Si des surfaces coniques ou cylindriques

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font accideutellement partie de celle du corps à décrire, le plus souvent les génératrices des cylindres sont horizontales ou verticales, et les cônes en question sont ordinairement droits et ont pour axe une horizontale ou une verticale. Dans les plans comme dans les élévations et les coupes, les cylindres pourront donc être généralement représentés par leurs courbes de hase ou par des lignes droites, et les cônes par des cercles et des lignes droites. 5o. S'il était nécessaire de faire connaître des points ou des lignes remarquables distribués sur les faces du polyèdre, on dessinerait en outre sur une surface plane chacune de ses faces en particulier, avec l'indication des points et des lignes n;ientionnés qui y seraient contenus.

5f . On peut encore quoique la chose soit généralement moins simple, tracer sur le plan de repère oii sur son coordonné, les projections de ces points ou de ces lignes remarquables. Dans ce cas, le <lessin des faces peut devenir moins expressif et même très-confus, par la superposition possible des représentations de plusieurs faces différentes. Cependant en construisant de pareilles^ projections sur plusieurs plans coordonnés, ainsi qu'il a été dit n® 2^7, et en ne tenant compte que des faces dapolyèdre situées en avant de chacun de ces plans, on obtiendra des dessins très-inlelHgibles, et qui suffiront pour donner une idée précise des positions des points et lignes remarquables distribués» s^or les diverses faces du polyèdre à décrire. 52. Dans*ie cas où le polyèdre se réduira à un

Sa LEVÉS

parallélipipède rectangle à faces verticales et horizontales , on pourra dans le but de remplir l'objet que nous avons actuellement en vue, agir comme on vient de le dire, avec cette seule dififérence, que le plan de repère sera horizontal^ et que les plans coordonnés verticaux seront pris parallèles chacun à une des faces verticales du corps à décrire. Il est clair qu'alors les .figures formées dans chacune de ces faces, par les points et lignes remarquables qu'il s'agit de faire connaître, se projetteront orthogonalement sur ces plans respectifs suivant des figures égales à elles-mêmes. Les élévations ainsi obtenues sont donc les dessins les plus expressifs que Ton puisse construire , aussi reviennent - elles dans le cas particulier que nous examinons aux dessins que nous avons-prescrit d'exécuter n*^ 5o.

Art. II. Des corps polyédriques ou terminés par des faces distinctes tant a courbure convexe ou concave continue qu'a courbure infléchie,

53. Si le corps à décrire n'est pas un polyèdre parfait, ou en d'autres termes, si composé de faces bien distinctes entre elles , ces faces ne sont pas dés portions de surfaces planes; on pourra toujours concevoir un vrai polyèdre ayant les mêmes sommets , et dont les faces planes différeront plus ou moins des faces ondulées du corps polyédrique proposé.

L'intersection mutuelle des faces de ce corps et des faces correspondantes du polyèdre imaginé ,

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donnera naissance à des tranches ou courbes planes plus ou moins irrégulières, séparant les portions des faces du corps polyédrique, situées au dehors du polyèdre imaginé , des portions situées au dedans de ce polyèdre- On pourra donc rapporter à chaque face de celui-ci, quej'on sait décrire, prise pour nouveau repère , les divers points des faces correspondantes du corps polyédrique considéré. Ainsi qu'on Ta vu, cela peut être fait de cinq manières^ parmi lesquelles il est convenable dans le cas actuel de n'employer que les suivantes: i^ àt% profils ou coupes^ suivant des plans perpendiculaires à la face du polyèdre imaginé prise pour plan de repère ou plan actuel de projection ; a^ des tranches ou sections opérées par des plans parallèles à cette face, €t 3® enfin des lignes de plus grande inclinaison vers cette même face. Il faudra choisir, entre ces divers moyens, celui qui sera le plus convenable au b«it que l'on aura en vue, ou encore celui qui rentrera le plus dans les moyens disponibles d'obtenir les données qu'il emploie.

54- S'il fallait, tout en faisant connaître la forme du corps, décrire encore les lignes et points remarquables distribués à sa- surface, il faudr^rit ob« tenir les projections orthogonales de ces points et de «es lignes, sur les faces du polyèdre imaginé correspondant aux faces courbées du corps polyé^drique à décrire. Les figures que renfermeront ces projections ne pourront donc jamais être égales ni même semblables aux figures projetées, on ne pourrait remplir cette condition, qu'^a s'éloignant N** I. 3

l)eaucoup des modes de représenlation précédemment décrits. Au reste, les projections orlhogoiia*les dont nous ayons prescrit l'usage suffisent \e ,plus souvent pourj)eindre, avec assez d'expression, les points et les lignes considérées, distribuées à la surface d'un corps vraiment. polyédrique..

Art. HL Des corps terminés par des surfaces coni^exes cori'^ tinues^ régulières ou irrégidieres^

55. On pourra employer à la description graphique des corps terminés par des«urfaccs convexes •continues régulières ou irrégulières, soit les coupes "OU promis opérés par des plans équidistans parallèles au plan coordonné au plan de repère , soit les branches ou sections parallèles au plan de repère , opér'ées par des plans équidistans, soit enfin les lignes dé plus grande inclinaison vers ce plan de repère. Le choix entre ces trois moyens de représentation^ dépendra des circonstances, et princij3alement de l'objet que l'on aura en vue , ainsi qu'on le- verra «dans la suite. Autrement on devra surtout s'arrêter k celui de ces trois moyens qui pour une forme de corps donnée, et une position connue du plan de repère, fournira le système de courbes offrant le moins de confusion, et conduisant avec le plys de simplicité aux dirpensions que l'on aurait le plus d'intérêt à connaître.

56. Toutefois si le corps à décrire a de grandes dimensions , ou , cequi revient au même, si la coup^ hure 4e sa surface est très-petite, on pourra le

retnplacer par un polyèdre inscrit ou circonscrit^ d'un nombre de faces assez grand pour que la différence de la forme de ce dernier, avec celle du corps à décrire , soit aussi petite qu*on voudra» -

Bornons nous à l'emploi de polyèdres circonscrits: chaque face a, dans ce cas, un point de contact avec la surface du corps enveloppé , et est ainsi perpendiculaire à la normale^ à la surface de ce corps pour le point de contact. On fixera donc les positions relatives des seuls points de contact des faces du polyèdre imaginé, et des normales correspondantes; ce qui servira au lieu des sommets des polyèdres employés précédemment , à déterminer la forme et les dimensions du polyèdre circonscrit, et par suite aussi celles du corps à décrire qu'il enveloppe et remplace.

57. C'est surtout quand il faut connaître le^ positions relatives de points et lignes remarquables situés sur un corps terminé par une surface convexe continue, que l'emploi de polyèdres circonscrits est avantageux. £n effet, le plan tangent à une surface courbe quelconque se confond sensiblement avec elle autour du point de contact, dans une étendue d'autant plus grande, que cette surface a une courbure plus petite au point mentionné.

Si donc on compose le polyèdre circonscrit de

'faces moindres que les portions des plans tangens

dont elles font partie , coïncident avec la surface

courbe du corps k décrire, il est clair que les

points et lés lignes remarquables situés à cette

surface pourront être considérés comme occupant ia surÊice du polyèdre circonscrit imaginé. Oii pourra donc pour les ifaire connaître agir ainsi qu'il a été prescrit no 5o, c'est-à-dire dessiner à part, sur une surface plane, le détail de tout ce qui est relatif à chaque face du polyèdre en particulier.

Comme ce n'est jamais que de proche en proche <|u'il est i^écessaire de connaître les figures formées par les points et les lignes remarquables considérées , on sent que l'ensemble de tous les .dessins des faces du polyèdre circonscrit au corps de la surface duquel on veut faire connaître les accidens, rem«plissent avec assez de convenance le but qu'il faK lait atteindre.

ArU lY. Des corps terminés par des surfaces quelconques

ù courbure irifléchie^

58. La description des corps terminés par des surfaces quelconques à courbure infléchie rentre généralement dans celle des corps terminés par des surfaces convexes continues. On peut en effet employer encore ici des coupes o\i profils^ des trancJies^ ou des lignes de plus grande indindison y conçues à la surface du corps à décrire; en sorte qu'il ne reste plus qu'à reconnaître, dans tous les cas, lequel de ces trois moyens d'expression doit obtenir la préférence.

59. S'il arrive que les inégalités <lu corps à courbure infléchie à décrire soient fort petites relativement à la masse totale de ce corps , on pourra toujours imaginer une surface convexe continue qui en dessi-

▲ LA PLAirCHETTK. 3;

liera la fornse générale. Cette surface occupera un lieu moyen entre les saillies du corps et, ses rentrans , et on pourra la décrire en suivant le contenu du n^ 56, c est-à-dire en la remplaçant par un polyèdre d'un nombre de faces suffisant pour le rapprocher le plus possible de sa forme particulière. On pourra donc rapporter à chacune des faces «de ce polyèdre la portion de la surface du corps cor* respondante, et obtenir ainsi une série de descriptions partielles de la surface du corps à surface infléchie, lesquelles seront suffisantes pour satis- £iire à tous les besoins de sa description générale*

60. Dans chacune des descriptions partielles dont nous venons de parler, on pourra se proposer d'abord de ne faire connaître que la forme particulière de la portion correspondante de la surface infléchie du corps à décrire. On atteindra ce but en employant soit des coupes ou profils^ soit des tranches, soit enfin çies lignes de plus grande inclinaison , relatives à la face du polyèdre imaginé prise ^qur «repère actuel^ comme on l'a déjà pratiqué à l'égard des corps polyédriques.

61. Quant aux points et lignes remarquables qui pourraient se trouver à la surface du corps de la description duquel nous nous occupons, il faudra, s'il est nécessaire de les faire connaître, opérerleur projection orthogonale sur la face correspondante du polyèdre imaginé. Cette projection suffîrar dans la plupart des cas, pour donner sur les points, et lignes projetées les notions les plus indispensables ; puisque les ondulations du corps à décrire

t s'écartent peu de |a forme du polyèdre convexe aux faces duquel nous rapportons s«s diverses parties. 6a. On conçoit facifement qu*il est impossible . d'accoter sur un plan , sans laisser entre elles des lacunes plus ou moins grandes, les diverses projections relatives aux farces Bu polyèdre imaginé. En effet la somme des angles des arêtes aboutissant à chaque sommet de ce polyèdre, étant toujours moindre que quatre angles droits ; on ne pourra forcer tous ces angles à s'appliquer sur une surface plane, qu'en les désunissant au moins suivant une ^ des arêtes servant de côté. D'où il suit que 'si tout autour d'une de ces projections mentionnées, on veut dessiner celles adjacentes sans désunion , on seira forcé d*àltérer d'iautant plus ces dernières, qu^elles seront plus éloignées de celle autour de laquelle oji les aura groupées^

Art. V. Des corps à surface erp partie dêveloppaBlè.

63. Il peut arriver qu'une portiorr du corps à décrire soit terminée par une surface courbe développable^ c'est-à-dîre par une surface qui puisse se déployer, se dérouler en quelque sorte sur un plan, sans subir de déchirure ni de duplicature, telle que les" surfaces coniques et cylindriques. Or, d*après la propriété que nous venons d'attribuer à une surface développable , il faut nécessairement que \t plan tangent en un quelconque de ses points te soit aussi tout le long d'une ligne située dîms cette surface ^ et passant par le point de contact d'abord

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eonsidérë. Une surface développnble est donc com^ posée d'élémens plans, .indéfinis dans le sens de leur longueur ; aussi estait impossible de terminer entièrement un corps par une telle surface.

64. Les moyens de description des surfaces que nous avons détailtés précédemment, s'appliquent aussi bien aux surfaces développables qu'à toutes les autres , nous ne dirons rien de plus à cet égard, pour nous occuper d'un mojen de représentation propre aux surfaces développables en particulier. On concevra sur la portion existante d'une telle surface terminant en partie le corps à décrire, un nombre suffisant de lignes droites pour que de Tune à l'autre leur plus courte distance passant par un point quelconque de la surface intermédiaire, puisse être sensiblement regardée comme une ligne droite. Cela fait on tracera vers les extrémités de la portion de surface existante deux polygones gauches , formés d'une suite continue de pareilles lignes de plus courte distance ; et il est clair que l'on sera parvenu au but qu'il fallait atteindre , en arrêtant sur un plan, de repère el sur son coordonné les projections des sommets des deux polygones tracés. Ces sommets déterminent en effet des lignes entièrement situées dans la portion de surface développable à décrire , et il en est de même des points homologues des côtés de ces polygones , côtés qui forment générale^ ment avec les lignes mentionnées des espèces de trapèze, élémens plans de surface développable.

65. Si des points et des lignes remarquables étaient distribués sur -la portion de surface développable

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dont on sait décrire la forme, on pourrait fort simplement les £iire connaître en traçant sur un plan, à côté les uns des autres, les trapèzes dont nous venons de parler. La surface considérée sera ainsi développée sans déchirure ni duplicature sur la feuille de papier qui devra en recevoir le dessin , et il n€ reste plus, pour 1 avoir obtenu , qu'à tracer dans chaque trapèze les figures formées dans le trapèze correspondant de la surface, par les points et les lignes ren^arquables qui y sont renfermés.

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