D'B' = DO + OB
ou bien D'B' = AB + D'0.
Gomme D'O est un segment symétrique de OD' ou de CD, on voit donc que :
Retrancher CD de AB, c'est ajouter à AB un segment
symétrique de CD.
il est clair d'ailleurs que, réciproquement, pour ajouter ensemble deux segments, on peut retrancher de Vun le symétrique de Vautre.
La soustraction des segments n'est donc pas en réalité une opération distincte de l'addition : c'est celte propriété fondamentale qui va nous guider maintenant.
18. — Voici quelques principes presque évidents que Ton pourra démontrer soit en appliquant la définition première de la soustraction, soit en ramenant, comme nous venons de le faire, la soustraction à une addition.
1° La différence entre deux segments égaux est nulle.
2° . On ne change pas un segment en en retranchant un segment nul.
3° En retranchant un segment d'un segment nul, on obtient le symétrique du premier.
4° Dans une différence de deux segments, on peut, sans rien changer, remplacer l'un ou l'autre des deux segments donnés par un segment égal, ou bien tous les deux par des segments respectivement égaux.
5° Si A, B, G sont trois points quelconques surX'X, on peut écrire :
BC = ÂG — ÂB.
En faisant coïncider successivement deux quelconques des trois points A, B, C, on retrouve des propositions déjà énoncées.
6° La différence de deux segments de même sens est un segment qui a pour longueur la différence des longueurs de ces deux segments, et dont le sens est celui du premier des segments donnés, ou le sens contraire, suivant que la longueur de ce segment est supérieure ou inférieure à celle du segment à retrancher.
7° La différence de deux segments de sens contraires est
un segment qui a pour longueur la somme des longueurs de ces deux segments, et dont le sens est celui du premier des segments donnés.
8° Soient deux différences de segments AB — CD et A'B' — CD'; si AB est supérieur à A'B\ et si CD est égal ou inférieur à CD', la première différence est plus grande que la seconde; il en est de même si AB est égal ou supérieur à A'B', et si CD est inférieur à CD'.
&S oient les deux différences AB — CD et A'B' — G'D' ; si AB est inférieur à A'B 7 , et si CD est égal ou supérieur à GD', la première différence est plus petite que la seconde; il en est de même si AB est égal ou inférieur à A'B', et si CD est supérieur à CD'.
Pour se rendre compte de la vérité de ces deux derniers principes, qui sont équivalents, on peut remarquer, en se reportant au n° 7, que, si deux segments AB et CD sont tels que A soit à gauche de G et B à droite de D, AB est nécessairement plus grand que CD; ou bien encore que si un segment AB est plus* grand ou plus petit qu'un autre segment CD, le symétrique de AB est
plus petit ou plus grand que le symétrique de CET.
\0° En retranchant un même segment des deux membres d'une égalité ou d'une inégalité, on obtient encore une égalité ou une inégalité de même sens.
11° En retranchant d'un même segment les deux membres d'une égalité ou d'une inégalité, on obtient encore une égalité ou une inégalité de sens contraire à celui de la première.
12° En retranchant membre à membre deux égalités, on obtient encore une égalité.
13° En retranchant membre à membre deux inégalités de sens contraires, on obtient une nouvelle inégalité dont le sens est le même que celui de la première.
14° En retranchant membre à membre une égalité d'une inégalité, on obtient une nouvelle inégalité de même sens.
15° En retranchant membre à membre une inégalité
d'une égalité y on obtient une nouvelle inégalité de sens contraire,
§ 5. — Polynômes géométriques.
19. — Imaginons que l'on ait à faire plusieurs additions ou soustractions successives de segments dans un ordre donné; par exemple, il faut 1° ajouter CD à AB ; 2° retrancher EF du résultat obtenu ; 3° retrancher GH du nouveau résultat obtenu ; 4° ajouter KL à ce dernier résultat. Si PQ est un segment égal au résultat de cette dernière opération, on écrit :
