , on v^ra enfin que S4"*"'* doiVeiit réprésenter 62 S*"***".

Cela posé comme 62 5 est le produit des facteurs premiers 5,5.5.5, $i l'on prend sur une droite une longueur de 54"^*S en la divisant en '5.5.5 parties égales on aura l^lpngueur de 5***^ à l'échelle, puisque 5 est le facteur omis; et la somme de deux dfe

ce ^^"^

ces longueurs fournira celle de la dizaine de toises. Pour obtenir la longueur de la centaine de ces mesures, on divisera les 54"«°" mentionnées seulement en 5.5 parties égales, dont chacune représentera 5.5 ou aS**'"*, produit des facteurs omis; et comme 4.a5 doime loo pour produit, il est clair qu'eti ajoutant ensemble quatre des portions actuelles de la longueur divisée , on obtiendra celle représeutanC une centaine de toises.

I lo. Cela fait, l'échelle est bien facile à construire. Car la toise seule devant être rendue sensible , cwi tracera, comme on l'a déjà pratiqué, onze lignes par'allèles équidistantes indéfinies; que l'on croisera à angles droits par un second systènje de droites .parallèles entre elles, les coupant en portions égales Xn longueur et à celle qui doit représenter lOo""-, obtenue. Puis à gauche et sur les parallèles extrême» du premier système on portera lo longueurs égales .à celle qui doit représenter lo"""" aussi obtenue. On joindra enfin le premier point des divisions portées sur la parallèle inférieure, avec le dernier point ■des divisions correspondantes sur la parallèle supérieure, par des diagonales, allant de droite à gauche, 'etL'éqÛle sera construite. Pour la graduer on écrira "les centaines de toises de gauche à droite à partir duhas de la première diagonale où sera posé *erô. Xes, dizaines de toises s'inscriront au contraire de Imite à gauche sur pes diagonales , et les unités de toise de bas en haut, sur les premières droites pa- 'wliék^tr^^cées, à partir de l'inférieure où on placera terïéro actuel.

A LA PLANCjQTETTS. 6^