Il est évident que

1° Si dans une somme un ou plusieurs segments sont

nuls, on peut les supprimer sans rien changer; en particulier, la somme de deux segments dont l'un est nul est égale à l'autre; réciproquement, on ne change pas une somme de segments en y introduisant un ou plusieurs segments nuls.

2° Dans une somme, on peut, sans rien changer^ remplacer un ou plusieurs segments par d'autres qui leur soient respectivement égaux; en particulier, deux sommes de segments respectivement égaux, pris dans le même ordre, sont égales.

Voici d'autres propositions intuitives et de la plus grande importance.

3° Si A, B, C sont trois points quelconques sur X'X, on peut écrire :

ÂB = ÂC-f GB.

Il suffit de se reporter à la définition de l'addition. En particulier, si A et B coïncident, on a :

= ÂG-f-CA,

ce qui permet encore de dire que :

La somme de deux segments symétriques est un segment nul; réciproquement, si la somme de deux segments est nulle, ces deux segments sont symétriques.

Si l'on faisait coïncider les points A et G ou B et C, on retrouverait une proposition déjà énoncée plus haut.

4° Plus généralement, si A, B, C, D,... H, K, L sont des points en nombre quelconque choisis arbitrairement sur X'X, on peut écrire :

AB = AG + GD-t- + HK + KL+LB.

11 suffît encore de se reporter à la définition de l'addition . En particulier, si A et B coïncident, on obtient l'importante formule

= ÂC + CD+ +HK-t-KL + LÂ.

10. — Reportons-nous à la figure 5; en examinant séparément les divers cas possibles, on voit immédiatement que :

1° La somme de deux segments de même sens est un segment de même sens qui a pour longueur la somme des longueurs des deux segments donnés.

2° La somme de deux segments de sens contraires est un segment ayant pour longueur la différence des longueurs des deux segments donnés, et qui a même sens que celui de ces deux segments qui a la plus grande longueur.

Comme cas particuliers, on retrouvera les résultats déjà énoncés relativement à la somme de deux segments dont l'un est nul, et à la somme de deux segments symétriques.

Les propositions précédentes nous conduisent à énoncer le théorème fondamental suivant :

Théorème I

La somme de deux segments est indépendante de l'ordre de ces deux segments.

Car dans ces propositions, Tordre des deux segments à ajouter n'intervient en aucune façon.

Ce théorème correspond à la formule

ÂB-f CD^CD + ÂB;

la somme CD-f- AB est d'ailleurs le segment OB" que Ton obtiendrait en faisant glisser CD le long de X'X de façon à l'amener en OD", puis AB de façon à l'amener en D"B' 7 ; les segments OD' et OB" sont donc toujours égaux, c'està-dire que les points B" et D' coïncident dans tous les cas possibles.

11.- — Le théorème du numéro précédent se généralise aisément.

Théorème II

La somme d'un nombre quelconque de segments est indépendante de l'ordre de ces segments.

Nous diviserons la démonstration de ce théorème en plusieurs parties.

1° Dans une somme de plusieurs segments, on peut intervertir V ordre des deux premiers segments. En d'autres termes, on a l'égalité

ÂB + CD + EF + GH = CD -fÂB +ÊF + GH.

En effet, si S représente la somme AB -f- CD, le premier membre est obtenu en ajoutant successivement EF et GH à S ; de môme, si S' représente la somme CD + AB, le second membre est obtenu en ajoutant successivement EF et GH à S 7 . Mais nous savons que les sommes S et S' sont égales; les sommes S + ÊF-fGHetS' + ÉF

+ GH sont donc elles-mêmes égales (9, 2°) et les deux membres de l'égalité proposée sont bien égaux, c. q. f. d.

2° Dans une somme de plusieurs segments, on peut intervertir V ordre des deux derniers segments.

En d'autre^ termes, on a l'égalité

AB + CD-f EF + GH = AB + CD + GH+EF.

Soit OD' un segment égal à la somme AB -f CD ; pour former le premier membre de l'égalité précédente, on fait glisser EF le long de X'X, de façon que E vienne en D' et F en F', puis de môme GH, de façon que G vienne en F' et H en H' : le segment OH' est alors la somme AB -j-CD

+ ÊF + GH.

Mais nous avons (9, 3°) :

ïïïï=W 7 +Yïï\

mais, puisque D'F' = EF, F'H' = GH, on peut encore

écrire (9, 2°) :

DÏT=ËF + GH;

si donc on utilise les parenthèses comme en arithmétique, il vient :

ÔïT=T)ïy + (ÊF + GH).

En raisonnant de la même façon, on verra que le second

membre de l'égalité à démontrer peut se mettre sous la forme

ôd' + (gïï+ëf);

comme les sommes EF + GÎT et GH + EF sont égales, l'égalité proposée est vraie, c. q. f. d.

3° Dans une somme de plusieurs segments, on peut intervertir V ordre de deux segments consécutifs quelconques.

Ceci étant déjà démontré pour les deux premiers ouïes deux derniers segments, démontrons, par exemple, que Ton a :

ÂB + GD + ËF + ^ + îâ=ÂB + CD + GH + ÊF+KL.

En effet, les deux sommes

AB + GD-J-EF + GH et AB + GD + GH + EF

sont égales d'après ce qui précède (2°) ; et comme les deux membres de l'égalité à démontrer sont oblenus en ajoutant respectivement à chacune de ces sommes le même segment KL, il en résulte qu'ils sont effectivement égaux, c. q. f. d.

4° Dans une somme de plusieurs segments, on peut intervertir d'une façon quelconque V ordre des segments.

Démontrons, par exemple, l'égalité

AB+râ + ËF+^ + ^=GH + GD + RL+ÈF+ÂB.

En effet, en ne faisant jamais que des interversions de deux segments consécutifs, permises d'après ce qui précède, on a successivement :

AB+GD+EF+GH+KL=GD+AB+EF-f GH + KL