CD+EF+ÂB + GH+^L

=CD-fËF+GÛ-f ÂB+KL = CD + ËF -f GH -f KL + AB = CD -f GH + ËF -j- KL + ÂB =CD + GH-f KL+ÊF+ÂB ^GÛ-fCD+KL+ËF+ÂB, c. q. f. d.

On raisonnera de même dans tous les cas possibles.

Remarque. — Nous avons suivi le môme mode de raisonnement que quand il s'agit de démontrer en arithmétique qu'un produit de plusieurs facteurs est indépendant de Tordre de ces facteurs.

12. — Un nouveau théorème, non moins important, résulte immédiatement du précédent.

Théorème III

On peut remplacer plusieurs parties d'une somme par leur somme effectuée; ou bien, inversement, on peut ajouter une somme à un segment ou & une autre somme en ajoutant ensemble ce segment ou les diverses parties de cette seconde somme et les diverses parties de la première somme.

Démontrons par exemple l'égalité

âb4-cd+ëf+gh=(ëf+gd)+(gh+âb).

En effet, d'après ce que nous avons dit en définissant l'addition, la somme (ËF-fCP) + (GH + ÂB) n'est pas différente de celle-ci : EF -f CD -f (GH + AB) ; car dans les deux cas, pour obtenir le résultat, il faut d'abord ajouter CD à ÊF, puis ajouter à la somme ainsi formée

la somme GH-f-ÂB.

Mais d'après le théorème précédent, on peut écrire:

iF + CD + (GH + ÂB) = ((îFl + AB)+EF + CD;

de plus, le raisonnement déjà fait donne ;

(GH + ÂB) + ËF + GD = GH + ÂB + ÈF + GD;

si enfin, dans celte dernière somme, on intervertit convenablement Tordre des segments, on voit que la somme

(ÊF + CD) + (GH -f Â5) n'est pas différente de la somme

ÂB + CD-f ÊF + GH, c. q. f. d.

Remarque. — On observera que, pour démontrer le théorème II, nous nous sommes appuyés, dans la deuxième

partie, sur un cas particulier du théorème actuel : nous avons démontré en effet, directement, que Ton avait :

CD 7 +ÊF + GH = GD' -f (ËF + GÏÏ).

13. — Le théorème précédent nous permet de généraliser les premières propositions du n° 10.

1° La somme d'un nombre quelconque de segments de même sens est un segment de même sens qui a pour longueur la somme des longueurs des segments donnés.

Ceci est évident.

2° Si l'on veut faire la somme d'un nombre quelconque de segments non tous de même sens, on pourra commencer par additionner ensemble d'une part tous les segments positifs, de l'autre tous les segments négatifs ; on obtiendra ainsi deux segments de sens contrawes, qu'il suffira d'ajouter ensemble comme il a été dit au n° 10 (2°).

Ceci résulte immédiatement du théorème précédent.

14. — Pour terminer l'élude de l'addition des segments, nous énoncerons encore les deux principes suivants qui sont équivalents.

1° Soient deux sommes composées d'un même nombre

de segments, par exemple AB-f-CD-f-EF et A'B'-j-C'D' -[- E'F' ; si AB est supérieur à A'B' et si les segments CD et EF sont respectivement égaux ou supérieurs aux segments CD' et E'F', la première somme est plus grande que la seconde.

2° Soient deux sommes co?nposées d'un même nombre

de segments, par exemple AB + CD + EF et A'B'-f- G'D' -f-E'F'; si AB est inférieur à A'B', et si les segments CD et EF sont respectivement égaux ou inférieurs aux segments CD' et E'F', la première somme est plus petite que la seconde.

Pour se rendre compte de la vérité de ces principes, il suffit de se reporter à la définition de l'addition et au procédé de comparaison entre les segments indiqués au n°7,

en remarquant que si un segment AB est supérieur ou

égal à un autre segment CD, et a son origine A plus à droite que l'origine G de CD, il aura aussi nécessairement son extrémité B plus à droite que l'extrémité D de CD.

Si nous considérons maintenant des égalités ou inégalités géométriques, c'est-à-dire entre segments, nous pouvons encore dire :

3° En ajoutant un même segment aux deux membres d'une égalité ou d'une inégalité, on obtient encore une égalité ou une inégalité de même sens.

4° En ajoutant membre à membre deux du plusieurs égalités ou inégalités de même sens, on obtient encore une égalité ou inégalité de même sens. De même, en ajoutant membre à memb?*e une ou plusieurs égalités et une ou plusieurs inégalités de même sens, on obtient une inégalité de même sens.

Remarque. — On voit que l'addition des segments jouit de toutes les propriétés de l'addition arithmétique ; elle se réduit même à celle-ci lorsque tous les segments à ajouter sont de même sens. C'est ce qui justifie le nom d'addition donné à l'opération qui vient de nous occuper.

§ 4. — Soustraction des segments.