CHAPITRE III

120. — Résoudre un problème, c'est déterminer, h l'aide de conditions données, certains nombres ou certaines grandeurs inconnues. En remplaçant comme d'habitude les grandeurs par les nombres qui les mesurent quand on les rapporte à une certaine unité, spécifiée ou non, mais toujours la même pour les grandeurs de même espèce qui figurent dans une question, on est toujours ramené à déterminer des nombres inconnus. Les problèmes de géométrie ne font pas exception : si Ton demande de construire une certaine figure satisfaisant à des conditions données, il est clair qu'il suffit de déterminer certaines lignes dont la connaissance permettra de ramener le problème h des constructions simples et connues.

Pour résoudre un problème on commence par le mettre en équation : à cet effet, on.désigne par les lettres x, y, z. . . les inconnues du problème et les inconnues auxiliaires que Ton juge utile d'introduire, et l'on exprime à l'aide des conditions de l'énoncé toutes les relations qui existent entre ces inconnues et entre les données du problème. On obtient ainsi une équation, ou un système de plusieurs équations simultanées, suivant les cas.

Il faut remarquer que dans certains cas le problème peut admettre diverses sortes de solutions; dans ces cas, on mettra le problème en équation pour chaque sorte de solutions : on ne négligera pas d'abréger le plus possible -cette besogne, en se souvenant que quand il s'agit de grandeurs susceptibles d'être comptées dans des sens •différents, une seule formule suffit, en général, pour embrasser tous les cas possibles, ainsi que nous l'avons montré au chapitre m du Livre I er -

Ayant obtenu les équations qui correspondent à une solution d'une certaine espèce, il est clair que toute solution de cette espèce est une solution de ces équations ; mais la réciproque n'est pas vraie en général. Donc, il ne faudra pas se contenter de résoudre les équations obtenues, mais il faudra encore discuter les solutions de ces équations ; une telle solution ne conviendra au problème que si elle satisfait à certaines conditions faciles à énoncer a priori, et qui résultent de la nature même du problème et de l'espèce de solution envisagée. Pour faire cette discussion, on aura en général à résoudre des inégalités.

Ces considérations générales vont être suffisamment -éclaircies par les exemples auxquels est consacré ce chapitre.

Un problème est dit du premier degré, quand pour le résoudre, il suffit de résoudre des équations du premier degré.

Un problème est dit du degré n, quand pour le résoudre, îl faut résoudre une équation du n e degré et des équations du premier degré.

Nous ne nous occupons actuellement que des problèmes du premier degré. Remarquons que les problèmes d'intérêts, d'escompte, de partages proportionnels, de mélanges et d'alliages que nous avons résolus en arithmétique sont tous des problèmes du premier degré.

Problème I