Exemples
1° Résoudre les équations
La première équation, réduite, prend la forme — t =0 :
le système est impossible.
2° Résoudre les équations
La première équation prend la forme = ; il y a indétermination. On peut prendre y arbitrairement et Ton a :
. 3° Résoudre les équations
L'application des formules, ou la répétition du raisonnement conduit aux valeurs
4° Résoudre les équations
Si l'on veut appliquer les formules, ou si l'on répèle le raisonnement, on voit qu'ici ab' — bd est nul. a n'étant
pas nul, on considère ac 1 — ca!, quantité dont la valeur est 108. Il y a donc impossibilité.
5° Résoudre les équations
Ji2x — ioy + 9 = 0, {— Sx + iOy — 6 = 0.
En raisonnant comme tout à l'heure, on voit qu'il y a indétermination. Il suffit de résoudre l'équation
et par suite on peut prendre y arbitrairement, avec
117. — Si les coefficients a, b, c, a, b', c sont littéraux, les équations données ont en général une solution et une seule fournie par les formules
bc — cb' ac' — ca
X ~ab' — ba V ~~~ ab'—bd'
Si les paramètres reçoivent des valeurs telles que ab' — ba' s'annule, ou que les expressions a, b, c, a\ b\ c n'aient pas de valeurs numériques directement calculables, on dira, d'après ce que nous avons convenu, que pour ces valeurs des paramètres, les équations admettent pour solutions les valeurs finies ou infinies, déterminées ou indéterminées que prennent alors les expressions
bc — cb' ac — ca
ab' — ba ab — ba
Toutefois, si les inconnues deviennent toutes deux indéterminées, leurs valeurs restent liées par toute relation continuant à exister entre elles.
Nous verrons plus loin des exemples de ces divers faits.
§ 2. — Résolution de n équations du premier degré
à n inconnues.
118. — Pour résoudre un système de n équations du premier degré à n inconnues, on élimine une des inconnues en tirant sa valeur de Tune des équations et la portant dans les autres ; celles-ci restent manifestement du premier
degré, et Ton est ramené à résoudre un système de n — 1 équations du premier degré an — i inconnues.
On continuera de la même façon et on arrivera finalement en général à une seule équation à une inconnue, dont la résolution permettra de trouver la solution du système. En général, le système admettra une solution et une seule ; mais des cas particuliers pourront se présenter que Ton discutera comme nous avons fait dans le paragraphe précédent.
Nous allons nous contenter de quelques exemples. i° Résoudre les équations
(3ar-f2y— z — 4=0, \$x — y + 2z — 9 = 0, (2a:— y + z — 3 = 0.
Eliminons z en tirant sa valeur de la première équation ; on a le système équivalent
(z = 3a?-{-2*/ — 4, \iix + 3y — 17 = 0, [ox + y — 7 = 0.
Eliminons y entre les deux dernières équations, en tirant sa valeur de la dernière ; on a le système équivalent
La dernière équation donnant x = i , on trouve successivement y = 2 et z = 3.
2° Résoudre les quatre équations
2x + 3y + 4z + 5<— 7 = 0, a? + 2y + 3z + 4f — 9 = 0, 2ar — 5y + 3z — 9* + 8=0.
Tirant la valeur de t de la première, il vient :
f=l — x — y — z, 3ar-f 2y-{-z + 2=0, 3a?-f 2y + z + 5 = 0, Ha? + 4y + i2z — 1 = 0.
Tirant z de la seconde, il vient :
Il est inutile de continuer; le système est impossible puisque l'on rencontre l'équation 3 = 0.
3° Résoudre les trois équations .
Tirant z de la première, il vient :
On est ramené à punique équation
On peut donc choisir x arbitrairement ; on a alors :
et par suite
11 y a indétermination.
§ 3. — Résolution de quelques systèmes
particuliers.
119. — Dans ce qui précède, nous avons indiqué une méthode régulière pour résoudre les systèmes d'équations considérés. Mais il est clair que Ton peut profiter de toutes les circonstances favorables que l'on aperçoit pour abréger la résolution.
Nous allons le montrer par quelques exemples. 1° Résoudre le système
x+y+z— 1=0, ax -\-by-\-cz — tf=0, a 2 a? + î 2 y + c'z — d 2 =0.
Tirons la valeur de z de la première équation ; il vient :
(a — c)x-\-{b — c)z-\-c — d = 0, {(a 1 — c 2 )^+(& 2 — c*)z + c 2 — rf* = 0.
Des deux dernières, tirons x en appliquant les formules du n° 116; il vient :
On peut simplifier en divisant haut et bas par b — c> et il vient :
Pour obtenir les valeurs des autres inconnues, au lieu de les calculer directement, remarquons que les équations ne changent pas si Ton change x en y et a en b; on aura donc la valeur de y en changeant a en b dans la formule précédente, ce qui donne
De même, on obtiendra
(a — rf)(6 — d) (a — c) (b — c) *
On s'assurera qu'on n'a pas commis d'erreur en constatant que l'une au moins des équations données est vérifiée en y remplaçant x, y, z par les valeurs trouvées; c'est une précaution qu'il faut toujours prendre.
2° Résoudre les équations
x + y — 32 + 6=0, 3* + 3y— 4z-}-7=0, Ax— 4y + 8z — 9=0.
En multipliant la première par 3, puis retranchant de la seconde membre à membre, il vient :
53 — 11=0, d'où
Par suite on a :
Multipliant la première par 4, et ajoutant et retranchant successivement la seconde, on a :
&r-fy = et 8*/— 11 = 0,
d'où
Le système proposé est complètement résolu.
3° Résoudre les équations
Ajoutant membre à membre, il vient :
Retranchant maintenant de celle-ci chacune des proposées, on a successivement :
4° Résoudre les équations
Ajoutant membre à membre, il vient :
d'où comme plus haut, en reiranchant de celle-ci chacunedes proposées :
b -f c 4- d — 2a a+c-\-d — Zb t — 3 ,2— 3 »
a+ô-fd--2c q + 6 + c — 2rf
5° Résoudre les équations
or # y z t
Prenons pour inconnue auxiliaire la valeur u des rap-
ports —, -,... On a alors :
ar = mu, y = nu, z =pu, t = yw,
et portant ces valeurs dans la première équation, il vient :
(am + an + cp -f- dt) w+ « = 0, d'où
et par suite
am -f- £n -J- cp + ^
me
ne
am-f-6n+c , p+^ ,
am+^w+^P + ^
,elc.
6° Résoudre le système
x y La première s'écrit :
xy a ou
alors, prenant pour inconnues auxiliaires x'= -et y'=; t *
on a à résoudre le système
d'où, en ajoutant et retranchant membre à membre,
'=I(1-hm),H(H-
et par suite
Mais on a perdu la solution x = 0, y = 0.
Exercices
Résoudre les équations simultanées suivantes : 1. — 3x+by = 9, 5# — 7y=18.
