III. Nous construirons encore réchelle de

relative à Feniploi d'une mesure égale au pas moyen de rhorome^ et que nous supposerons avoir une Ion* gueur de ^^'^ 5^"* 7'^- : ce qui revient à dire que nous possédons un étalon du pas subdivisé en 355 parties égales à la ligne de l'ancien pied de roi ; parties dont nous pourrons prendre en conséquence titi nombre quelconque sur un étalon de l'ancienne toise. Suivant ce qui vient d être dit, 355"«"» devront représenter 1 0000**", ou, à cause du plus grand com- .mun diviseur 5, de ces deux nombres , ^i*'*"*» représenteront aoooP". Or aoob a pour facteurs premiers les nombres a, 12, a , 2, 5, 5, 5. Si donc on divise la longueur aè.^g. 21, égale à yi"^-*, deux fois successives par 5 , et puis encore trois fois successives par 2 , on aura omis les facteurs a et 5, dont le produit est 10 ; la longueur définitivement obtenue représentera donc une dizaine de pas. Pour obtenir celle qui représente la centaine, il faudra omettre les facteurs a, a, 5, 5; il suffira donc de diviser la même droite ab, longueur des 71"*"" mentionnées une fois par 5, et puis deux fois successives par a; marche que l'on peut d'ailleurs suivre pour arriver comme on l'a fait dans la figure^ à la longueur de la dizaine de pas cherchée.

Les longueurs de la dizaine et de la centaine de pas étant ainsi obtenues, on terminera la construction de l'échelle comme il a été expliqué n"* loS.et suivans.

I la. La valeur moyenne du pas de Thomme d'oà nous sommes partis,est ào"«%454 près égale à o*''-,8*

La facilité avec laquelle on peut, dans cette nouvelle hypothèse, passer d'un nombre de pas au nombre de mètres correspondant, a engagé les officiers au oorps royal des ingénieurs géographes à régler leur narche de manière à obtenir cet avantage. Alors ^ fstk effets ils peuvent se servir de la même échelle poàr prendre les distances mesurées au mètre et Mlles mesurées au pas; il suffit pour cela de ne tompter pour valeur de ces dernières que les r? da fiombi^ de pas trouvés. On est ainsi dispensé, ^ns certaines circonstances, de construire deux échelles différentes sur la marge du levé*

1 13. Au reste l'échelle relative à un pas moyen dé oi^,8 se construit aussi simplement que celle qu'om m déjà exécutée. On est censé posséder alors un étalon du pas divisé en 800 parties égales au pilli- ^oiètre. Ainsi le pas ou Boo"'"'"- devant représenter iooof!) pas, on en conclura de suite que B""''''""* sont la longueur de 1 00 pas. Pour avoir la longueur de la -dizaine de pas , il suffira de diviser celle de 4'"*"*'"' en 5 parties, après quoi on construira l'échelle comme à l'ordinaire.

Art. III. Construeticfn dei échelles quelconques dems tm système métrique aussi quelconque.

II 4* Supposons que le pied de roi soit l'unité de mesure choisie , et qu'au lieu de compter décimale- .ment, on en forme des groupes de 6, sous le nom de ioisesy et que les toises soient groupées elles-mêmes .mi nombre de 7, sous le nom de chaînes. Dans ce cas

JL LA PLAJfCHSTTK. Qg^

«CL De comptera plus par dizaines et par centaine» de pied, mais bien par taises et diatnesj ou, ce qui est au fond la même chose , par groupes de 6 et de 4a pieds.

* Si Téchelle à construire est celle de ~ par exemple» comme l'étalon du pied est divisé en lignes aa

nombre de i44r ^^ ▼oî^ m^ ' P^^^l ou '44 lignes doivent représenter 4^0 pieds. Or, le plus grand commun diviseur des deux derniers nombres est la, d'où il résulte que la lignes devront représenter .35 pieds. Cela posé, il s'agit de trouver d'abord la / longueur de la toise ou de 6 pieds : comme 6 n'est pas facteur de 35, nous allons l'introduire, confurtnément à ce que nous avons prescrit n^ 99; et noua dirons ainsi que 7a lignes doivent représenter aïo pieds. Il résulte delà qu'en divisant la longueur ab^ fig. 2a y de 72 lignes en 5 parties, et puis chacune de ces parties , comme c^f , en 7 autres, celles-ci re« présenteront la longueur de 6 pieds ou de la toise , puisque le diviseur 6 est le seul facteur de a 10 qu€ Fon ait ofnis. Pour trouver la longueur de la chaîne eu des groupes dé 4^ pieds ,^ rappelons -nous que 72 lignes doivent représenter a 10 pieds, et remarquons que ce dernier nombre est le produit des facteurs 5 et 42. Cela posé, on Voit qu'il suffit de diviser la longueur de 7^2 lignes en 5 parties égales , pour obtenir la longueur de 4*-^ pieds ou de. la chaîne^ puisque l\% est le facteur omis de a 10, Les^^ parties telles que cJ, de^ etc., déjà obtenues, sont donc des longueurs de chaîne.

1 1 5. Les longueurs de la toise et de la chaîne étant

70 LËV^S

ainsi trouvées, voici comment on procédera à la^ construction de l'échelle particulière qui nous occupe. On conduira six lignes parallèles à ab^ et par les points c^d,e^b, de division de celte ligne eu longueurs de chaîne , et par ceux de divisioti de la ligne c^d, en longueurs de toises, on fera passer un second système de lignes parallèles entre elles en coupant le premier à angles droits. Cela fait , à droite de la ligne dg les parallèles à ab seront divisées en portions représentant des divines > et la partie y^, de la sixième de ces parallèles se trouvera divisée en 7 portions représentant des toises ou groupes de 6 pieds. Si donc on joint par des diagonales telles que dh, le premier point de chaque division de cd avec le dernier point de la division de^^ correspondante, ces diagonales couperoiit les parallèles à ab en portion égales en longueur à celle que doit avoir une toise, et on sera conduit par un raisoimement tout-à-fait semblable à celui du n** io5 , à conclure que de plus les portions de ces six parallèles comprises entre la première diagonale dh^ et la droite dg^ représentçnt successivement 1,2, 3, 4> 5 et 6 pieds. On graduera donc Téchelle comme on l'a fait dans la figure , et sa construction sera terminée.

V^ §. Choix des échelles pour les cartes à conS"

iruire.

116. On conçoit que l'emploi de telle ou telle échelle n'est pas une chose indifférente. En effet, si Ton veut exprimer sur le plan d'un terrain les plus

petits détails , il (audra choisir une échelle qui permette de les y rendre sensibles. Il faudra employer «ncore une pareille échelle quand on voudra arrè« ter sur le terrain un projet quelconque avec toute l'exactitude possible. Lorsqu'on i^'aura besoin que d'à peu près, on pourra faire usage au contraire 4 une échelle dont la sensibilité soit moins grande.

117. Des échelles reconnues par la commission dont nouis avons parlé , le Dépôt de la guerre n'a ' adopté que les suivantes pour son usage particu* lier. L'échelle n? i ou au -rsVr convient aux levés des plans des villes, bourgs, villages, places de guerre, routes, canaux, fortifications de campagne.

118. L'échelle n^ a ou au —^ est bonne pour les réductions des plans levé,s à l'échelle précédente.

119. L'échelle n** 3 ou au t—tt convient aux levés de la topographie complète d'un pays, des campemens, marches et itinéraires des armées; aux plans reliefs pour l'étude du terrain.

I ao. L'échelle n** 4 ou au -rrrrr doit être employée pour les levés des reconnaissances, eq temps de guerre , des plans de bataille et combats. Où réduit aussi à cette échelle les plans levés à l'échelle pré* cédente, pour en former des recueils maniables^ et faciles à consulter.

121. L'échelle n^ 5 ou au rrhr convient à la gra* vure de la topographie complète levée à Téchelle du

I2îi. L'échelle n** 6 ou au ;^^\-^ fournirait une gravure analogue à celle de la carte de Cassini, dont lechelle est de

nu LEVÉS

i a3. Nons parlerons plus tard des autres échelles^ décimales et de leurs dérivjées, adoptées par le Dëpôt général de lâ guerre , pour les cartes chorographi-^ ques et géographiques, s6us les n** 7, ^^ 9 et i6^ savoir des échelles au vo^

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