Trouver un nombre dont le quart augmenté

du septième soit égal aux cinq sixièmes du reste

diminués de — •

En appelant x le nombre cherché, l'énoncé conduit immédiatement à l'équation

ÉQUÀTlOiNS ET PROBLÈMES DU PREMIER DEGRÉ. 187

qui devient, en chassant le dénominateur numérique,

42# -f 24x = UOx — Sox — 20* — 19 X 28,

Le nombre cherché est 28.

Problème II

Deux robinets ouverts, le premier pendant 2 heures et le second pendant 3 heures, ont donné ensemble 2 200 litres ; si le premier coule pendant 3 heures, et le second pendant 2 heures, le débit total est de 2300 litres. Quel est le débit de chaque robinet pendant une heure ?

Soient x et y les débits des deux robinels pendant une heure, exprimés en litres; les conditions de l'énoncé donnent les équations

d'où Ton tire

Cette solution convient au problème, puisque les valeurs trouvées pour x et y sont positives.

Problème III

Trouver un nombre de trois chiffres tel que la somme de ses chiffres soit 16, que la somme des deux chiffres extrêmes soit triple du chiffre moyen, et que si Ton retranche de ce nombre le nombre que Ton obtient en écrivant ses chiffres en ordre inverse, la différence soit 198.

Soient x, y, z les chiffres des centaines, des dizaines et des unités dans le nombre cherché. Les deux premières

ANDOYER. ALGÈBRE. 9

conditions de l'énoncé donnent d'abord les équations

remarquant ensuite que le nombre cherché a pour valeur iOOx -f~ lOy -f- z, et que le nombre formé en écrivant les chiffres du nombre cherché en ordre inverse a pour valeur lOOz + Ity + x > on obtient la troisième équation

(iOOx -f lOy + z) — (1002 -f 10// + x) — 198. On a donc à résoudre le système

lx+ y + * = 16 f ] x — 3y + z = 0, (99x — 99z=198.

La troisième équation s'écrit plus simplement après division par 99 :

Retranchant la seconde équation de la première membre à membre, il vient :

d'où

y=A; on a alors :

d'où en ajoutant et retranchant membre à membre :

Cette solution convient au problème puisque les valeurs de x, y, z sont des nombres entiers positifs, inférieurs à 10. Le nombre cherché est 745.

Remarquons que nous avons été amenés à trouver deux nombres, connaissant leur somme a et leur différence à;

le premier est égal à ^ \ \ e second à

Problème IV

Un renard poursuivi par un lévrier a 75 sauts d'avance; il en fait 9 pendant que le lévrier en fait 6, et 3 sauts du lévrier valent 7 sauts du renard; on demande combien le lévrier fait de sauts avant d'atteindre le renard.

Appelons x le nombre cherché, et prenons pour unité de longueur le saut du lévrier; le lévrier parcourt alors une longueur x avant d'atteindre le renard ; le saut du

renard vaut -d'après l'énoncé, et par suite la distance

qui sépare le renard du lévrier au commencement est

mesurée par -X 75. Pendant que le lévrier fait x sauts,

le renard en fait - x ou - x, d'après l'énoncé, et par suite

parcourt une distance mesurée par -x-x ou —-x.

Quand le lévrier atteint le renard, on a :

d'où

Cette solution, positive, convient au problème.

Problême V

On demande l'âge d'une personne au moment de sa mort, sachant qu'elle a passé dans la jeunesse le sixième de sa vie, et dans l'adolescence le douzième; qu'ensuite elle s'est mariée et a passé dans cette union le septième de sa vie plus 5 ans avant d'avoir un fils auquel elle a survécu de 4 ans et qui n'a

atteint que la moitié de l'âge auquel la personne considérée est parvenue.

Soit x le nombre d'années cherché; l'énoncé donne immédiatement l'équation

*=!+ïs+(?+ 5 )+!+ 4 '

d'où x = 84.

Problême VI

Un lingot d'or et d'argent pèse 10 K « r ; plongé dans l'eau il ne pèse plus que 9 K * r ,375. Quels sont les poids d'or et d'argent contenus dans le lingot, sa* chant que la densité de l'or est 19,3 et celle de l'argent 10,5 et aussi que, d'après le principe d'Archimède, un corps plongé dans l'eau perd une partie de son poids égale au poids de l'eau déplacée .

Soient x et y les poids cherchés exprimés en kilogrammes; on a d'abord :

*-J-$/ = 10; l'or ne pèse plus dans l'eau que x — j<r-Q' et l'argent ne

pèse plus que y — r^; on a donc la seconde équation

ou, en profilant de la première,

On en déduit en résolvant :

„__ 19,3 (10- 0,625 Xi0,5) „

et par suite

Cette solution convient au problème, puisque les valeurs de # et y sont positives.

Problème VII

122. — Trouver deux nombres tels qu'en augmentant le premier de 2 et le second de 3, leur produit augmente de 12. et qu'en diminuant le premier de 4 et le second de 6, leur produit diminue de 24.

Appelant xety les deux nombres, on a les deux équations

(x + 2)(y + 3) = xy + i%

(* — 4)(y-6) = *y-24, ou en réduisant

Multipliant la première par 2 et retranchant membre à membre de la seconde, on trouve = 36. Le problème est donc impossible.

Problème VIII

Trouver deux nombres tels qu'en augmentant le premier de 2 et le second de 3, leur produit augmente de 45, et qu'en diminuant le premier de 4 et le second de 6, leur produit diminue de 54.

Appelant x et y les deux nombres, on a les deux équations

(x + 2)(y + 3) = xy + Ao, {x — A)(y—6)=xy — 54, ou en réduisant

En multipliant la première par 2, et retranchant de la seconde membre à membre, on trouve = 0. Le problème est donc indéterminé, y peut recevoir une valeur quelconque positive ou négative et x est déterminé par la relation

ou #=13 — -y.

Problème IX

Trouver un nombre de 3 chiffres, sachant que le chiffre des centaines est le quadruple de celui des unités, et que la somme des trois chiffres augmentée de celui des dizaines est égale à 7.

Si x, y, z sont les chiffres des centaines, des dizaines et des unités, le problème donne seulement les deux équations à trois inconnues

x=Az,

que l'on peut écrire sous la forme

S'il s'agissait seulement de résoudre les équations cidessus, z pourrait recevoir une valeur arbitraire et la question serait indéterminée. Mais pour qu'une solution des équations convienne au problème, il faut que x, y, z soient des nombres entiers positifs ou nuls inférieurs à 10. Donc x étant égal à 4s, z ne peut recevoir que les valeurs 0, 1 ou 2; en outre, il faut que y soit,entier et positif; donc les valeurs et 2 pour z sont à rejeter, et Ton ne peut prendre que z= l, ce qui donne x=A et y = 1. Le nombre cherché est 411.

Problème X

Trouver un nombre de deux chiffres tel que la somme de ses chiffres soit 16.

En appelant x et y les deux chiffres des dizaines et des unités, on a la seule équation

x + y = l§, d'où

Il faut que x et y soient des nombres entiers positifs ou nuls, inférieurs à 10; on a donc les diverses solutions suivantes :

Les trois nombres 97, 88 et 79 répondent seuls à la question, qui est déterminée, bien que l'on trouve une seule équation à deux inconnues quand on met le problème en équation.

Problème XI

123. — Un train express transporte n voyageurs de première et de seconde classe; déterminer le nombre des voyageurs de chaque classe, sachant qu'ils ont payé en tout p francs et que chaque voyageur de première classe a payé 36 francs, chaque voyageur de seconde classe 24 francs.

En appelant xety les nombres de voyageurs de première et de seconde classe, on a les équations

qui, résolues, donnent :

D'après la nature du problème n est un nombre entier positif, et cette solution ne peut convenir au problème que si les valeurs de x et y sont elles-mêmes entières et positives (ou nulles).

Il faut donc pour que le problème soit possible : 1° que p soit un nombre entier divisible par 12;

2° que Ton ait :

£- > 2/i et 3n > £ 12^ ^12

Dans tout autre cas, le problème est impossible.

Problème XII

Trouver un nombre de trois chiffres, sachant que la somme de ses chiffres est égale à a, que le chiffre des centaines est double du chiffre des unités, et que le chiffre des dizaines est égal à la somme des deux autres.

En appelant x, y, z les chiffres des centaines, des dizaines et des unités, on a les équations

qui, résolues, donnent immédiatement :

Il faut que x, y, z soient des nombres entiers, positifs inférieurs à 10; donc, pour que le problème soit possible, il faut que a soit un entier positif, divisible par 6 et inférieur à 20; a ne peut donc avoir que les valeurs 6, 12 et 18.

Bien que le problème dépende d'un paramètre, il est donc déterminé, et les trois nombres 231, 462, 693 répondent seuls h la question.

Problème XIII

Trois joueurs se mettent au jeu en convenant quele perdant doublera ravoir des deux autres; après

trois parties perdues successivement par le premier, le second et le troisième joueur, ils se retirent avec des sommes respectivement égales à a, b 7 c. Quelle était la mise de chaque joueur en commençant le jeu?

Soient x, y, z les mises des trois joueurs ; après la première partie, les avoirs sont respectivement

x — y — z, 2y, 2z; après la seconde, ils sont :

2 (# — y— *)i 2y — (x — y — z) — 2z, 4z, ou

enfin après la troisième ils sont

4z — (2x~ 2y — 2z) — (— x-f 3y — z), ou Ax — 4y — 4z, — 2x -j- 6y — 2z, — x-—y-{-lz.

On a donc les équations

Ax — 4y — 4z = a,

qui, ajoutées membre à membre, donnent :

comme cela devait être évidemment, puisque la somme des enjeux n'a pas varié.

Ces équations donnent :

§a-\-Ab-\-Ac

fOti LIVRE II.

Celle solution convient au problème, car les valeurs des inconnues sont positives en même temps que a, b, c f et en outre, les avoirs des trois joueurs, après chaque partie, sont positifs, comme on le voit immédiatement.

Problème XIV

124. — Pour faire un ouvrage, un ouvrier A, met p fois plus de temps qne les ouvriers A 3 et A 3 travaillant ensemble; A 2 met q fois plus de temps que Aj et A 3 travaillant ensemble; alors A 3 met œ fois plus de temps que A t et A s travaillant ensemble. On demande de calculer le nombre x.

Appelons t if f 2 , t 3 les temps que mettraient les ou* vriers A 1? A 2 , A 3 pour faire l'ouvrage considéré, chacun travaillant seul.

Pendant l'unité de temps, A 2 et A 3 travaillant seuls

font chacun une fraction de l'ouvrage marquée par — et — ;

travaillant ensemble ils font une fraction de l'ouvrage

marquée par — | — , et par suite pour faire l'ouvrage en-

tier il leur faut un temps égal à - A j ou 7—777'

JL-L.1 *2 "1 'a

On a donc la première équation

De même on a les deux autres équations

On peut écrire ces équations sous la forme

Les deux premières donnent :

tt—tt {+p . t t —t t l+±

*ih — hh pg i* hh — ^hj^r^

Portant dans la troisième et divisant par t x t 2% il vient :

- x + ±±JL + ±kL = 0t

pq — i ' pq — 1

d'où

pq-i

Le problème n'est possible que si pq est supérieur à i .

Problème XV

Trois prés ont des surfaces mesurées par a, a', a' ; Therbe a la même hauteur dans chacun d'eux et y croit d'un mouvement uniforme commun. Le premier peut nourrir n bœufs pendant un temps £, et le second n' bœufs pendant un temps t\ Combien de bœufs pourra nourrir le troisième pendant le temps t" ?

(Les bœufs sont supposés manger tous la même quantité d'herbe pendant le même temps.)

Soit x le nombre cherché; appelons y la hauteur de Therbe dans chacun des prés, v la vitesse avec laquelle elle croît, et z la quantité d'herbe que mange chaque bœuf pendant l'unité de temps. Le premier pré pendant le temps t fournit une quantité d'herbe mesurée par (y j V t^ et par suite on a l'équation

ntz = a(y-\-vt);

de môme on a les deux autres équations

n'l'z=a'(y-\-vt'), xt"z = a"\y-\-vt").

Les deux premières donnent :

nta' — n't'a . tl n'a — na

aa\t—t') * aa\t — t')

Portant dans la troisième et divisant par z, il vient :

a" [{nta' — n't'a) t" + W (n'a — na')] X ~ aa't" (t — t')

a" [nta' {t" - t') - n't'ajt" - t)} ~ aa't" [t — *')

Pour que le problème soit possible, il faut et il suffit que v et y soient positifs, car alors x sera aussi positif. Donc en supposant t > t', on doit avoir :

n'a — na' > et ni a' — n't'a > 0, c'est-à-dire

na V

Si le nombre x n'est pas entier, il n'y a pas impossibilité : n étant compris entre les deux entiers consécutifs N et N-j-1, le troisième pré pourra nourrir plus de N bœufs, mais n'en pourra pas nourrir N+i pendant le temps t".

Problème XVI

Un héritage est partagé de la façon suivante : le premier héritier prend a francs et la n me partie du veste ; le second prend 2a francs et la n me partie du reste ; le troisième prend 3a francs et la n me partie du reste; et ainsi de suite. L'héritage se trouve ainsi exactement partagé en parts égales. Quel est le nombre des héritiers et la part de chacun ?

Appelons x la valeur de l'héritage, et écrivons d'abord

que les deux premières paris sont égales ; on a l'équation

d'où

# = an s — 2an-\~a = a(n — i) 2 .

La part du premier héritier est donc

«4-£((n — I)» — !) ou a(n — 1).

Par suite, il y a n — 1 héritiers, puisque la part de chacun est a (n — i ) et que l'héritage total est a (n — i )*.

Toutefois, ce que nous venons de dire n'est pas suffisant; en effet nous avons trouvé les inconnues en écrivant une partie seulement des conditions de l'énoncé. Si les autres ne sont pas vérifiées d'elles-mêmes, il y a impossibilité. Il faut donc s'assurer que les autres conditions sont vérifiées.

Supposons que ces conditions soient vérifiées pour les/) premières parts, qui seront toutes égales h(n ■— i)a par suite. Alors la (p-\- l) ,nc part sera d'après l'énoncé :

(p + lja + iftn-l) 1 * — p(n—i)a — {p + i)a),

ou en réduisant

On voit ainsi que le problème est possible et admet la solution trouvée.

Problème XVII

125. — Un père a 53 ans, son fils en a 17; dans combien de temps l'âge du père sera-t-il double de celui du fils?

Soit x le temps cherché mesuré en années; on a l'équation évidente