Une inégalité de la forme

ax~\- b ~ — > o

se ramène à l'inégalité du second degré; car elle est équivalente à

{ax + b){a'x + b')>0.

Une inégalité de la forme

az* -\- bx -\- c ~ a'x* + b'x + c' >

est facile à résoudre ; en effet elle est équivalente à [ax % + bx + c) (a'x* + b'x + c') > 0.

Si les deux équations

ax*-]-bx-\-c=0, a'z % ^-b , x + c' = O f

n'ont pas de racines, le produit

{az* + bx + c) {a'x 2 + b'x + c')

a toujours le signe de aa f .

Si une seule des équations précédentes, la seconde par exemple, n'a pas de racines, et si x\ x" sont les racines de la première, le produit {ax t -\-bx-\-c){a'x 1 -\-b'X'\-c') a le signe de aa! (z — x') {x — x") .

Si enfin les deux équations ci-dessus ont des racines, x', x" pour la première, #' n z'\ pour la seconde, le produit {ax* -f" & x + c ) ( a ' x * + b'x -f- c') est égal à aa'(x — x')(x — x")(x — x\){x — x'\),

et Ton est ramené aux inégalités résolues au n° 111.

On raisonnerait de même si l'on avait une inégalité de la forme

ax* -\-bx-\-c . n n ax4-b ~

Exemple. — Résoudre l'inégalité

x 2a Sa 2

Elle est équivalente à celles-ci :

x(x-\-a) — 2a (x — a) — Sa 1

(# 8 — ax — 6a*) {x 1 — a 2 ) > 0,

(s— 3a)(x + 2a)(ar + a)(ff — a)>0.

Supposons a > : l'inégalité est vérifiée pour x< — 2a, —a<x<a, 3a <x.

Si Ton a a < 0, l'inégalité est vérifiée pour x<3a, a<x< — a, -~2a<x.

§ 4. — Equation bicarrée.

140. — Une équation bicarrée est une équation du quatrième degré qui ne contient que les puissances paires de l'inconnue ; elle se présente donc sous la forme

ax*-{-bx*-]-c=Q.

Pour la résoudre, on prend une inconnue auxiliaire

On est ainsi amené, en remplaçant x* par y, au système équivalent

a 2/* + fy + c =0, x* = y,

dans lequel la première équation est du second degré à une inconnue.

Si b* — Aac <0, l'équation en y n'a pas de racines; le système est impossible, et l'équation bicarrée aussi.

Si 6* — 4ac=0, l'équation en y a une racine égale

à — — ; et par suite on est ramené à l'équation

si — ■— est négatif, c'est-à-dire si b et a sont de même 2a

signe, cette équation est impossible et par suite aussi l'équation bicarrée; si — -- est positif, c'est-à-dire si b

et a sont de signes contraires, l'équation bicarrée a deux racines

Si b 2 — iac > 0, l'équation en y a deux racines y' et y", et l'on est ramené aux deux équations

Si les coefficients a, b, c sont tous de même signe, ce qui entraîne

es racines y' et y" sont négatives, et par suite les équations ci-dessus sont impossibles de même que l'équation bicarrée.

Si le produit - des racines y' et y" est négatif, l'une

de ces racines, y" par exemple (si a est > 0), est positive; l'autre est négative; par suite l'équation x*=y" est seule possible, et donne deux valeurs pour x :

x = ±Vy" ou x = ±y -ï-^

Si. a était négatif, on prendrait le signe — devant VV — 4ac.

Enfin si a et c sont de même signe, et si b est de signe contraire à celui-là, c'est-à-dire si Ton a :

les deux racines y' et y" sont positives, et Ton a quatre valeurs pour x :

x = ±\fy*, x=±\/y", ou en une seule formule

— b±Vb* — Aac

L'équation bicarrée n'a donc pas de racines, ou bien en a deux égales et de signes contraires, ou bien en a quatre égales deux à deux et de signes contraires.

Les cas particuliers dans lesquels Tune des quantités 6 ou c est nulle sont faciles à examiner.

Exemples. — 1° Résoudre l'équation

Sans chercher lé signe de b 2 — lac, on voit que a, b, c sont de même signe; il n'y a pas de racines.

2° Résoudre l'équation

x' + Sa?* — 6 = 0.

Ici, puisque c et a sont de signes contraires, 6* — 4ac est positif, et l'équation a deux racines seulement

3° Résoudre l'équation

Ici on a b* — &ac > 0; en outre a et c sont de même signe, et b de signe contraire à celui-là; donc l'équation a quatre racines :

c'est-à-dire x= {

4° Etudier la nature des racines de l'équation (m -f 1 )x k — 2mx* — (2m — 3) = 0,

quand m prend toutes les valeurs possibles.

La quantité sous le radical b' 2 — ac est ici

m* + (m -fi) (2m -3) ou

3m« — m— 3; l'équation

3m 8 — m-^3 = a deux racines

, 1 — /37 „ i + V^tt

Donc l'équation ne peut avoir de racines que si Ton a :

La quantité -,ou 1IT"> es * P os ^ ve <I uan d on a :

elle est négative dans le cas contraire.

Enfin la quantité -, ou XT ,est P os ^ ve quand on a :

elle est négative dans le cas contraire.

Le nombre - substitué à la place de m dans 3m 2 — m — 3 2 r

donne comme résultat -; par suite - est supérieur à m"

ou inférieur à m! ; mais, m! étant négatif, cette dernière hypothèse est absurde et Ton a :

ce que Ton aurait pu constater aussi par un calcul direct. Le nombre — 1 substitué à la place de m dans

ÉQUATIONS ET PROBLÈMES DU SECOND DEGftÉ. 243

3m 2 — m — 3 donne comme résultat 1, et par suite on voit comme plus haut que l'on a :

— Km'.

Gela posé, on voit que les diverses valeurs remarquables trouvées pour m se rangent en ordre croissant de

la façon suivante :

Alors, pour m < — 1, on a -< : l'équation a deux

racines ;

pour — 1 <m<w', on a ô 2 — 4ac>0, - > 0, -> 0:

l'équation n'a pas de racines;

pour m! < m < m", on a b 1 — Aac < : l'équation n'a pas de racines ;

pour m" < m < - , on a O 2 — kac > 0, - > 0, - <r 0:

l'équation a quatre racines;

pour - < m, on a - < : l'équation a deux racines.

On verra aisément ce qui arrive dans les cas particuliers laissés de côté.

141. — Quand la quantité - est positive, on peut résoudre directement l'équation bicarrée de la façon directe que voici. Mettons-la d'abord sous la forme

Supposons - < 0. Remarquons que l'on a :

+ a- S (* , + V/5) , - to 'V / 5'

l'équation devient ainsi, en considérant ses termes extrêmes comme ceux d'un carré,

• (- + v^D" - (• vl-D»*— -

la quantité 2 y est positive puisque Ton a - < 0,

et l'équation peut encore s'écrire :

On est ainsi ramené à la résolution des deux équations du second degré

et *> + *\/2\Jl- b R + \/l = 0.

Ces équations n'ont de racines que si l'on a :

ou

b iA

ou en élevant au carré, ce qui est légitime puisque

est positif,

ou enfin

6* — lac ^ 0.

Cette condition étant supposée vérifiée, la première équation donne :

vVî-H/-l- 2 vC-

et la seconde :

y/iy/i-iW-

ou, en une seule formule :

nZ-ï+'v^îv

On vérifie aisément l'identité de cette formule avec celle que nous avons trouvée précédemment.

Si Ton suppose - positif, l'équation n'a pas de racines,

b c car les trois termes a? 4 , - a? 2 , - étant positifs quelle que

soit la valeur de a?, leur somme n'est jamais nulle. Exemple. — Résoudre l'équation

On a :

d'où les quatre racines

x • jLy x x , a? ^— x , x -~~ £*