Pour résoudre l'inégalité bicarrée
ax k -f *a? 2 + c> 0,
on considérera d'abord l'inégalité
et Ton cherchera les valeurs positives de y qui la vérifient; les solutions de l'équation donnée seront les racines carrées positives et négatives de ces valeurs.
On comparera de même un nombre m aux racines de l'équation bicarrée
ax K -j" & x * + c = 0|
en comparant son carré m* aux racines positives de l'équalion
et tenant compte du signe de m, et de celui des racines de l'équation donnée.
Exemple. — Résoudre l'inégalité
L'équation
a pour racines 7 et 9 ; donc les valeurs positives de y qui vérifient l'inégalité
y* — 16y + 63>0 sont
par suite les valeurs de x qui vérifient l'inégalité proposée sont
#< — 3, — V^7 < ff < V^7, a?>3.
Remarque. — La méthode qui nous a servi pour résoudre l'équation bicarrée s'appliquerait de même à la résolution d'équations de la forme
On résoudrait d'abord l'équation
et l'on serait ramené ensuite à l'extraction de racines n nte \
De même on peut généraliser ce que nous avons dit sur la résolution de l'inégalité bicarrée.
§ 5. — Systèmes du second degré.
143. — Les systèmes d'équations du second degré sont ceux dont la résolution se ramène à celle d'équations du second degré soit directement, soit indirectement.
Les systèmes d'équations qui se résolvent directement à l'aide d'équations du second degré sont les systèmes de n équations à n inconnues dans lesquels toutes les équations sont du premier degré par rapport à toutes les inconnues, sauf une qui est du second degré.
En effet, si l'on résout toutes les équations du premier degré du système par rapport an — 1 des inconnues, en regardant la n m % a? par exemple, comme un paramètre, on s'assure aisément que les solutions trouvées sont toutes des polynômes du premier degré en x. En portant ces valeurs dans l'équation du second degré, on obtient donc une équation du second degré en x; si cette équation n'a pas de racines, le système proposé est impossible; si cette équation a deux racines, le système a en général deux systèmes de solutions que l'on obtient tout de suite.
Exemple. — Résoudre le système
2* + 3y — 4z~ 1=0, 5ar — 4y + 6z — 7 = 0.
Les deux dernières équations donnent :
portant ces valeurs dans la première, il vient après réduction :
O0IB? t . 1263 613 A — 325*H — ëf-x g" ,
équation qui admet les deux racines
Le système a donc deux solutions
' — M I "-El!
y> = i, ly" =
144. — Dans d'autres cas, on ne ramène le système à des équations du second degré que par des artifices de calcul ou remploi d'inconnues auxiliaires ; ou bien on arrive aune équation bicarrée; ou encore certains systèmes qui paraissent de degré plus élevé que le second se ramènent d'eux-mêmes au second degré.
Exemples. — 4° Résoudre le système
^ + ^ = 35, ar-f-y = 5.
La seconde équation donne :
et portant dans la première, il vient :
45a: 1 — 75# + 125 = 35, ou
#* — 5a? + 6 = 0, d'où
Le système a deux solutions
X ^^ JLy V X «J,
y' = 3, jt/" = 2.
2° Résoudre le système
}3# î + 2y , = 5#y, \ 2a? — y = xy.
En faisant
on est ramené au système du second degré
La seconde équation donne :
et la première devient :
Hy'« — 8^—3=0,
d'où les deux solutions
*'.=*> i , __iz,
et par suite pour le système proposé
3° Résoudre le système
La deuxième équation donne :
portant dans la première, il vient :
ou
d'où les deux solutions
x' = % iar" = — 2,
Nous rencontrerons plus loin d'autres exemples de tels systèmes.
Exercices
