THEORIE DES LEVÉS PUREMENT A LA PLANCHETTE

1*^** §. Généralités sur les textes purement à la plan-

chette.

^ 58. Kous avons vu , n^ 1 7 et suivans, que remploi de deux points de repère, pour donner une idée précise des positions respectives d'un nombre quelconque de points distribués sur une surface plane , tels que ceux formant le canevas géométrique de la carte topographique naturelle, peut être varié de plusieurs manières. Nous avons dit alors , que les deux repères étant choisis, le triangle qu'ils forment avec ch9que point indéterminé peut éfre||'abord cdns* truit par suite du mestirage de deux de ses angles seulement. Or, d'après l'usage combiné de I9. planchette et de Talidade, qui a été expliqué au n^ 1 4^3 , on doit regarder l'ensemble de ces deux instrumens comme remplaçant un goniomètre. Ces ins-* trumens pourront donc servir à construire des levés, sans employer des mesures de distance; et ces let^és purement à la planchette s'^xécutant ainsi sans faire usage de l'échelle, la connaissance de cette dernière sera dansce cas une chose superflue, et tout*à;&it inutile pour le tracé de la carte.

1 o4 LEVÉS

iSg. Les combinaisons primitives d'angles que l'on peut employer clans les levés purement à la planchette sont au nombre de deux, savoir :

1° Les angles à chacun des repères, ce qui exige que l'on puisse y stationner, et qu'ils soient visibles l'un de l'autre. Dans ce cas le point à déterminer peut se trouver dans une localité quelconque; il est seulement nécessaire qu'il soit visible de chacun des repères mentionnés. C'est ce qu'on a voulu représenter par \3ifig, 3. Les angles à mesurer y sont marVjués d'un petit arc de cercle, et les lignes, qui doivent être visibles de l'une de leurs extrémités à l'autre , sont accompagnées d'une flèche indiquant la direction, du rayon visuel. •

2^ L'angle à un des repères et celui au point à déterminer. Iltfaut alors pouvoir statipïiner^à ces deux points, qui doivent aussi être visibles l'un de l'autre. Quant au second repère, il peut actuellement se trouver dans une localité quelconque; il est seulement indispensabl^i^u'on puisse le découvrir de chacun des deux points mentionnés. C'est ce que représente la^^. 4j où l'on a employé les mêmes conventions que aans la figure précédente. En disant que le second repère peut se trouver dans une localité quelconque, nous voulons dire qu'il peut ou non être accessible, et qu'on peut ou non y stationner, soit par ëuite de sa forme ou de sa position, soit à cause d'obstacles permanens ou momentanés s'opposant à son approche.

Outre ces deux cas fondamentaux on peut, à l'aide d'artifices de construction, déterminer, ainsi

A LA PLANCHETTE. Io5

qu'on le verra, les positions de points d'après des repères ne se trouvant pas dans des combinaisons dé localité telles que les deux énoncées.

i6o. Dans tous les cas, les opérations que ion sera obligé de concevoir donneront naissance à des triangles superposés en partie, ou se touchant par un côté commun, savoir la ligne qui joint les deux points de repère, laquelle a été pour celte raison nonunée base du levé, aussi bien que celle qui la représente sur le dessin à construire. On verra sans peine, et surtout à cause de la forme particulière qu'il faut donner aux triangles servant à déterminer les points inconnus, qu'il est impossible de conserver , les deux mêmes points de repère choisis pour départ , ou la même base pendant tout un levé. Aussi afin d'éviter l'accumulation des erreurs que l'on pourrait commettre en accotant de petits triangles les uns aux autres, on choisit pour repères de départ deux points situés vers les limites du terrain à lever, et qui en dominent l'étendue, , afin de placer relativement à leurs positions arrêtées à volonté sur le papier, si elles n'y sont pas données préalablement, celles des points les plus remarquables qu'on y découvre, formant avec eux des triangles de forme convenable, et les plus propres à devenir ultérieurement des points de station. La forme à donner aux triangles mentionnés doit êlre telle, que l'angle au point indéterminé ne s'écarte pas de l'angle droit d'une quantité plus grande que j loo grades.

Il est évident que par ce moyen on se procure un

nombre plus ou moins considérable de nouveaux points de repère, ou dé bases plus ou moins étendues, répandues sur le terrain, et àl'aide desquelles on parviendra plus sûrement aux positions des autres |K>in ts inconnus du canevas géométrique de la carte topographique.

i6i. Toutes les fois qu'on sera libre de choisir les localités et les repères de départ, il sera sans doute avantageux de choisir ces deux points accessibles, et d'opérer comme on l'enseignera ^ns ce caè. On pourra même continuer d'agir ainsi , tant que les points du terrain invisibles de ces deux repères n'en serotit pas séparés par des points inaccessibles, où par des points auxquels il serait impossible de faire des stations internâédiaires.

Or, comme ces cas se présentent fréquemment, soit parce qu'on ne peut, soit parce qu'on ne veut se transporter ou stationner à ces points intermédiaires, et que même les deux points de repère de départ peuvent se trouver dans des' circonstances pareilles; il convient de faire voir que, quelles que soient les localités où puissent être deux points assignés ou prisf pour repères, il est toujours facile de déterminer sur la carte les positions d'autant de points que l'on veut, du terrain à décrire. C'est ce dont nous allons successivement nous occuper.

A LA PLAWCHETTE. IO7

11^ §. Ou propose de déterminer la position d*un point quelcohque visible de deux points de repère oit Von peut stationner^ et dont les positions sont données sur la carte.

16%. Les opérations à faire pour arriver, dans le cas actuel, à- la position cherchée, sont de la plus grande simplicité, comme on va le voir par le détail suivant. On se transportera à Tun quelconque des deux repères, au point /? ,7%. 1^8, pai* exemple, où Ton se mettra en station comme il a été enseigné, n® i5i , eu se servant de la position r de ^, et de la position rp de la ligne RP. Alors , faisant passer la ligne de foi de l'alidade par le point /*, on rayonnera le point X du terrain dont on veut obtenir la position, suivant la direction rx' qui devra ainsi la contenir. Gela fait, on ira .au second repère P, où l'on se mettra de même en station à l'aide de sa position je? et de celle /p de la ligne RP; après quoi ayant rayonné le point X suivant la direction px*\ passant par la position p du repère où Ion se trouve , l'opération sera terminée. Car les lignes/?^:", rx\ devant contenir toutes les deux la position cherchée, celle-ci ne pourra être que leur intersection mutuelle x. Et eii effet le triangle rxp dont les sommets r,p^ sont par hypothèse les positions des repères, est semblable au triangle RXP de la carte topographique naturelle, puisque par construction les angles x'tp^ x'pr obtenus sur la planchette sont respectivement çgaux aux angles XRP^ XPR de la carte mentionnée. Le point x est donc placé sur le levé rela-

liverneut aux points /•, /?, comme l'est sur la carte topographique naturelle.le point -ï à l'égard des repères/?, P.

i63. Le point Xdont on vient d'arrêter la position sur le levé étant quelconque, la méthode est générale, et s'applique également à tous les points du terrain, accessibles ou non, que Ton peut apercevoir des deux repères choisis. Cependant, abstraction faite de toute erreur commise en opérant, on ne devra considérer, ainsi qu'on l'a dit n® i6o, comme suffisamment bien déterminés , que les points dont les positions irésulteront de l'intersection de deux lignes.se coupant à angles droits, ou sous des angles n'en différant pas de plus de j loo grades.

164. Le moyen de détermination des positions inconnues des divers points d'un terrain , que nous venons d'expliquer, connu sous le norà de méthode di intersection^ étant d'un emploi très-avantageux sous le rapport de l'économie de temps qu'il procure , on doit chercher à en faire usage le plus souvent possible. Pour cela on lâchera de déterniiner, avant de quitter les repères de départ, lés positions du plus grand nombre de points du terrain où il soit possible de stationner ultérieurement, pour y procéder à la détermination des points que des lignes partant des premiers repères n'auraient fKi donner par ime intersection assez distincte; et celles encore des points invisibles de l'un ou des deux repères de départ. ,

III® §. Ne pouvant stationner qu'à Vun des deux points dont les positions sont données pour repères^ détetminer la position d*un point désigné , où Von peut stationner.

r65. Les opérations à exécuter ici différeront peu de celles dont ou a fait usage dans la résolution du problème précédent. On ira en effet au repère H , fig. 129, où l'on peut stationner, et l'on s'y mettra en station en employant pour cela la position r de ce repère, et celle rp de la ligne RP. Le levé étant dans la situation convenable, et la ligne de foi de l'alidade passant par le point r, on rayonnera le point X dont on veut obtenir la position, suivant la ligne rx' où elle devra ainsi se trouver. Gela fait, on ne peut aller se mettre en station au second repère qui est inaccessible, par exemple ; mais comme il est possible de stationner au point A^ indéterminé, et que la position rx' de la ligne RX^ passant par ce point est connue, on pourra facilement s'y orienter, ainsi qu'il a été enseigné , en se servant des lignes dont il est question. On cherchera ensuite le point x" de la ligne rx\ qui se trouve actuellement dans la verticale de X, pour y fair^ passer la ligne de foi de l'alidade, pendant qu'on rayonnera le repère iP, .suivant la ligne x'p\ laquelle ne passera pas généralement par la position p du repère visé.

Toutefois, l'angle rar'y obtenu sur la planchette sera égal à l'angle RXP de la carte topographique naturelle. Si donc on conduit par le point/; une Aroit^px parallèle à p'x% le point x, où elle coupera la ligne

IIO

LKVES

* rx\ sera la position cherchée du poin^ ^du terrain. En efFet , le triangle rpx formé sur le levé , et s'appuyant sur les positions r,^, des repères , est semblable au triangle RPX de la carte mentionnée ; car d'après l'égalité des angles désignés plus haut, l'angle pxr égale l'angle PXR^ et d'autre part l'angle x'rp pris au premier repère, est égal à l'angle XRP.

i66. Au reste on peut se dispenser de tracer sur le levé la ligne auxiliaire x"p\en faisant usage d'une feuille accessoire de papier opaque ou transparent. En effet, ayant fixé cette feuille de papier au-dessus de celle du levé, sur la planchette disposée horizontalement en Xy on cherchera, comme précédenlnrent, celui de ses points x" qui se 'trouve actuellement dans la verticale de X; puis mettant la ligne de foi

^ de l'aUdade sur ce point x'\ on rayonnera successivement les points du terrain Jî, P, donnés pour repères, suivant les deux directions af'r, x"p% cela fait on enlèvera cette feuille de papier, ^t on la découpera le long des directions mentionnées, si le papier n'est pas transparent. Il est clair alors qu'en faisant glisser la ligne a:"r, le long de la direction rx' tracée sur la planchette lorsqu^on était en /î, jusqu'à ce que l'autre ligne x"p' passe par le point p ; on obtiendra la position cherchée du point X^ en décalquant en X sur le levé, le point x" de la feuille de papier accessoire, située sur le levé comme on vient de le dire. " ' •

À LA PLAlïCHETTE. î I I

I V^ §. O/i ne peut stationner qu'à Vun des deux points dont les positions sont données pour repères.

Art. I. Déterminer le point de station en un lieu désigne.

/67. Puisque nous avons appris, n^ 1 55 et suivans, à déterminer le point pour lequel un levé préalablement orienté se trouve en station, en ne faisant usage que de deux points du terrain et de leurs positions sur le levé, il est clair que la solution du problème actuel se réduit à chercher le moyen de s'orienter au lieu proposé, et la chose est fort simple. On ira se mettre en station au point de repère Rffig. 3o, où cela est possible, en employant pour cet objet la position r de ce point, et celle rp dé la ligne -RP passant .par les deux repères. Cela fait , et du point Ry on rayonnera suivant la ligne rd' un point quelconque Z>, choisi dans le prolongement de la direction du lieu où l'on doit obtenir le point de station , et il est clair que la direction rd' tracée sur la planchette , servira à s'orienter en' un endroit quelconque du plan vertical passant par K^ Dy et par suite aussi au lieu où le point de station doit être obtenu.

Partant, allons orienter notre levé au lieu assigné ,' comme le représente la fîgurç ; et rayonnons alors le repère inaccessible P, la ligne de foi' de Validade passant par la position /^ de ce point sur le levé; la direction pp'y que nous obtiendrons ainsi, fournira par sa rencontre avec la ligne rd' déjà tracée, 4a position s du point de station que

lia LEVES

l'on pourra projeter en S sur le terrain à l'aide de sa verticale.

i68. Il est manifeste que la solution du problème actuel peut s'exécuter bien plus prpmptement que celle du problème qui précède. Eu effet , il Jfallait alors se mettre en station au point X assigné , tandis qu'il suffit ici de s'orienter sur une direction donnée. Il fallait de plus conduire des parallèles aux lignes obtenues sur la planchette, opération dont on est actuellement dispensé , et qui ne laisse pas de consommer assez de temps. ^

On voit d'ailleurs qu'étant orienté en un endroit quelconque de la ligne BD, d'où on apercevra, le repère inaccessible jP, on pourra obtenir le point pour lequel le levé sera en station. L'opération que l'on exécute alors est une de celles que l'on désigne sous le nom de Méthode de recoupement

169. Il est essentiel de bien. saisir la différence qui existe entre les deux problèmes que nous venons de comparer; car, lorsque l'échelleest sensible, leur confusion jette dans des erreurs plus ou moins considérables. Ces erreurs se. manifesteraient dans un levé de fortification, dans le plan d'une petite propriété , en un mot dans un levé spécial quelconque.

C'est pour ne pas avoir fait la distinction que nous venons de signaler que le moyen de lever à la planchette , donné sans restriction par M. Joly dans ï Encyclopédie méthodique^ P^igc 2^71» sous le titre de seconde méthode^ est mathématiquement inexact. Ce moyen, reproduit dans le III* numéro du Mémo-^

A LA iPLANCHFTTE. Il3

fiai du dépôt de ta guerre^ page 48 ^ y est resté dans là même imperfection où il se trouvatt d^abord , au cinquième chapitre de la seconde partie de Vjirt de lever les plans , par Dupain de Montesson.

Art. II. Examen des cas ou les deux problèmes précéden$ tonduisent sensiblement au même point sur la carte^

170. La résolution du dernier problème dont nous venons de nous occiiper étant d^une exécution très -prompte et très-fabile, il cohTient dTexaininer s'il ne se présente pas souvent des circonstances qui permettent dé la substituer sans erreur sensible à la résolution du problème précédent; Eii d'autres termes, il nous faut voir s'il n'arrive pas souvent que la position sur la carte , du point de station, obtenu dans le voisinage' d'un point dû terrain- assigné , puisse être regai'dée , âahs erreur sensible , comme étant. la position de ce point ak^igbié kii« même. ■ -^ . ^.

Supposons que le point X, y^. 3o, 'sôit ii^iir dû terrain dont il &nt obtenir* la position' sur la. carte^ et que, pour chercher le point dé lîtation dans le Voisinage, on aille s'y orienter fcbm me on Ta fàit?^ à Taide de la ligne rd' position dé celle RX àe la. carte tôpographique naturelle , on pourra sans beau-* coup d'essais faire en sorte que la verticale de A^ passe t'ers le miUeil ^è la longueur totale de la ligne rd\ Cela étant , et à cause des dimensions ordinaires* de la tablette de la planchette ,' il est èlair que le point de station s que l'dn obtiendra comme il a été N^ I. 8

ii4 XiJEvi^

enseigné., ne po^r ^a jam^U être éloigiié de plus de Oy'^^'aS de la irertîoalc du point X k déterminer. "Donc le p^dt 5 dn tentam, «itué d%9^ la verticale du point de rtai^ion otiteiw en s sur la carte, ne sera tout au plus qu'à o^'^^fàS de distance horizontale du pqipt ^nî«»|i^q«»éi et par suije le po^nt s ne pourra étrediatapt «Uji: U.ç^tç» de la positipu îneonoue de X, que de la longueur de ligne qui à l'échelle repfcésem».- !t>r'^'-a5. . ,:■ . ; .'

Il M^àmc: pwnpîs 4e reg^irder Iç; point de stalioô jiob|?PH,;ffîmme étant la. position cherchée ^\k.^^ti;Ksfif^^i^,q^?iXi^^ upèlon-

guenifr^e o "'>a5 ins(^n$ible isiur la icarte j et à l'échelle de.-sTTîT . Aa: longu^ju; m^\io^^^ pst. repFi^s^ée

mI^j:. M»^ Wvît^pffgraipjf^ exercé.. peut rendre la di^tan^ ^es. peiia^ts. X^ S^ h\eu moi^s grande. que T>QMi»?rons.ç|ii.,las^pppser^ car il estfipejra toujo^r^ assez bien I# Ueu tfae doit occuper sur la ligne rd' la position inconnue du point Xét déterminer^ pour la.jp^Qçr à i7t)oins de p/'^i dans la yerticale de ce ppi^t, Q iÇft/d^r alors que le po^nt de station s et 9o^ • CQTRWppn^aat S sur le t^rx^^p^, ne pourroi^t êtQe éloignés de glus de p,"^^x dje la verticale du ^u)Ê^ X. P'où il résulte qu'en :çegardap|t Jiç po|p=< s cQmnie la posii^i^ de X^ on ne commettra qu'une «rew^^galçau plus à o,"*** i prisj sur i'écbellç. Si <1oac 0^ lèye ta carte au tïtt^ rerreu:f 9ie;i^tionnée sera, dans ce caStégaleào,'<"^';oooi. U faut conclura de là» et il demeure p^uvé, qu un toppgraphe adroit, h" vant une «^te à «mie qfielcooque des échellps du

A LA PLANCHETTE. ïlS

Dépôt de la guerre, pourra toujours foire la sup]positioQ que nous venons ainsi de justifier complètement dans cettç hypothèse.

V* §. Les deux points dont les positions sont ddnnées pour repères étant inacôessiètes , et pouifànt stationner en un lieu du plan vertical que céi repères déterminent , lieu dont la positioit est néanmoins incofinue Sur la carte ^ on propose de déterminer ta position d'un point désigné où Vôh peut stationner.

1 7:2. ChoisîsfiOQdunpoinl^lieleonqiii^ ^^i/?^.;^!» du lieu au p}aa vertâcal des repère^ RyP^ o^ l'on peut stationner.Traiispo^tons^y no^rçplançl^fte^eit ori^OT* tons potre levéà Taîde de la %Be./ppositionidçf^P» Faisons passer ensuite la ligne de ipi de^ r^Iiaa<}e par le point a' de rp, qui se trouve actuellement d^nm» la verticale de jd^ et rayonnons suivant la Kgne p(pc\ le point JÇ. duquel il lai^t obtenir la poâitioUé Ceta fait»^ peut aller en ^, et y orie.nte^ le levé sâr li| direçlion ^J^ à l'aide de la ligne ^'^' tracée d'abord* Dans: cette position on cherctfera lé pokit x'\ de alx' qui se trouve actuellement d$ns )a vertie^ de X, ft faisant tourner autour de ce point 1^ l#^9 de foi de, l'alidade y on rayonnera succesâivei^ent Us deux repèp^ J?, P, suivant les directions x"r\ x"p\ qui ne passeront pas généralement awQ points r^/>/ ^% qiû| d'après cette construction , feront avec 14 ligf)^ ^ des angles respectivement égaii^ à ceux que fofiA avec la ligne RP^ sur la carte topographique naturelle , les lignes XR , XP.

] |6 LEVlS

DoBcsi parles poinXsr,p, on conduit des parallèles rx, pSj aux lignes t'x'^px", le point x ^nlersec* tion de ces deux parallèles sera la position cherchée du point X; puisque le triangle r^ s'appuyant sur les positions r^p, des repères, est semblable au triangle MXP de la carte topographique naturelle. '

173. On peut au reste se dispenser de tracer les directions auxiliaires r'x'\ px'\ sur la carfe ellemême. Il faut pour cela fixer momentanément par dessus, une feuille de papier accessoire, opaque ou transparent^ et chercher toujours celui x'* des points de ce papier qui se tro Ae dans la verticale du point X à déterminer. On rayonnera ensuite les deux repères A, P^ ainsi que le point acce^ible A du plan vertical^u'ils déterminent , Fali dade passant cons-^ tamment par le point x'\ ce qui fournira sur la feuille de papier employée trois directions ^V, 0:"^', x"p\ Cela fait on enlèvera ce papier qui , s'il n'est pas transparent, sera découpé le long des di<^ rections obtenues* Alors on appliquera la ligo^ar^a' contre celle a!x* tracée arf point A sur le levé , et on fera glisser le papier jusqu'à ce que la direction x"r' passe par le point r. Dans Cette position on dé-^ calquera la ligne arV, en rx sur le levé^ et celle-' ci contiendra quelque part la position cherchée de X On fera de même glisser de nouveau le pa-^ pier, x"a''étànt sur a'x\ jusqu'à ce que x"p' passe par le point/?, on décalquera x"p' enpx sur le lève, et cette dernière ligne devant contenir la position de X, son intersection x avec la ligne rx déjà tra* cée sera la position que l'on cherche.

A LA. PLAKGHETT£. Iiy

174* La position xdeX obtenue, on peut surabondamment ajouter au leyé oélle du point Jl accessible du plan yertioal des; deux repères Jt, P. Il suffit en effet pour cela de conduire par le point x une ligne xa parallèle à x'(i\ car la rencontre a de cette parallèle avec la ligne rp est la position du point jà mentionné, puisque Iç triangle rxa e^t $eifn)j^lablç au triangle flXJ de la carte topographique lu^turelle^ .

YI^ §. Les deux points dont les positions sont don-^ nées pour repères étant inaccessibles, et pouvant stationner en un endroit inconnu de^positioa, du plan vertical que les repères déterminent.

Art, I. Obtenu' le point de station en un lieu assigné. •

175. Le problème actuel a beaucoup d'analogie avec le précédent , et il est clair que sa solution se réduit à trouver le moyen de s'orienter au lieu où le point de station doit être obtenu. Pour cela on ira s'orienter d'abord au point ^ , ^g. 3^ , où le plan ver4ical des repères H , P, est abordable , en ^e servant de la position rp de la ligne BP, de la carte topographique naturelle; et après, a-voir reconnu le point a' de la ligne rp où le levé est pénétré par la verticale du point j4, on rayonnera suivant la ligne a'^d' un point éloigné Z?, dans la direction du lieu proposé. Cela fait, il est clair. que la ligne a'd' pourra servir à s'orienter dans un. endroit quelçojique de 1^ direction JDy et jiar consé-

ii8 hmÉB

qii€Dt au. lieu où le point de station doit être ob* tenu. On ira donc ^m ce lieu orienter le le^é comine il est représenté dans la figure, et puis la ligne de ici de Talidade passant successivement aux positions r, p, des repères jff, P, on les rayonnera suî*irant les directions respective)* /r', pp', dont Fintereectton s sera la position dh point de station cherché. On projettera ce point en S sur le terrain , pour s'en servir ultérieurement comme on le jugera convenable. Tout ce que nous venops de dit*e se justifiera par des raisons semblables à celles qui oi»t été données la? i55 et suivans.

176. On peut surabondamment détermina, si on le désire, la position du point ^, où le plan vertical des repères H, P^est accessible. Il suffit pour cela de rayonner ce point, la ligne de foi de l'ali-^ dade .passant par la position s^ du point de statioh S obtenu , et l'intersection a de la direction m ainsi tracée , avec la ligne zp, sera la position cherchée de j4. Car le levé étant en station , la position de ce point appartenant d'ailleurs au plan vertical de J?,P, doit se trouver à la foi$ sur les lignes sa et rp. La ligne sa n'est pas, comme dans le problème précé* dent, parallèle à la ligne a'd'; ici ces lignes concou-* rent au contraire vers le point -^.

Art. II. Examen des cas ou les deux problèmes précédens conduisent sensiblement au même point sur la carte*^

177. Par des raisonnemens entièrement semblables à ceux exposés dans l'art. II du IV* §, on conclura de même ici , qu'il est permis de prendre

JL LA RiAU^CHETTK. ' 9y^

pottr la poàitioii d^tm poitK <ki terrain situé scKis la tablette de la planéhette, ceile du point de dtatiè^ déterminé poitr Une tdbe situation de riiistrùmenff ^ tatit qu'on lèvd à une des étihelle!^ du Dépôt de )a guette. Cette hypothèse conduira à des résultats d'autant moins erronés , que Ton aura acquis plas de facilité à manier la planchette , et que Ton saura itileux estimer le Hen du levé que doit oecupfer la position d'un point à déterminer.

D'ailleurs phis Féchelle serapetite, plus la distatÂeé du point à déterminer au point de station obCenA dans son voisinage pourra être grstnde. Il est telleà échellefs qui , loin d^iger que la plahctiette psréëé par la verticale du point à déterminer, pernlellfént . au contraire de s*en écarter de plusieurs mètres.

VIP f . Les points dont les positions sotit données pour repères étant inaccessibles ^ ainsi que' leur plan vertical , déterminer ta position d'un point quelconque. ^ *

178. Si Ton ne peut approcher des points i?, P^ fig. 33, dont les positions r, p^ sont données pout» repères, ni du plan vertical que ces points déterminent , on choisira un point accessible F, duquel on puisse découvrir les repères ^ , P, et le point indéterminé Xj dans le cas où ce dernier est lui-même accessible. On pourra alors, ainsi qu'il est représenté dans la figure, et parla méthode expliquée au IP § de ce chapitre, déterminer les positions r\p\ des points R^ Py relativement aux positions vf^ y\ des points

X, Yj prises à volonté sur . une feuille de papier autre que celle du levé,. Cela fait^ il pe .re&te plus pour avoir la position x de JITsur le levé représenté fig. 34, qu'à construire ,sur r/>, un triangle rpa: , semblable au triangle r'p^oc!^ et x sera évidernment la position cherchée^

179. Si le point à d^tçrminçr était inaccessible , il faudrait choisir deux points accessibles desquels on pût découvrir à la fois ce point et les deux repères, afin d'arrêter comme précédemment leurs positions relatives sur une feuille de papier accessoire. Cela fait, on construirait, comme on l'a pratiqué sur les

' positions données du levé , un triangle semblable à celui formé par les positions relatives du point in-* déterminé et des deux repères , ce q^i conduirait à la position du premier de ce^ points.

180, On peut surabondam.ment placer sur ^ levé les positions des points auxiliaires , tels que î^, par des constructions semblables à celle exécutée pour placer la position x du point X

Nous terminons ici l'examen des combinaisons de données que nous avons jugé devoir fournir la solution des divers problèmes que peuvent préseï^ter les levés purement à la planchette , pour passer à celui des combinaisoi^s relatives aux levés à \à, planchette et à la chaîne.

JL LA ^LAIfÇHrrTE. tai

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