I.. i droite si, regardant deux

' ( circulaire si, regardant trois f j

t .;<'-, . > des points

surface ^a\lf^^f. ^rWWdw» «^« ^^ ^ I spkenque si, regaç^ant quatre )

de l'espace qu'elle occupe actuellement comme fixes , on peut lui donner ensuite toutes les positions imaginables passai^tpar ces points, ^ans là déranger du lieu qu'-elle oooupaift d'abord dan& l'equice ; ce qui peranet .de &ir« coiuciden ^nçce^^v^m^nt ^y4§ç ui^ qHç](Q9)^q|i^ ^f poiqfs cbçisja tqua \^^ ppûit^ 4^ la |ign« qa 4ftla^ii,çftçç çjîiç Vqn con^idèrç.

De cetfe définition géuérî^Ie résulte le moy^n de façopner les corps sous Tune quelconque des formes géométriques élémentaires sans l'emploi d'Aucun iostnimeiit ; et par le simple Ibottemelit dea uas contve les autres, ainsi que cela se pratique

dani hj^ex^ i^ aiEit9<. Il ft>q«^it aussi la démon^tratiq^ dç toi^^s

les propriétés particulière à ç^Çuoe dçs lignai^ çt çlçs. ^^rfaces l^e^tio^nées ;^ ainsi que l^s moyens de vérifier, comme on le fait, à l'aide de points liés entre eux d'une manière invariable ,' si une ligne est droite oii circulaire, et si une surface est plane ou spbérique*. . »

A LA. PLAîTCHETTE. 3

3. Le desdin graphique eàt donc un moyen général d'expreddicm , dont led principes , réutiis eu corps de doctrine par riiinstre Monge , forment aujourd'hui cette utile et féconde partie des Mathéma-

» « p II » I ■ I ■ ^1 11 ■ Il I I I >■ ■ ■ ... I I 1 .1»

Le passage de la géométrie élémentaire à la géométrie transcendante s'effectue d'une part à l'aide des sections coAiques, dont la ligné droite ti k Ugne circulaire iiont des cas particuliers ; et d'atttre part au mdyen des surfaces du second ïfrdréy dont \eplan et la sphère , et encore le cjrlindre et le c6ne droit sont des cas particuliers.

Si ce» deux dernières surfaces sont étudiées en partie dans la géométrie élémentaire y c'est qu'elles jouissent, avec quelque resrriction, de là propriété générale commune à celles qui en ferment le doraftirié. On peut en effet rédiger lettfs définitÛMis de la manière sucrante :

I* Une surface esl cyUmirique droite j si , regardant ^uar/v des points de l'espace qu'elle occupe actuellement comme fixes , on peut, sans les abandonner, lui donner ensuite toutes les positions imaginables passant par ces points, sans la déran'ger dix lien de ?eiipace qu'elle occupait d'aBoi^; ce qui péi^eC <fe faire coïncider successivement tous ses ^aittits àvee WD quelconqod dcs<poîntS'cihoms.«

On. pourra donc encore façonner les corps soua la forme cylindrique droite sans faire usage d'instrumens , et par leur simple frottement mutuel.

1^ tTne ^rface est conique droite, si , regardant quatre des pioibtft'de Fespace qu^ellé occupe actuellement eottttnef fis^éi/on peut ftit d<mâer ensuîtd qam^ef g»oU|)es de fàsTtûévtA possibles différentes y n'oecupant quti quatre fiéul di^férens de Pea^ee.

Il n'est plus possible ici de faire successivement coïncider tous les points de la surface avec un des quatre points choisis.' Aussi ne peut-on pas sans instrument façonner un corps sous Ik foVme'obniquè ét6\Vé\ t.e tonhtéX* la règle sout Ui pltiâ siiAipIès dès itistrUttLètià) <|tiie Fb*' puisse cofkAD^rettùicfÀt' «lAployet^ pour cet objet.

4 LEVJÉS

tiques, connue sous le nom de Géométrie descriptis^e^ base indispensable de la science de l'ingénieur*

4» Le cours de topographie et de géodésie, dont nous avons été chargés à l'École d'application du corps royal d'état major, a eu pour but d'appliquer ta géométrie descriptive à la représentation graphique des corps en général , et du globe terrestre en particulier. Toutefois, comme le dessin graphique, malgré la généralité de ses moyens d'expression , n'est susceptible que d'un certain degré d'exactitude, nous avons appelé à notre secours^ lorsque nous l'avons jugé nécessaire , tant les deux Trigonométries que l'Analyse algébrique.

5. La forme et les dimensions d'un corps seront parfaitement connues, et on en aura donné la description la plus exacte, si l'on est arrivé k faire connaître d'une manière assez simple les positions de tous les points qui en occupent la surface , les urts ù l'égard des autres.

Toute description d'un corps doit donc tendre à ce but , et celle-là sera la plus parfaite qui en approchera davantage et avec le plus de simplicité.

6. Il est manifeste que toute description graphique d'un corps, si elle est bien faite, doit mettre à même de façonner de la matière sous une forme entièrement semblable à celle du corps décrit. Le corps résultant de cette opération, ordinairement plus, petit que celui qu'il représente, se nomme modèle y relief bas-relief plan et carte-relief demibosse ^ ronde-bosse^ etc., suivant le genre des corps dont il retrace la forme.

JL LA PLAITCHETTK.

IP §. Comment on peut rapporter des points quelconques de V espace , à des repères géométriques.

Art. I. Des points de repère.

7. Pour arriver à la connaisse) nce de la disposition respective d'un nombre quelconque de points si* tués dans l'espace , il est nécessaire de les rapporter à un nombrie suffisant de repères géométriques,

^ propres à conduire à leur position individuelle. Les repères à préférer seront ceux qui conduiront à chacun de ces points , par la route la plus simple et la plus directe, laquelle est évidemment la ligne droite plus courte distance de ces points aux repères choisis.

Or, ces repères ne pouvant être que des points, des lignes ou des surfaces , il convient d' examina: successivement les résultats qui leur sont particuliers.

8. Prenons d'abord un nombre suffisant de points de repère parmi ceux dont nous voulons arrêter les positions relatives. Si l'on connaît la plus courte distance d'un point indéterminé au premier points de repère , on sait déjà que le point indéterminé doit se trouver quelque part sur la surface d'une sphère qui aurait pour centre ce premier point de repère ^ et pour rayon la plus courte distance mentionnée.

Si Ton connaît encore la plus courte distance du , point indéterminé à un second point de repère j il devra de même se trouver quelque part à la surface d'une seconde sphère qui aurait ce repère pour

centre, et pour rayon sa plus courte distance au point indéterminé; d'où il résulte que ce dernier point doit ne trouver nécessairement sur la circonférence de cercle intersection des deux sphères imaginées.

Ainsi donc, si Ton connaît enfin la distai)ce du ppint indéterminé à un troisième point de repère, il devra se trouver à la surface d'une troisième sphi^e ayant ce troisième repère pour centre, et pour rayon la plus courte distance actuelle. Ce point sera donc l'une des deux intersections de la circonférence de cercle au nous avons vu qu'il doit se trouver > avec la surface de la troisième sphère considérée : ou, ce qui est la même chose, l'un des deux points de rencontre de cette circonférence de cercle , avec celle qui résulterait de l'intersectioD de son plan par la surface de la troisième sphère mentionnée.

Or, comme les deux points d'intersection entre lesquels notre choix doit se fixer, ne se trouvent jamais du même côté du plan que déterminent les trois points de repère , centres des sphères imaginées , il nous suffira dans tous les cas, pour n'avoir aucune incertitude, de savoir de quel côté de ce plan se trouve le point indéterminé.

9. Trois des points considérés, pris pour repères, sont donc suffisans pour conduire aux positions de tons les autres , à l'aide des pkis courtes; distancés qui les en réparent. Néanmoins comme il est impossible d'arriver aux points indéterminés, autre» • ment que par k& surfaces sphériques dont ils sont les intersections mutuelles ; que Ton ne peut assi*

gùér immédiatement à chaque poitit de tëpère la direction datis l'espace , du rayon dé ^hère , pîud cottt-te distance qui CôtldUit à Pun quelconque deà points indéterminés , il cottVîefit d'examiher si, en pt'enant des l'epèreij d'atltre nature, on ùè pourrait pas se procurer uti pareil avantage.

Art. II. Des lignes de repère.^

lô. Le» résuttfttâ léà ptù^ simples ^uè pti'î^sent ttcAsê foitttm des fep^èrés linéaires^ sont évidemment

ceux ùù nom serons cotiduits en pren^ant des U^àd

droites, passant chacime f^t d€fut des pdififfs ââht nous tOdlOAd connaître le» positions relatives. C'est dioftc d'un pareil système ée f-epèreaf qu'il <iùttviëiH de nou» occuper acttf eflement. Et d'abord , éi Ton contait kl valeur de lai plus cotitte distahèé âii pùïttt iridétermiYié k litfe première drùiêe de repère, on sait par-là mémef Cftié ce poiât iAfdéterminé doit se ti^oiiver Sur «ne sm^face cylind^iqiïe , ayant potn* Aie cette? dtaiiê de tëpefe^ et potir SéètiôW peï'pèndieu* laire à eét sfxe , une circonférence de éei^cfé ffiM rayon égal à la plu^ courte estante mèhWotiWfe.

Mais si, apvec 1» tengWettr de la plÉ^ c^rtirte distance dôfth^ée?, oiy conili^ ènCbi^é le Ireti de ^oii pied mt la droite de tepère , i> est étAv que le poiiît xadéterMAlié ne petrt se «Couver qtfé sur Irf cîrcôWliérence dfe cerele îftttefseetîon du cylindre iititeir* tionûé aveé tih pfclri pàSSiant par lé ]!rifed dé Bà plus eourte distant, en ^etfmÊktxùsàt^ à la p^ethièré diEk)ite de repère.

Sf l^ot* èouttàAt dé ittètat là pllis? COiiVfé^ distancé

du point indéterminé à une seconde droite de repère^ ainsi que le pied de cette distance sur cette droite, on sait que le lieu du point considéré doit se trouver sur une seconde circonférence de. cercle d'un rayon égal à la plus courte distance actuelle^ et située dans le plan perpendiculaire à la deuxième drc^ite de repère , passant par le pied de la plijs courte distance où le centre du cercle est situé.

Donc la position du point indéterminé ne peut être que le point ou, au plus, l'un des deux points d'intersection des deux circonférences de cercle, où nous avons vu qu'elle doit se trouver. Les plus courtes distances d'un point à deux droites de repère suffisent donc avec leurs pieds, pour déterminer la position de ce point. Car si les circonférences de cercle considérées se coupent en deux points , c'est qu'alors les droites de repère se rencontre- . ront et détermineront un plan unique relativement auquel les intersections seront symétriquement placées , et l'on saura toujours laquelle des deux çst la position du point indéterminé, 'd'après le côté du plan où ce point se trouvera.

1 1 . On voit ainsi qu'en prenant des droites de repère , deux suffisent au lieu de trois points de repère qu'il nous a fallu. précédemment. Il en serait de même si au lieu de lignes droites on prenait des lignes courbes quelconques pour repères, car alors la position du point qu'on leur rapporterait^ serait à la fois sur deux circonférences de cercle ayant pour centre les pieds des plus courtes distances sur les courbes de repère^ et situées dans des plans normaux

▲ LA PLANCHEtn. 9

OU perpendiculaires à ces lignes. Toutefob ne pouvant arriver, daVis te cas actuel, à la position du point indéterminé sans passer par les deux circonférences de cercle considérées, on ne peut non plus assigner ici les directions immédiates des plus courtes distances qui conduisent directement des droites de repère aux points mentionnés. Il nous reste donc à examiner si des surfaces de repère ne nous offriront pas cet avantage. '

Art. III. Des surfaces de repère.

12. Il est manifeste que les résultats les. plus simples que puissent fournir des surfaces de repère , résulteront de l'emploi de surfaces planes. Or en rapportant un point quelconque, MJig. i, à ufi plan de repère RPE^ au moyen de sa plus courte distance Mm à ce plan, et du pied m de cette plus courte distance, il est clair que le lieu du point considéré sera l'extrémité M d'une perpendiculaire mM^ au plan de repère; égale à la plus courte distance connue, partant du pied m de celle*ci sur le plan, et dirigée du côté vers lequel on sait que le point se trouve situé.

1 3. Un §eul plan de repère RPE passant par trois des points qu'on veut lui rapporter, est donc suffisant pour conduire , à l'aide de droites perpendiculaires dont on connaît les pieds /w, m', ni\ ni\ sur ce plan , aux positions de tant de points M, M\ M'\ M", de l'espace, que l'on voudra. Un tel moyen de donner une idée précise des positions des points de la surface d'un corps, est évidemment le plus simple

lO LEVES

de tous ceux que l'on pourrait ima^giner: aussi lui a-t^on généralement accordé la préférence.

On désigne ordinairement le plan de repère RPEsoiis le nom de plan de projection ^ les plus courtes distances Mm , M' m' sons celui A' ordonnées^ et leurs pieds m, m\ m", par le nom de projections orthogchnales des pointsilf , M\M" de t'espace correspondans.

i4- La description graphique d'un corps^ oo ^ si l'on veut, le moyen de donner graphiquement sur sa forme et sur ses dimensions toutes les notions désirables, se réduit ainsi aux deux choses suivantes :

I® Faire connaître les positions relatii^es des projections orthogonales de tous les points de la surface de ce corps y sur un plan de projectiort ;

2** Faire connaître les longueurs réelles d& eha-^ cune des ordonnées correspondantes.

i5. Ce que nous venons de dire pùùt itn plan s'étendra facilement à l'emploi d'une surface courbe de repère RPE ^fig. 2. On peut eu effet lui ra^orfer également les points quelconques M^ M^ M\ à l'stîde cte leurs plus courtes distances Min^ Mni^ M' ml' ti, cfes pieds m, m', m" de cel}es-<;i sur cette surface. La seule différence qui existe sera la difficulté de? d"é^ termine», pouf tous les cas, îes directions êtes perpendiculaires ou nomtcélès à la sirrfaee coui^be die repère, directions dont la connais^nce est iudtspen^ sable, puTsqtte c^est le long de patteilles lignes que s« comptent les plu^ comrtes' distances nàentionnée^.

La surface courbe de repère se nonnne erkCtaresuT' face de profection^ les portions dte» normales comprises entre elle et les points* de Y espace ordonnées^

▲ LA. PLAJfCHETT£. II

et les pieds de ces normales sur la surface de repère projection orthogonale des points considérés, sur cette surface.

i6. Le mode actuel de projection trouve des applications utiles en géodésie , et dans la construction des cartes géographiques, où Ton emploie encore d'autres genres de projection moins sin^ples, et dont nous n'avons pas cru devoir parler ici. En effet , comme la plupart des dessins graphiques se tracent sur des surfaces réputées planes , des feuilles de papier ou de vélin , on n'a besoin de connaître le plus souvent que les détails relatifs à l'emploi de plans de repère , et dont nous allons parler dans les paragraphes suivans. Nous nous bornerons à donner ainsi des notions spéciales sur le mode de projection indiqué au commencement de cet article.

IIF §. Comment on peut faire connaître les posi^^ tions relatives des projections orthogonales de tous les points de la surface d'un corps y sur un plan de repère ou de projection déterminé.

Art. I. Des points de repère.

I ^. Les pieds des perpendiculaires abaissées àt tous les points de la surface d'un corps sur un plan de repère choisi, ou, si l'on veut, \es projections orthogonales de tous ces points , sur un plan de pro« jectîon, ne doivent être, considérés que comme un phis ou moins grand nombre de points situés dans un même plan. Or la plus simple manière de donner une idée précise de l'ensemble des positions

12 LEVÉS l

respectives d'un nombre quelconque de points distribués sur une surface plane , est de les rapporter à un nombre suffisant de repères géométriques situés dans ce plan , comme on l'a pratiqué à l'égard des points distribués dans l'espace.

^ 8. A l'aide de considérations entièrement semblables à celles qui ont été alors exposées , on verra facilement que deux points de repère choisis parmi ceux dont on veut fixer les positions relatives , dans un plan, suffisent pour cet objet. Car en employant comide on l'a pratiqué, les plus courtes distances d'un point indéterminé à chacun dés deux repères , elles formeront avec la distance de ceux-ci un triangle rectiligne , tel qu'en fournissant un nombre suffissent de ses élémens, on pourra assigner à chaque repère la direction et la longueur du plus court chemin conduisant au point indéterminé , parce qu'on sait d'ailleurs de quel côté de la ligne qui joint les repères ce point se trouve situé.

19. Or, dans le cas actuel, le nombre des combinaisons différentes que l'on peut faire avec les élémens à fournir pu à mesurer, sont au nombre de six. En effet les positions des points de repère étant choisies , on peut donner encore

1*^ Les angles aux deux repères, j%. 3;

a® L'angle à un des répères, et celui appoint indéterminé , fig. 4 ; ^

3°. L'angle à un des repères, et la plus courte distance de ce repère au point indéterminé ^fig. 5;

4**. L'angle au point indéterminé, et la plus courte distance de ce point à un des repères, fig, 6;

5. L'angle k Vxm des repères et la distance de l'autre repère au point indéterminé,y?g^. 7;

6^ Enfin les plus courtes distances du point indéterminé à chacun des deux riepères,y?g^. 8.

20. Les deux premières combinaisons d'élémens n'exigent que l'emploi d'un goniomètre ou instru ment propre à obtenir les valeurs des angles ; les 3% 4' et 5® exigent le concours de cet instrument et d'uu autre propre à trouver les longueurs de lignes droites, tel que le mètre ou la chaîne; et la 6^ enfin ne nécessite que l'emploi de ce dernier instrument.

Art. II. Des droites de repèf^,

a I . Les deux points de repère que Ton vient de considérer seront remplacés par une seule droite de repère^ BPyJîg. 9, passant par deux des points RPMM' qu'on veut lui rapporter, à l'aide de leurs plus courtes distances Mm^ Mm'^ et des pieds m, m', m", de celles-ci sur cette droite. Ces plus courtes distances étant en effet perpendiculaires à la droite de repère, il ne peut y avoir d'incertitude sur la position du point où chacune d'elles doit conduire; parce qu'on sait toujours de quel côté de la droite choisie RP^ les points se trouvent situés.

Cette dirpite se nomme alors axe^ les longueurs comptées dessus abscisses , les plus courtes distances mentionnées ordonnées^ et les pieds de ces plus courtes distances projections orthogonales des points auxquels elles aboutissent.

aa. Ici les élémens à fournir sont des longueurs"

d^ droites et un angle constant. On aura donc besoin, en prenant une droite pour repère, d'un instrument propre à mesurer des longueurs de droites , tel qu'un mèire ou une chaîne^ et d'un second instrument donnant l'angle droit. Le dernier a été nommé, pour cette raison équerre^ quelle que soit sa forme et sa destination spéciale.

a3. Au lieu de prendre nue droite pour ligne de repère, on peut choisir une ligne courbe quelconque, telle que Rmrdm'P^fig. lo, passant par un nombre de points suffisant pour arrêter sa place dans leplan de projection. Ce nombre de points dépendra évidemment de» la nature particulière de la courbe choisie, à laquelle on pourra toujours rapporter les divers points M^ M y M\ etc*^ en se servant de leurs plus courtes distances Mm^ Mm\.M"ml*j etc., à cçUe ligne, et des pieds m^mlynù' ete.,. de ces plus courtes distances» .

Toute la différence qu'il y a eixtre l'emploi d'une courbe derepère et celui d'une droite de repère , c'est qu'alors on doit compter les plus courtes distaoïices mentionnées le long des normaks MNi MN^ etcl, à la courbe choisie. Il est dôme nécessaire, pouv pnoser des points ;92, m\ m'\ etc. , aux points correi^ dans Mj 3fy M\ etc., qu'on veut rapporter à cette courbe ,. de savoîc lui conduire des normales passant par uu quelconi(|ue de ses points assigné.

La courbe dei repère Rmvoini'R se nortiBie encore axe caJviligjMy ses phis courtes dialances Maty M m! etc., aux points qu'on lui rapporte ismdoimées de ces points ,et les pieds /n, m!, rri'y etc., de celles-ci/iro-

A LA PLANCHETTE. l5

j^ctians orthogonales des poiuts roentionoés sur Taxe curviligne.

'At\. On conclura de ce qui précède , qu'à moins d'y être obligé par des considérations particulières , comme cela arrive quelquefois, il faut toujours donner la préférence à l'emploi d'une droite de repère.

IV® §. Comment on peut faire connaître les longueurs de^ perpendiculaire^ abaissées de tous les pçints de la surface d*un corps , sur une surface de repère ou de projection.

Art. I. Des cotes de distance an plan de repère ou de pro^

jection.

âS, On peut faire connaître, de plusieurs manières, les longueurs des ordonnées ou perpendiculaires abaissées de tous les points de la surface du corps à décrire , su^ un plan de repère ou de projection. Nous allons examiner tour à tour celles qui sont le plus fréquemment employées.

Le rpoyen qui se présente d'abord consiste à écrire en chiffres , à côté du pied de l'ordonnée, sur le plan de repère ou de projection, la valeur numérique ou cote de sa longueur à faire connaître. II est évident que l'emploi de cette méthode indiquée par la figure 1 1, exige que le nombre de cotes soit très-limité, pour être facilement distinguées les unes des autres. En d'autres termes, on ne peut appliquer ce procédé qu'à la description des corps à surface très-simple ; pouvant être déterminée par un petit nombre de points caractéristiques. D'âil-

leurs comme ce moyen n'est point du tout graphique , nous n'en dirons pas ici davantage.

Art. II. Des projections orthogonales sur un plan coordonné au plan de repère y nommées éXéydXioxis.

26. Si le nombre d'ordonnées nécessaires à la détermination de la forme du corps à décrire , n'est pas très-considérable, il vaut bien mieux concevoir un second plan de projection CO^/îg. 12, perpendiculaire au plan de repère RP considéré, auquel ces ordonnées seront parallèles, et sur lequel elles se projetteront ainsi orthogonalém^nt, suivant leur véritable longueur. On pourra donc tracer sur ce second plan coordonné les projections des ordonnées mentionnées , à partir de son intersection TT avec le plan de repère. Les extrémités de ces lignes, nouvelles projections des points caractéristiques de la surface <Ju corps , décriront sur ce plan le dessin graphique nommé élévation de ce corps, comme cela est représenté par la figure qui exprime les mêmes formes que celle de l'article précédent; savoir deux parallélipipèdes rectangles posés l'un audessus de l'autre sur le plan de repère, et de telle sorte que leurs faces correspondantes, perpendiculaires à ce plan , sont parallèles entre elles et également distantes.

27. Dans ce cas les projections des points et des arêtes caractéristiques du corps qui regardent le plan coordonné, et celles des points et des arêtes situés en avant de ce plan , se superposeront. Pour obvier à cet inconvénient on a coutume de cons*

▲ LA PLANCHETTE. fj

truire des élévations sur plusieurs plans coordonnés au plan de repère , et dans lesquelles on ne tient compte que des points et arêtes Remarquables situés en avant des plans auxquels elles se rapportent. On conçoit en effet que ces élévations peuvent être construites en assez grande quantité, ou offrir le corps à décrire sous un nombre d'aspects suffisant , pour en faire connaître toutes les parties.

Art. III. Des sections perpendiculaires au plan de repère

nommées coupes ou profils.

a8. Si la forme du corps à décrire est compliquée, il faut combiner le plan coordonné au plan de repère avec plusieurs plans parallèles et équidistans pour plus de simplicité. Ces plans qui seront déterminés de position par leur trace sur le plan de repère, couperont la surface du corps à décrire , suivant des courbes nommées coupes on profils. En prenant un assess grand nombre de ces coupes pour que de l'une à l'autre, une droite située dans un plan perpendiculaire à la fois au plan de repère et aux plans coupans puisse être regardée comme s'appliquant sensiblement sur la surface du corps, on aura donné une description complète de sa surface.

29. Nous allons faire voir en effet que la connaissance des seules ordonnées nécessaires à la construction des coupes mentionnées, sera suffisante pour obtenir, dans tous les cas, par une cons. traction fort simple, les longueurs des ordonnées des points intermédiaires de la surface du corps à décrire.

Soken effet ^ le profil du corps, suivanft le plan ODOïdonnédoTitJi*P,j^. 1 3, est l'intersection avec le

planderepère. Soient encore j9 ',/>", P% etc., les pro* jections orthogonales sur le plan coordonné, despro-* fils fournis par des plans coiipans, perpendiculaires au planderepère, et dont les traces P'P\ P"P\ etc., sur ce plan sont parallèles à PP^ Les courbes p'fP", p"\ etc., sont ainsi égales aux coupes obtenues à la surface du corps à décrire, et, en conséquence, ne présentent pas plus de difficultés à construire que ces coupes elles-mêmes, dont nous devons supposer ici la forme particulière connue. Soit enfin M\q pied de la plus courte distance d'un point quelconque de la surface du corps au plan de repère, distafiee o\x ordonnée dont il s'agit de trouver la valeur. Pouf cela conduisons par M la trace NN' d'un plan perpendiculaire à la fois au plan de repère et aux plans cqupans; ce plan contiendra l'ordonnée cherchée , dont la projection sur le plan coordonné tombera suivant la ligne Mn perpendiculaire à PP. Gela posé, faisons pirouetter le plan considéré autour de l'ordonnée cherchée, jusqu'à ce qu'il devienne parallèle au plan coordomié. Dans ce mouvement ses intersections avec les plans coupant P'P'yP"P\ dt)nt N et iV' sont les projections sur le plaq^ de repère , seront entraînées de manière à s'y projeter actuellement aux points L et L. Par suite aussîdu même mouvement, les points où les deux intersections mentionnées pénètrent la surface du corps , et dont n et n' sont les projections sur le plan coordonné, seront déplacées de manière à s'y

A IjJL PLAirCHl^TTB. IQ

projeter actuellement aux points /, /', intersections respectives des droites /i/, n7', parallèles kPP, et des droites X/, L'l\ perpendiculaires à cette même droite PP. Il suit de là que la droite qui , sur la surface du corps, joint les points de pénétration, se projetant d'abord en n et n ', aura pour projection actuelle la ligne //; or la projection nn' de l'ordonnée cherchée coupe au point m la ligne //', ce point m jest donc la projection de l'extrémité de l'ordonnée inconnue, laquelle a ainsi pour longueur la ligne M/Hf qui est sa projection sur le plan coordonné.

3o. Puisqu'il est possible, ainsi que noirs venons de le démontrer, de trouver l'es longueurs de toutes les ordonnées comprises entre la surface d'un corps et un plan de repère du de projection, en partant de coupes QVL profils de ce corps fournis par des plans perpendiculaires au plan de repère, convenablement rapprochés, il faut en conclure que ces coupes ou profils primitifs suffisent pour obtenir le profil ou la coupe du corps suivant une surface cylindrique quelconque, perpendiculaire aussi au plan de. repère ou de projection. C'est ainsi que dans la figure, on a tracé la projection /t/p^"/?'" de la coupe opérée dans la surface représentée', par la surface cylindrique perpendiculaire au plan de repère et ayant pour base sur ce plan la courbe PP'P'P'".

3i. Nous ferons toutefois remarquer ici que le plan de repère étant toujours , et surtout en topographie, plus» important que son coordonné , il faut nécessairement tracer deux dessins pour appliquer les profila à la description des corps. On pourrait

aO LEVÉS

bien , jusqu'à un certain point, se passer de la projection du corps sur le plan de repère ; car si les plans coupans parallèles au plan coordonné sont équidistans , leur éloignement de ce dernier plan sera toujours connu , soit à l'aide d'une seule cote écrite sur chaque profil , ou de tout autre moyen conventionnel, soit par la simple disposition de ces profils, lorsque la nature de la surface coupée le permettra. On pourrait donc assez simplement connaître les distances, au plan coordonné, des points de la surface du corps compris entre deux profils quelconques ; car la distance au plan coordonné, du point qui s'y projette en m, par exemple, se compose de la distance du profil />'/>', plus d'une portion de Téquidistance des plans coupans qui est à la longueur de cette équidistance comme la ligne mn est à la ligne nn\

32. Le nivellement fournit divers moyens d'obtenir les coupes ou profils relatifs à un terrain quelconque, opérés suivant des plans verticaux : et nous avons imaginé en 1816 un tranchoir ou instrument fort simple , à l'aide duquel on peut tracer à la surface des corps de dimension convenable^ avec tme pointe, ou mieux, par le mouvement continu d'une roulette y des coupes dans deux systèmes de plans parallèles se croisant à angles droits. M. le chef d'escadron Maîssiat se sert habituellement du tranclwir pour préparer les épreuves du beau relief du Mont-Tonnerre qu'il a construit d'après ses levés , ainsi que les autres reliefs qu'il fait dessiner à MM. les élèves de l'École d'application du corps

A LA PLAirCHETTX. Hf

royal d'état - major. La description et Tusage de notre instrument pour Tobjet dont nous venons de parler seront expliqués dans la sixième livraison de cet ouvrage*

Art* IV* Des tranches ow sections parallèles au plan d^

repère ou de projection.

33. En concevant le corps à décrire coupé par des plans parallèles au plan de repère, auquel sont rapportés tous les points de sa surface , ou obtien* dra des intersections planes nommées tranches ^tX les points de chacune de ces courbes seront évidemment tous à la même distance du plan de re^ père mentionné, et auront ainsi des ordonnées égales entre elles. U- n'est pas moins évident que la projection orthogonale de chaque tranche sur le plan de repère, sera une courbe de même forme et de même grandeur que la tranche elle-même.Si doue on écrit une seule cote de distance sur chacune de ces projections, et si le nombre de tranches est pris suffisamment grand pour que de Tune à l'autre, la ligne droite la plus courte puisse être regardée comme s'appliquant sensiblement sur la zone comprise de la surface du corps , la description de cette surface sera complète.

34-On pourra en effet, à l'aide des élémens mentionnés , trouver par une construction fort simple Tordonnée d'un point de la surface de ce corps situé entre deux tranches^ et désigné par sa projection orthogonale siur le plan de repère, ainsi qu'on va le faire voiii

a a LE vis

Soit pour cela TTy TT elc.jjig. i4 , les projections orthogonales sur le plan de repère^ des tranches obtenues à la surface du corps à décrire par un système de plans parallèles au plan mentionné. Les distances des plans coupans à ce repère étant connues , il est clair que l'ordonnée correspondant au point de la surface du corps , dont M est la projection ^^ s^ cornposera d'une partie connue, égale à l'ordonnée constante de tons les points delà tranche projetée ^ T'T'T\ et d'une autre partie inconnue^ ^gale à Xa distance du point de la surface considéré au pl^açoupai^t qui a foomi cette tranche, partie qu'il nous reste d^nc à trouver. Pour cela conduiso4;is par JLe point ifcfla ligne NMN\ plus courte dis- ^nce de» ptojections de tranches TT\ T'T"^ cette ^ne, aiifôî qull $er;si démonliré au numéro suivant ^ ^t I3 proj^ptipn de la lig>ne plus courte distance des ti*anpb^.s ^jes^mé^eis , rpassant par le point de la fiurface du Qorps dont M est la projection. Donc fîette dernière plus courte distance forme avec la )}gf2e NJM'^t la distance des plans des dêuxtrauches «considérées^ un triangle rectangle dont elle est l'hy- ^téni^se. Constriiisonsce triangle, en prenant JS'n' tpeijpondicillaire à NN\ égale à ia distance des plans mentionnés, et enjoignant iV^et/zV-celafait, si parilf x>n conduit ilf/72 perpendiculaire a NN'^^ la ligne il/zn sera i^ale à la distance du .point xle la surface du xjorpseï) question , au plan de la tranche |)ro}etée «n T'T\ distance iqu'il fellait trouver. On connaît 'donc l'ordonaéa totale du point désigné ipar sa projection M sur le plan de repère. ^^

▲ LA P<LASfCHETT£. a3

35. Pour justifier la construction précédeiite^ il est nécessaire de faire voir que la ligne la pUs courte NQ y ^g^ i5^ qu'il est posâible de conduire cotre <leu3: traiiefaes PN^ OQ y par ua point Jtf piàs sur la zone de surface concise ^ re&te aussi en projectioa sur te plan de repère , la plus courte des tigaes. qull est possible de conduire par la projection m de JUj entre les projections pn , oq des traoaehes coasidérées. Soit eu effet PQ y une ligne pas* sant par M y et telle que PQ > NO; cette ligne se projettera en qmp sur le pdan de repère, et si pariV et -P, on conduit les lignes }\0\ PQ' respectivement parallèles knoe^pq^on aura NO'^=.nOy PQ'z=:ipqy, et 00'=:QQ'S}v desdeux trianglesrectanglesP(^(y-, .NOO\ qui ont un coté égal, celui-14 aura le second cô.té plusgr£aid,quiarhypoténuseplus grande, dont iVO' < PQ\ ou no < pqyce quil fallait faire. voir.

36. On doit conclure de ce qui çréœàe, que la connaissance d'un nombre suiEsant de tranches conçues à la surface du corps à décrire , et fouf^nies par des plans parallèles au plan de^repère, éqiûdistans pour plus de simplicité , donne le moyen de trouver les longueurs des ordonnées de tons. les points de la sur£ice de ce corps ; et par suite aussi la facilité d*en construire le profil ou la coupe suivant une surface cylindrique quelconque perpendicuUire au plan de repère ou de projection, tdlc que celle qui aurait pour base sut ce plan la oovw^b'e TT'T" T". En comparant d'ailleurs le mode actuél^le description des corps n*«xigeant que \e seul dessin de leur projection sur le plan de repère, avec qeuK

a4 I^EYÉS

exposés précédemment , on n'aura pas de peine à lui accorder la préférence.

37. Le nivellement sert encore à trouver les points du terrain composant une même tranche opérée par un plan horizontal , et lorsqu'il s'agit de corps de dimension convenable , notre tranchoir fournit aussi ces coupes avec rapidité. Nous avons donc pu supposer précédemment les tranches connues puisque, dans tous les cas, on est à même de les obtenir. Au reste quelques cotes éparses sur les projections des tranches imaginées sufûront pour exprimer les distances de ces traces elles-mêmes au plan de repère , quand il arrivera que les positions respectives de ces projections ne feront pas ressortir les positions des tranches les unes à l'égard des autres. Qn verra en son lieu que lorsqu'il s'agit des tranches conçues à la surface d'un terrain assez étendu , ces courbes sont ordinairement rentrantes, et comme elles vont en talutant, les projections des plus basses embrassent généralement celles des plus élevées ^ ainsi qu'on l'a représenté dans la/%. i4«

Art. V. Des lignes déplus grande inclinaison vers le pian

de. repère ou de projection,

38, Parmi toutes les petites portions ou élémens de coiu'bes MN , ME , MM' , ^g. 1 6 , que l'on peut tracer autour d'un point M, sur une surface courbe rapportée à un plan de repère JRP, il en est deux qui affectent des positions remarquables relativement à ce plan, et que nous allons chercher à reconnaître.

A LA PtAirCHXTTE. 2 5

Pdur cela observons que tous les élémens dont nous avons parlé , peuvent être considérés comme de petites portions de lignes droites situées dans le plan tangent à la surface mentionnée, pour le point Moix ils passent. Ces élémens pourront donc être regardés comme provenant de l'intersection de ce plan tangent , par des plans passant au point de contact ilf , et perpendiculaires au plan de repère ou de projection RP. Or ce dernier plan est coupé par le plan tangent , suivant une droite TA , à laquelle un des plans coupans, celui dont mn est la trace , est parallèle , et un autre , celui dont la trace est mT, est perpendiculaire. Donc des élémens MN et MM' j contenus dans ces plans coupans, le premier est parallèle au plan de repère, et fait conséquemment partie de la tranche NMN' passant par le point considéré. Le second élément MM' coupe ainsi le premier à angles droits , et fait en conséquence avec le plan de projection un angle égal à celui que fait avec lui le plan tangent , angle qui est ainsi plus grand que ceux relatifs à tous les élémens ME dont nous avons parlé. Cet élément MM' fait donc partie de la ligne MM'M"M"' déplus grande inclinaison vers le plan de repère passant par le point M considéré.

39. Pour se former une idée nette de cette ligne courbe , concevons à l'extrémité ilSf de l'élément que nous venons d'en considérer , la portion adjacente M'W de la tranche correspondante, le second élément MM" de la ligr^ déplus grande inclinaison lui sera pe]:pendiculaire ; en sorte qu'en allant d'é-

J26 UEvis

lément en élément on tracera sur la sur&ce k dé- <îrire, sinon une ligne courbe de plus grande indinaison , du moins une courbe à double courbure qui en différera d'autant moins que les élémens employés pour son tracé auront ^té pris plus petits.

4o. Observons en outre , ce qui est une propriété très-remarquable, qnela projection mm! de l'élémerH; MM' de la digne de plus grande inclinaison vers le plan de repère, coupe à angles droits la projection mn! de l'élément MN" de la tranche correspondante*. D'où àl £aut conclure que la prq/ection d'une lignede plus grande inclinaison jouit de la propriété de- 4^ouper a angles droits , les projections de toutes les: tranches parallèles au plan de repère.

4i. Nous avons supposé que si l'élément M/fcfV ou mieux , si la ligne MT contenue >dans le plan tangent au point N de la surface courbe considérée,, faisait avec le plan de projection le même angle que 3e plan tangent , cet angle était plus grand que celui formé avec le même plan de projection par tout autre âérnent J/JE, dépendant de la ligne MA située aussi dans le plan tangent. Cette vérité est facile à idémontrer, car les lignes MT^ mT^ devant être perpendiculaires à la trace ^7* du plan tangent, MJt et 772^ sont des ofcliques plus longues que ces perpendiculaires. Ainsi des deux triangles MAm^ MTm rectangles en t», et ayant le coté Mm commun, le premier a un angle aigu MAm plus petit que MTm. , ou que l'angle du plan tangent avec le plan de projection ^ et^comme l'angle M^m>«5t celui que

A LA PLAJrCHETTE. ft^

fait avec ce plan l'élément ME considéré , il s'ensuit que ce qui était à démontrer est véritable.

k'x. Faisons voir maintenant que si^n connaît les projections d'un jiorohre suffisant de lignes de plus grande inclinaison vers le plan xle repère, conçues à la surface du corps à dé(^re, et les ordonnées d'un nombre de points de l'une quelconque d'entre elles suffisant poui^en conclure les ordonnées de tous les autres points de cette ligne ; il ^t facile d'obtenir graphiquement l'ordonnée d'un point quelconque de la surface du corps à décrire , désigné par sa projectioxi sur le plan de repère.

Soit pour cti^JlMC.^^fig. 17 , la projection sur un plan coordonné de la ligne de plus grande inclinai* son dont Vm! est la projection sur le plan de rrpère, jiB étant sur ce plan la trace du plan coordonné. Par le point m , projection de celui dont il fait ob« tenir Tordonnée, couduisojas une ligneT»'/»/»" coupant à angles <lroits les projections des lignes de plus grande inclinaison l'l\ V'l'\ FF^ TT^ cette ligne courbe sera, n**4o, la projection d'une tranche parallèle au.plan de repère, tous ses points seront donc à.la même distance de ce .plan. Or, comme le point ni est la projection d'un point delà ligne l'V de plus grande inclinaison, projetée en AMC^ /?ilf perpendiculaire à ^^,jsera l'ordonnée commune il tous les points de La .tranche m'mm\ et par suite aussi l'ordonnée oherchée du point assigné par sa projection m^ s^r le plan de repère.

43^- Il faut -conclure de ce qu'on vient de démontrer, que Ycfiy aura parfaitement décrit 4a form,e d'ujti

a8 LEVES

corps, en faisant connaître sur un plan de repère les projections orthogonales d'un nombre suffisant de lignes de plus grande inclinaison vers ce plan , conçues à la surface du corps , et seulement la projection orthogonale d'une de ces lignes , sur un plan coordonné. On peut en effet construire d'après de pareilles données le profil ou la coupe de la surface à décrire suivant une surface cylindrique quelconque perpendiculaire au plan de repère choisi.

Toutefois comme la construction employée, exige le dessin des projections des tranches d'après celles des lignes de plus grande inclinaison données , il faut aussi conclure que^ sous ce point de vue , la méthode actuelle de représentation est inférieure à celle où l'on emploie les tranches elles-mêmes.

44- Lorsqu'il s'agit de décrire les formes d'un terrain quelconque, le plan de repère est horizontal , et les lignes déplus grande inclinaison , sont alors nom mées lignes de plus grande pente. Le nivellement fournit les rnoyens d'obtenir ces lignes, ou du moins ainsi qu'on l'a dit n^ Sg , des lignes à double courbure qui peuvent sensiblement les remplacer , et la manière d'opérer sur le terrain est d'ailleurs toutà-fait conforme aux observations qui font le sujet du numéro mentionné.

45. On peut déjà reconnaître la fausseté du préjugé de quelques topographes, qui prétendent juger plus facilement à vue , de la position de l'élément d'une ligne de plus grande pente passant en un point du terrain, que de celle de l'élément de la tranche correspondante. Comme s'il pouvait passer

plus d'un plan horizontal par l'œil d*un observateur, et s'il n'y passait pas au contraire une infinité de plans verticaux , parmi lesquels un seul , indéterminé si l'on ne tient d'abord compte de la tranche, doit contenir l'élément de la ligne de plus grande pente.

Aussi est-il impossible d'imaginer un instrument propre à tracer sur un corps, les lignes de plus grande inclinaison vers un plan de repère ; tandis que le tranchoir que nous avons inventé, donne d'un mouvement continu les profils et les tranches relatifs à un corps de forme quelconque. Le seul moyen praticable d'obtenir sur un tel corps les lignes de plus grande inclinaison , est d'y tracer d'abord un système de tranches suffisamment rapprochées, et de dessiner ensuite à vue , en allant de- l'une à l'autre , une courbe qui les coupe à angles droits , laquelle, n^ 39, pourra être ainsi prise pour une des lignes à obtenir.

46. Au reste malgré le peu d'expression des lignes de plus grande pente , on ne laisse pas d'en Élire un heureux usage sous le nom de hachures dans le dessin de la carte , en les combinant tacitement avec des tranches horizontales verticalement équidistantes. On trouvera dans la sixième livraison de cet ouvrage , tous les détails que l'on pourra désirer sur les diverses méthodes employées pour les rendre propres à exprimer, le mieux possible , le relief du terrain. Nous y exposerons aussi la méthode que nous avons proposée dès 1 8 1 7 , et qui consistera espacer les hachures d'une quantité

3o LEVÉS

proportionnelle à leur longueur, quantité que pour la facilité de Texécution , nous avons fixée au quart ou au huitième de la longueur de la hachure.

V^. §. jipplicaiions des notions précédentes.

Art. I» Ues polyèdres ou des corps terminés par des por-^

lions de surfojces planes.

47/ Si Ton a à décrire un polyèdre, c'est-à-dire un corps entièrement terminé par des portions de surfaces planes, il est évident que Ton aura complètement réussi à donner sur sa forme toutes les notions désirables, en traçant les projections orthogonales de tous ses sommets qui sont les points caractéristiques de sa surface, d'abord sur le plan de repère , et puis sur un plan coordonné.

48. Lorsqu'il s'agira de parallélipipèdes rec^ tangles, comme cela a presque toujoiirs lieu quand il faut décrire des édifices publics ou particuliers , des travaux d'art, des machines, des objets d'ameubletnent, etc., on conçoit de quel avantage doit être le mode actuel de représentation. En effet, dans les corps dont nous venons de parler, il existe toujours des faces verticales et des faces horizonlales; ce qui fait que l'on prend un plan horizontal pour plan dé repère, et un plan vertical pour plan coordonné. Sur le premier on dessine les projections des faces horizontales ou les plans du corps à décrire, et sur le second celles des faces verti^ cales, ou les élévations , coupes e\. projils Aece corps.