CHAPITRE II

RÉ80LUTI0N DE PLUSIEURS ÉQUATIONS SIMULTANÉES DU PREMIER DEGRÉ A PLUSIEURS INCONNUES

§ \ cr . — Résolution de deux équations du premier

degré à deux inconnues.

114. — Deux: équations du premier degré à deux inconnues se présentent sous la forme

ax-{-by-\-c=0, a'x + b f ij + c' = 0.

Si ces équations sont données, les deux inconnues y figureront, une au moins dans chaque. Si ces équations proviennent après transformation d'autres équations données, il peut se présenter des cas singuliers.

1° L'une des équations est de la forme c = 0, c étant une quantité non nulle; alors le système des équations données est impossible.

2° Le cas précédent exclu, Tune des équations données est de la forme = 0; alors on est ramené à la résolution de l'autre, et le système est indéterminé. Si cette autre est elle-même de la forme = 0, x et y peuvent recevoir toutes deux des valeurs arbitraires ; si la seconde équation renferme une seule des inconnues, x par exemple, x est déterminée et y arbitraire ; si la seconde équation renferme les deux inconnues, l'une d'elles peut recevoir une valeur arbitraire, et l'autre est déterminée par la première.

3° Les cas précédents exclus, l'une des inconnues, y par exemple, ne figure pas dans les équations qui prennent la forme

\ ax -f- c = 0,

a et a' n'étant pas des quantités nulles.

Ces équations sont vérifiées Tune par x = , l'autre

c' . , , ce 1

par x = ;; si donc on na pas = , ou

ac r — a'c = 0, il y a impossibilité ; si, au contraire, on a

ac ! — a'c = 0, il v a indétermination : x a la valeur >

et y a une valeur arbitraire.

115. — Revenons au cas général, et supposons que les deux inconnues figurent dans les deux équations

ax -j- by -|- c = 0, a' x + b'y + c' = 0,

une au moins dans chaque.

Un tel système est facile à résoudre, car l'élimination d'une inconnue est ici chose aisée.

En supposant a non nul, ce qu'on peut toujours faire, puisque les deux coefficients de x ne sont pas nuls en même temps, la première équation donne

by + ç

et portant cette valeur dans la seconde, on a le système équivalent au système donné

La seconde équation s'écrit en multipliant par a, qui n'est pas une quantité nulle,

{ab 1 — ba') y + ac' — ca' = 0.

Si ab' — ba' est nul sans que ac 1 — ca' le soit, celte équation est impossible, et il en est de même du système donné.

Si ab' — ba' et ac' — ca' sont nuls tous deux, cette équation est vérifiée quelle que soit la valeur attribuée à y. Le système est indéterminé : y est arbitraire et x est déterminé par la formule

by-\-c

Si ab' — ba' n'est pas nul, l'équation

{ab' ■— ba') y-\-ac' — ca' =

admet une racine et une seule

ad — ca'

y—~ ab' — ba' 9

de sorte que le système donné est équivalent à celui-ci :

by + c

a ac' — ca' ab f —ba r

ou en remplaçant y par sa valeur dans la première équation et réduisant

bc' — cb'

x — a b'—ba n ac 1 — ca'

ab' — bd

Le système donné a donc une seule solution fournie par les formules précédentes, faciles à retenir.

On arrive au même résultat en éliminant x de la façon suivante : multiplions la première équation par — a', la seconde par a, et ajoutons membre à membre ; nous obtenons la nouvelle équation

{ab 1 — ba') y -|- ac' — ca' r= 0,

qui peut remplacer la seconde des équations données, puisque a est une quantité non nulle indépendante des inconnues.

On est donc ramené au système

ax-\- by -}-c = 0,

[ab' — ba') y -f- [ac' — ca') =0,

qui se discutera et se résoudra comme précédemment.

Remarques. — Si a' n'est pas nul, on peut éliminer x en tirant sa valeur de la seconde équation ; on a les mêmes résultats.

On peut aussi commencer par éliminer y; on obtient

encore les mêmes résultats, car si ab' — ba' est nul, on a,

ba 1 ' en supposant a non nul, b'= — , et par suite bc' — cb'

= - (ac' — ca') ; or b n'est pas nul, sans quoi b' le serait

aussi et y ne figurerait pas dans les équations, ce qui est contraire à notre hypothèse ; donc les quantités bc' — cb' et ad — ca! sont nulles ou non nulles en même temps.