Avant de donner la solution actuelle à

1 34 LF.VÉS

problème proposé , nous allons faire une remargue pour la justifier, ainsi que les suivantes. 11 est ciaîr, d'après le contenu de Tarticle précédent, que le point s qu'on y a obtenu est le seul du levé qui, étant joint avec leà points g-^ /ti, t/, par des lignes droites, fournisse deux angles gsm^ rnsd^ accotés , respectivement égaux aux angles g'mm\ m'md\ et par conséquent aux angles GSM, MSI), de la carte topographique naturelle. D'où il suit que toute construction qui conduira à un point du levé jouis* sant de ta propriété signalée sera, par cela même, une solution du problème qui nous occupe.

196. Pour résoudre ce problème par l'intersection d'une droite et d'une circonférence de cercle, disposons d'abord horizontalement la planchette au point S du terrain, et de manière que la ligne gdAw Xeséjfig, 4I9 soit située dans le plan vertical des points S, Z>, et qu'en outre le point g se trouve dans la verticale de S. De ce point rayonnons suivant les directions gg\ gm\ les points G, M, du terrain, et conduisons ensuite par le point d une ligne dtn\ fâisanf avec dg un angle m' dg égal à l'angle m' gg' obtenu : cette ligne coupera la direction gm' en un point m', tel qu'en le joignant avec m par une droite n^m indéfinie, l'intersection s de cette droite et de la circonférence de cercle passant aux trois points g, m\ d, sera sur le levé la position cherchée ^u point 5 du terrain. #

En effet, joignons s avec g et d, et remarquons que l'angle gsm est égal à l'angle GSM de la carte topographique naturelle, puisqu'il a pour mesure

A LA PLAISCHETTE. l35

la moitié de l'arc gm\ qui est aussi la valeur de l'angle g'grn. Par une raison entièrement semblable, Tangle m'sd égale l'angle m'^</, c'est-à-dire l'angle MSD de la carte topographiqùe naturelle; donc le point s est, d'après la remarque faite au Conimen*. cément de cet article, la position cherchée de S.

1 97. Les circonstances lesplusfavorabksàremploi de la solution précédente ont lieu quand les lignes gm'j dni^ se coupent sous un angle ^/nW, suppléa ment de la somme des deux observés, ne s'écartanft pas de l'angle droit d'une qus^itité plus grande que \ 100 grades^ et qu'en outi*e la droite nim^ étant 1» plus longue possible, son intersection avec la eir« conférence gm'ds s'opère sous des angles ayant tnême limite que le précédent.

Art. III. Azr Vintersection de dêUX AviUi perpendiculaires^

rune À Vautre^

198. On peut obtenir par l'intersection de deux lignes se croisantà angles droits, la position cherchée

dnpoint5.Conduisonspourcelauneligne/7i^',/^.439 }>erpendiculaireà^/n, et disposons la planchette horizontalement au poiutâS, de manière que la verticale de ce point passe en m, et que m^ se trouve dans le plan vertical des points S^ G. Rayonnons actuellement lés points MetD suivant les directions respectives mm\ md'; menons g:x perpendiculaire à gm; les lignes rî?^*, md" perpendiculaires à dm^ et construisons enfin l'angle d^mni' égal à l'angle d'mui obtenu. Ce% constructions opérées, gx coupera mm en un

point x^ et, de même dy rencoiitrei^ m'' m en un point^; on joindra ar,/, par une droite sur laquelle on abaissera du point m une perpendiculaire ^ms^ dont le pied s sera la position chebchée du point S du terrain.

En effet, les quadrilatères mgxi^ mdysj étant ins* criptibles à cause des angles droits existant aux points g^ Sj d, il est clair qu'en joignant s avec g et </, les angles gsm^gxm, g' mm\ GSM sont égaux entre ^ux, et qu'il en est de même des angles rnsd^ myd^ m!'mà\ m'md\ et MSZ?. Donc, comme les deux angles ^^m, msd ont même sommet et un côté commun , ce sommet s est la position cherchée de S.

199. Le cas le plus favorable à l'emploi de la solu^ tion actuelle aura lieu, quand chacun des deux angles observés ne s'écartera pas d'un angle droit de plus de y 1 00 grades, et qu'en mêipe temps la ligne xj sera la plus longue possible*

Art. IV, Par V intersection de deux droites se croisant soas

des angles quelconques.

aoo. La position cherchée du point S peut être enfin obtenue par l'intersection de deux droites se croisant sous des angles quelconques, et de la manière suivante. Disposons la planchette horizonta«> lement en «V, et de telle sorte que la verticale de ce point passe par le point g du: levé, ^gr. 43, et qu'en outre la ligne gm de la minute soit située dans le plan vertical des points «S, M. Cela-fait, rayonnons l^^id^ux points G, Z?j, suivant les directions gg\gd' i

A LA PLAKCHETT£. l37

construisons ensuite au point m et sur les lignes gniy md, les angles goig", dmd'*, égaux chacun à Tangle total g'gd' observé , et encore en d^ l'angle mdy égal à l'angle observé mgg\ Alors les lignes gd\ mg'\ et df, md'\ se rencontreront respectivement en X et en ^; et si l'on joint a:, J, et /, g^ par deux lignes droites xd^ yg^ leur rencontre s sera la position cherchée de «S\ ainsi que nous allons le faire voir.

Par suite des constructions opérées, les triangles gmx^ dmy^ étant équiangles, sont semblables , et donnent la proportion gm : mx = my : md; donc, comme ^ussi par construction l'angle gmy égale l'angle xmd^ les deux triangles gniy^ xmd^ ont uc angle égal compris entre des côtés proportionnels , et sont semblables. De là résulte que les angles myg, mdx, eimgr, mxd, sont respectivement égau* entre eux, et que, si l'on joint les points j, /tz, par une ligne droite, les quadf ilatères mgxs^ mdys^ sont inscriptibres. Donc les angles ^^/tz, gxnij g'gm^ GSM, sont égaux entre eux; et, comme il en est de même des angles msd, ^yd, ^gà\ MSDy il s'ensuit que le point s est, conformément à la remarque du n^ 19.^, la position clierchéè de 5.

201. Le cas le plus favorable à l'emploi de la construction actuelle existe quand les angles obser^ vés ggm^ ^gd'f sont à peu près égaux entre eux et à y 100 grades. Alors effectivement les points Xj y, résultent de l'intersection de droites se coupant sous de pareils angles; et les lignes dx, gy^ qui fournissent le point s y ae croisent sous un angle

I 38 LEvis

gsdy à peu près égal à un angle droit augmenté de y loo grades.

Art. V. Méthodes par lesquelles on décalque la position

du point.

ao2. On peut arriver à la position cherchée du point 5, sans exécuter aucune des constructions précédemment indiquées. Pour cela on fixe momentanément une feuille de papier pardessus celle sur laquelle on dessine la minute ; puis on dispose en i5 la planchette horizontalement, et Ton cherche le point / de la feuille de papier accessoire, se trouvant actuellement dansla verticale de S. Par ce point 1^' on rayonne Içs. trois points G, M y Dy.Axx terrain suivant les directions /g^', /m', ^W ; on enlève ensuite la feuille de papier, et., s'il n'est pas transparent, on- dégage, en en découpant trois petites bandes, un des côtés des trois directions obtenues. Alors on fait glisser les deux lignes s'g\ ^ni^ par exemple, sur les points g^ m, du levé qui doivent leur correspondre, jusqu'à ce que la troisième ligne $d' aille se placer sur le point d du levé auquel elje se rapporte. Dans cette situation de la feuille de papier, il est clair que, si Ton décalque légèrement le point s' en ^sur la carte, celui-ci y exprimera la position de S. Cette manière très-expéditive de procéder est, comme on voit, une conséquence de ce qu'on a remarqué au n** 195.

203. M. Joly, ingénieur- géographe militaire, publia en 1786, dans Tarticle Levés des plans de

A LA l^LANCHFTTB. 1 Sq

rEncycIopédie méthodique, la description générdle d'une alidade k trois branches, de son invention (i), propre à remplacer,* dans la méthode que nous venons d'expliquer, Temploi de la feuille de papier accessoire. Que Ton se représente trois alidades à pinnules, dont les règles soient réunies, vers une de leurs extrémités, par un boulon à Taxe duquel viennent concourir les trois lignes de foi. Il est clair que le crin d'une pinnule unique, pivotant autour de ce boulon , passera par les trois lignes de foi, de sorte que cette pinnule pourra être successivement mise en correspondance avec chacune des trois autres pinnules des extrémités opposées. Et, comme l'axe du boulon est évidé pour donner passage à une aiguille, il est possible de décalquer sur le papier, au dessus duquel l'alidade sera reposée , le point de concours des trois lignes de foi^

Cela bien conçu , voici comment on se sert de l'alidade de M. Joly. Ayant disposé une planchette horizontalement au dessus du point à déterminer, on cherche l'endroit où elle est pénétrée par la verticale de ce point, afin d'y placer le pied de l'axe du boulon de i alidade; après quoi on dirige chacune de ses trois branches sur un des trois points du terrain. Dans cette position, les lignes de foi de

(i) On a tout lieu d'être' étonné que M. Mares ^ officier du génie, se soit donné pour Tinventeur de Talidade à trois branches qu'il a décrite dans son ouvrage intitulé : Quelques Idées sur fart elles devoirs de V ingénieur ^ etc., publié en 1797, douze ans après l'impression de l'article de M. Joly dans la partie mathématique de l'Encyclopédie.

l4o LKVis

Falidade embrassent des angles égaux à ceux que nous avons relevés sur la feuille de papier accès • soire. On pourra donc s'en servir comme on l'a fait des directions tracées sur ce papier, et l'on décalquera dé même ici le sommet commun des angles mentionnés, à l'aide de l'aiguille que Ion introduh*a dans l'axe du boulon.

ao4« Il est évident que toutes les méthodes exposées dans ce paragraphe déviennent insuffisantes lorsqu il arrive par hasard que le quatrième point à déterminer, se trouve sur la circonférence de cercle passant par les trois points qu'on y découvre : car alors les trois arcs de cercle, lieux géométriques des sommets des angles observés, se confondent avec cette circonférence, en sorte que l'on ne saurait découvrir quel endroit on en occupe. Tous ses points fourniraient en effet les mêmes données qu'on a obtenues, et à l'aide desquelles on a résolu diversement le problème. On reconnaîtra facilement l'existence du cas que nous venons de signaler , en ajoutant ensemble celui des angles GMDy compris entre les directions ifcfG, MD, du point moyen M aux deux points extrêmes G, D, donnés, dans lequel on se trouve, avec la somme des angles observés entre tç point moyen et les deux extrêmes; car alors cette somme sera égale à deux angles droits. ^ On n'aura donc jamais à craindre ce cas particulier, lorsque l'angle GMD sera égaUà 200 grades, ou quand il présentera sa convexité à l'observateur.

A LÀ PLANCHETTE. X^l

11* §. Déterminer te point de station en un lieu d^oà on aperçoit trois points dont les positions sont données sur le leué*

Art. I. Théonmes préparatoires é

!2o5. IN^ous avons plusieurs fois obtenu le point de station sur un levé^que nous avions préalablement orienté, en ne faisant usage que de deux points du terrain et de leurs positions données. Il s'agit ici de trouver dans la position connue d'un troisième point du terrain, de quoi suppléer aux moyens qui nous ont conduits alors à l'orientation du levé. Pour cela rappelons*nous d'abord , ainsi qu'il a été démontré n^ 1 56 , que , lorsqu'un levé est orienté , les plans verticaux déterminés par lès points du terrain et leurs positions respectives sur le levé, se coupent tous suivant une même verticale, qui est celle du point de station sur le terrain, comme dur la planchette ; et démontrons ensuite Tinversè de cette proposition, que l'on peut énoncer de la manière suivante.

206. Lorsque la situation d'un lei^é disposé horizontalement sur le terrairi est telle, que les plans verticaux déterminés par trois points de ce terrain et leurs positions respectées, se coupent suivant une même verticale , le la^é est orienté , à moins que l'intersection des plans mentionnés n'atteigne la circonférence de cercle déterminée par les trois points du terrain, cas auquel le lavé peut n'être pas orienté.

l4tl XEVi»

Supposons en effet que les trois points a^byC^ du leTé,/%". a7, soient les positions respectives des trois points A y Bi r, du terrain , et que les plans verticaux des points A^ a; B^b; et C^ c; se coupent suivant la verticale Ss du point 5 du terrain. Cela étant, le levé doit être en général orienté^ c'est-à-dire que les lignes ac, bc^ doivent être respectivement parallèles aux lignes ^C, BC, de la carte topographique natu^* relie.

Si cela n'était pas, on pourrait conduire cà et cU parallèles à j4C et BC, et alors on aurait la propor» tion ca' : cb' := CA : CB. Mai&, puisque a, b, c, sont les positions des points A^ B^ Cj on a CA : CB z=:ca: cb : proportions qui conduisent à celle-ci , ca' : cl/ =: ca : cb. Les deux triangles aca^ kçb\ doivent donc avoir deux côtés proportionnels; et, comme les angles al(J?'\ acb^ sont tous deux égaut à Tangle ACB^ il s'en^suit que les côtés proportion^ nels mentionnés comprennent des angles égaux entre eux, et qu'ainsi les triangles aca\ bàb\ doivent être semblables* L'égalité des angles homologues de ces triangles fournit^ angle cb'b = angle caa ; et par suite, angle sàc = 200 grad. — ca'a = ûoo grad. — cb'b. Or la somme des' angles du quadrilatère sàcb' doit égaler quatre angles droits : on a donc (a!sc-hcsb') -h scie -f- dch -f- €b's:=L 4oo grades, ou YÀeaiASC-^^CSB) + (s^oo grad.— c^^^) + ACB+cb's sz: 400 grades , ou en faisant les réductions possiblesi ASC -H CSB + ACB = aoo grades.

Telle est la condition à laquelle conduit Thypo* thèse que ab et bc ne sont point parallèles à AB et

A LA PLANCHKTTF. l43

BC. Lors donc seulement que cette condition sera satis&ited'elte-ménie, Thypothèse énoncée pourra avoir lieu; et, comme la condition trouvée signifie que le quadrilatère 5>^^C doit être in^criptible, il s'ensuit que , toutes les fois que le point de station devra se trouver sur la circonférence de cercle déterminée par les trois points du terrain dont les positions sont données, il pourra se faire que le levé ne soit pas orienté, quoique les plans verticaux passant par ces points et leurs positions correspondantes, se coupent suivant une même verticale : pour toute autre situation du point de station , le levé sera orienté*

^07. \Afig. ^^ est destinée à rendre sensible la démonstration précédente, g, m^ d, représentent les lieux des positions des points G, M^ D, du terrain, le levé étant orienté de manière que le point de station S se trouve sur la circonférence de cercle SGMDS* de même g\ ni^ d , représentent les lieux des positions des points mentionnés , le tëvé étant orienté de telle sorte que le nouveau point de station «y se trcKive aussi sur la circonférence de cercle SGMDS'. Cela étant, ies angles GSM^ DSM, sont respectivement égaux aux angles GS'M^ DS'M* On pourra donc prendre les longueurs sg\ srri\ sd'' égales chacune à chacune aux longueurs s!g\ àrri^ sd\ et le triangle g^W^'' ainsi formé, sera égal au triangle g*md\ et par conséquent égal au triangle gmd. On pourra donc considérer g"m"d'\ comme étant une situation particulière des points ^, m, rf, au lieu S où le levé était d'abord orienté ; et il est clair que ,

l44 LEVÉS

quoique les plans verticaux G, ^'; M^ m"; Z>, J"; se coupent suivant la même verticale du point S, ap* partenant à la circonférence de cercle SGMDS\ le triangle g"ni'd" n'est pas pour cela orienté, puisqu'il faudrait qu'il se confondit avec le triangle gmd^ ce. qui est impossible, à cause de l'inégalité existant entre les droites jg^, sm^ sdj et leurs correspondantes s' g' y s'm'j s'a!.

Art. IL Solution du probteme par^ la courbe des erreurs ^

dite courbe de recherche»

208. On sait que tout problème graphique peut être résolu par dés courbes des erreurs particulières ; celle qui donne 4a solution du problème proposé a été nommée courbe de recherchée Afin de pouvoir clairement Représenter la construction de cette courbe par une seule figure ^ nous avons été forcés d'user d'un artificeque nous allons expliqiier. G»A/,Z>, fig. 45, sont trois points du terrain, et g^, m, rf, leurs positions sur le levé tendu sur une planchette , dont l'axè du pivot est. représenté par la verticale de P* Il est clair qu'en faisant tourner la planchette d'une quantité angulaire quelconque autour de*son pivot^ les points gj m^d^ et G, ilf , /?, prendront une nou* velle situation relative différente de la première , et qui sera la même que celle à laquelle on parviendra , en supposant que la planchette soit restée fixe, pendant que le terrain a tourné autour de la verticale du pivot P, d'une quantité angulaire opposée et égale à la précédente.

À LA M.Aîr6HETTE. l45

^ô^. Cela posé, pour obtenir Te point de station en uh lieu assigné, il faudra s'y aller orienter à vue d'oeil, comme le représente la^^". /|5, où g^m^dj et •G', M\ D\ indiquent la première situation relative des points du levé, et de ceux du terrain qu'ils représentetit. La ligne de foi de l'alidade passant successivement aux points g^m^d^ on rayonnera tour à tour les points correspondans G\M\ U^ du terrain, ce qui fournira sur la planchette trois lignes g^i'i", iwii', d\"\^ qui, par leurs rencontres mutuelles, donneront généralement naissance à un triangle \\\'\ vulgairement appelé chapeau i car ce n'est que dans le cas ouïe levé serait réellement orienté, que les lignes mentionnées concourraient en un point unique, auquel se réduirait alors le triangle obtenu.

Afin d'arriver à ce point, donnons un petit mouvement de rotation à la tablette de la planchette, autour de son pivot P, et à l'aide de sa vis de rappel. La situation respective des points g^ /w, t/, et G\ M\ /7, changera; et d'après la remarque que nous avons faite tout d'abord, elle pourra être représentée par celle des mêmes point^ g^m^d^ et des points G% M'\ D*^ que l'on obtiendra en prenant sur les arcs de cercle GG^ M'M^ DD^ ayant pour centre commun le pied de la verticale P, axe du pivot de la planchette, des portions d'arcs GG\ MM\ DIJl\ d'une amplitude égale à celle du mouvement de rotation imprimé à la planchette, et dirigées dans le sens opposé à ce mouvement. La seconde situation de la minute relativement au terrain étant ainsi reprér N« I. lo

l46 . LITVJKS

sentée, on dirigera Talidade vers4es points CyM'^If^ Am terrain, sa ligne de foi passant respectivement aux points g, m^dy et Ton obtiendra ainsi trois lignes ^a'a', ma 2', ^a'^a, qui par leur rencontre fourniront lin second triangle aa'a" plus petit que le précédent; <k sorte Nque ses trois sommets seront plus voisiîis de la position du point de station que ceux du

triangle ii'i^

En continuant d'agir de la même manière, on <>btiendra un troisième triangle 333" plus petit encore que le second, et ainsi de suite; de sorte qu'il /est concevable qu'après un plus- ou moins grand jiombre de tatonnemens, on parvientiune situation relative de la. minute et du terrain, représentée par les points g, m, ^/, et G, M^ Z>, telle que les lignes gs^ msjdsy fournies par les trois positions de l'alidade, concourent e^ un point unique ^, qui est ainsi la position du point de station au lieu ou l'on opère,

a i o. Afin de diminuer le nombre de tâtonnemens à exécuter, on joint par des courbes i a 3, iy3', i"a"3<', les sommets correspondans dés trois triangles successifs, et on prolonge ces lignes conformément à l'esprit de leur courbure , jusqu'à leur point de concours estimé s^ qui doit être celui de station. Pour le vérifier, on y &it passet la ligne de foi de l'alidade, ainsi qu'au point m, par exemple, pendant qu'on dirige le plan de coUimation de cet instrument sur le point correspondant M, à l'aide du mouvement horizontal de la planchette; puis on trace les directions fournies par les rayonnetùens successifs des points G, fi, la ligne de foi de l'alidade passant ve»-

A LA PLANCHETTE. l/^'j

pectîvement aux positions g^ d, de ces popts. Si ces directions aboutissent en ^, ce sera une preuve que ce point est réellenfent la position de celui de station.

Si cette circonstanée n'avait pas lieu , on obtiendrait un tout petit triangle, que l'on combinerait avec les trois précédens, pour rectifier le dessin des courbes de recherche tracées, de manière à estin^er plus exactement leur point de concours ; .on vérifierait ensuite la position de ce point comme nouveau point de station , ainsi qu'on Ta vu tout à l'heure ; et l'on conçoit ainsi la possibilité d'obtenir la position du point de station avec toute l'exactitude désirable. v

21 1. XJn moyen d'estimer assez bien, du premier coup, le point de concours des courbes de recberche, consiste à combiner Jes trois trian^^les successifs

ivi ",2a'2",33'3", avec un triangle 4 4'4''p''^^®"" comme les précédens ; mais, ainsi que le représente la figure, après que la situation respective du terrain et du levé, repré3entée par g,m,d, et G"\ M'\D"% a dépassé celle pour laquelle le levé eièt orienté , représentée par g^m^dj et G, M^ D. Ce triangle 44'4" est situé dans un sens opposé à celui des trois pré* cédens; et, comme ses sommets fournissent trois points des courbes de recherche au delà du point où elles doivent concourir, il est évident qu'on pourra obtenir ce point avec plus d'exactitude : car, outre que la marche des courbes sera mieux exprimée par quatre points que par les trois précédemment employés, le concours des courbes doit se trouver sur

17,8 LETÉS

leurs portions ainsi déterminées, et non sur leurs prolongemens.

m 2. Nous avons supposé que le triangle aaV, obtenu lors de la seconde situation donnée à la planchette, est plus petit 'que celui i l'i" fourni par la première situation de cet instrument. Cette supposition ne peut souffrir aucune difficulté^ car, si le second triangle était plus grand que le premier, ce serait une preuve que Ton n'aurait pas mû la planchette dans le sens convenable, et il suffirait, poyr obtenir des triangles successivement plus petits , de faire tourner la planchette autour de. son pivot, dans le sens opposé à celui du premier mouvement qu'on lui aurait imprimé.

• Art. III. Autres manières de résoudre le 'même probteme^

il 3. Un peu de réflexion suffira pour montrer que l'on peut appliquer à la recherche du point de station en un lieu, les méthodes expliquées ^ux divers articles du précédent paragraphe, pour obtenir la position d'un point assigné d'où ou découvre trois autres points dont les positions sont connues. Il n'y aura de différence que dans la manière de commencer les opérations décrites, qui toutes se bornent à employer diversement les angles observés au point que l'on occupe , entre le point moyen et les deux extrêmes. La planchette étant disposée horizontale- , ment au lieu où le point de station doit être déterminé, on obtiendra les deux angles mentionnés en ayant égard aux attentions prescrites, sauf celle qui consiste à mettre un point de la minute dans la ver-

X LÀ PLAIYCHETTE. 1^9

ticale de celui à déterminer, ou à se servir du point du levé 'qui se trouve dans cette vecticale; ce qui ne peut être fait dans le cas actuel, puisqu'il n'y a aucun point assigné dont il faille exclusivement déterminer la position.

Les angles entre le point moyen et Jes. points extrêmes étant donc obtenus autour d'un point quelconque de la planchette , on projetera ce point par «me verticale, dont le pied sur le terrain sera lé point de station. La position de ce point sur le levé résultera du tracé de celle des constructions décrites que l'on voudra suivre, ou de la manœuvre expliquée pour l'obtenir par un décalque, manœuvre

dont l'emploi préseute quelque avantage.

Art, IV. Examen de$ cas oh. Von peut regarder comme la position d^un point assigné du terrain^ celle du point de station obtenue dans le voisinage^

21 4- Il serait superflu de reproduire ici les obser^ vations.fàites dans des circonstances semblables à celles de cet» article, auxn®* 170, 171, 177 et 190, dont le contenu s'applique entièrement au cas actuel, tout comme les conclusions qu'on y a prises.

21 5. Les méthodes expliquées dans ce paragraphe deviennent insuffisante^ , comme celles qui font le sujet du paragraphe précédent, lorsque le point de station doit se trouver sur la circonférence de cercle dét'Crmîaée par les trois points dont les positions sont données. La raison de cela est une suite manir feste du contenu des n?^ aodet 207.

1 5o LEViS