LOGARITHMES
§ 1 er . — Définition et Propriétés des logarithmes.
156. — Soit une progression géométrique de raison positive q dont le premier terme est égal à 1,
et une progression arithmétique de raison r, dont le premier terme est égal à 0,
chaque terme de la progression arithmétique est appelé logarithme du terme correspondant de la progression géométrique ; ainsi nr est le logarithme de q n ; on écrit :
nr =log q n .
Nous ne définissons ainsi que les logarithmes des nombres 1, y, y 2 ,... q 11 .
Pour aller plus loin, nous prolongerons d'abord les
deux progressions (G) et (A) vers la gauche, de sorte que
leurs termes successifs seront pour (G) à partir de 1,
-. -j,... — ,... et pour (A), à partir de 0, — r, — 2r,...
— nr,...
Alors, chaque terme de la progression (G) ayant toujours pour logarithme le terme correspondant de la pro-
gression (A), le logarithme de — sera — nr.
Ceci posé, insérons p moyens géométriques positifs entre chacun des termes de (G) et p moyens arithmétiques entre chacun des termes de (A) ; nous formerons ainsi deux nouvelles progressions, Tune géométrique (G') !
de raison q'=* + \/ç y l'autre arithmétique (A ; ) de raison
et, comme ces deux progressions comprennent les progressions (G) et (A), nous dirons que le logarithme d'un terme de (G') est le terme correspondant de (A').
Soit maintenant m un nombre quelconque positif; il est compris entre deux termes consécutifs a et b de la progression (G'), et nous définirons son logarithme en disant qu'il est compris entre les logarithmes des deux termes a et 6.
Cette définition est légitime parce qu'on voit tout de suite que si x et y sont deux nombres dont on a pu définir les logarithmes rigoureusement, par l'insertion de moyens géométriques et arithmétiques entre les termes de (G) et de (A) (le nombre des moyens employés pour définir le logarithme de x n'étant pas nécessairement le même que le nombre des moyens employés pour définir le log de y), et si Ton a x > y, on a aussi toujours log x > log y, ou log x < log y, suivant la nature des progressions : on a toujours log x > log y, si les deux progressions sont croissantes ou décroissantes ensemble; on a au contraire log x < log y, si les deux progressions sont l'une croissante, l'autre décroissante.
Nous n'insisterons pas davantage sur cette proposition qui est bien facile à démontrer, et presque évidente.
La définition précédente permet de calculer avec une
aussi grande approximation qu'on le veut le logarithme
du nombre positif m; en effet, en insérant p moyens
entre les termes successifs de (G) et de (A), on renferme
le logarithme de m entre deux nombres qui ne diffèrent
r <jue de r'= . . , et en prenant p suffisamment grand,
PROGRESSIONS ET LOGARITHMES. *9o
cette quantité r' peut devenir aussi petite qu'on le veut.
Remarquons que les nombres positifs seuls ont 'des logarithmes; ces logarithmes sont eux-mêmes positifs ou négatifs.
Si par exemple les deux progressions (G) et (A) sont croissantes, les nombres supérieurs à 1 ont des logarithmes positifs ; les nombres inférieurs à 1 ont des logarithmes négatifs.
Le logarithme d'un nombre infiniment grand est alors lui-même infiniment grand et positif; le logarithme d'un nombre infiniment petit est infiniment grand et négatif,
car, si n augmente indéfiniment, — tend vers zéro, tandis
que — nr devient infiniment grand et négatif.
157. — Ce que nous avons dit plus haut montre suffisamment que, inversement, à un nombre quelconque / positif ou négatif, correspond un nombre m et un seul qui admet l pour logarithme.
Si l appartient à la progression (A) ou à une progression (A'), m est le nombre correspondant de la progression (G) ou (G'). Si / tombe entre deux termes consécutifs de (A'), m est compris entre les deux termes de (G') qui ont pour logarithmes ces deux nombres; cette définition est légitime et permet de calculer m avec une aussi grande approximation qu'on le veut; en effet, en insérant p moyens entre les termes successifs de (G) et de (A), on renferme m entre deux nombres dont le rapport est
q' = v *\/q t et nous allons faire voir que ce rapport peut être rendu aussi voisin de 1 qu'on le veut, à condition de prendre p suffisamment grand; donc la différence entre les deux nombres qui renferment m peut être rendue aussi petite qu'on le veut.
Pour montrer que P ¥ yfq tend vers 1 lorsque p augmente indéfiniment, supposons d'abord q supérieur à 1 ; il faut faire voir que l'on peut prendre p tel que l'on ait :
a élanl un nombre positif aussi petit qu'on le veut ; cette inégalité revient à
à laquelle on sait que Ton peut satisfaire (152).
Si g est inférieur à 1 , 1 est supérieur à 1 et 7^77= ou
tend vers i ; il en est donc de même de son in-
1 / - tenc V 9
verse ' *\/q.
Nous donnerons plus loin des exemples des calculs précédents.
158. — L'utilité des logarithmes, dont l'invention est due à Néper, est suffisamment indiquée par le théorème fondamental suivant :
Le logarithme du produit de deux nombres a et b est égal à la somme de leurs logarithmes.
Supposons d'abord que les deux facteurs a et b appartiennent à une progression telle que (G') ; si a et b sont de la forme q' n et q' v , leur produit ab est q' n +P; d'ailleurs on a :
log q r,t = nr, log q'i>=pr' t log q ,n + *=(n-\-py f et par suite
log 5r" l +':=log q" l + l0g q'*\ OU
log aA = log a-\-log 6, c. q. f. d.
Si a est de la forme q hl et b de la forme -ç, le produit
ab est égal à q fn -p ou à fp __ n 1 suivant que l'on an>p
ou n <p; dans tous les cas le logarithme de ab est (n — py 9 égal à la somme des logarithmes nr' et— pr 1 des deux facteurs a et 6, c. q. f. d.
Enfin si a et b sont tous deux de la forme -77 et -7?»
leur produit est , n+p , dont le logarithme est — (n -\-p)r',
nombre égal à la somme des logarithmes — nr 1 et — pr' des deux facteurs, c. q. f. d.
Si maintenant les nombres a et b n'appartiennent pas à la progression (G), il est clair d'après ce que nous venons de dire que si par exemple les deux progressions (G) et (A) sont croissantes et si l'on a :
a', a", b f y b" étant des nombres de la progression (G'), on aura :
log a' + log V < log ab <log a" + log b",
et que par suite comme la quantité log a + log b satisfait aux mêmes inégalités, on a encore :
log ab = log a-J-log 6, c. q. f. d.
159. — Les conséquences du théorème précédent sont nombreuses et s'énoncent aisément.
D'abord, il est clair que :
Le logarithme du produit d % un nombre quelconque de facteurs est égal à la somme des logarithmes de tous les facteurs.
Car, si Ton a trois facteurs a, b, c par exemple, on a successivement, en vertu du théorème précédent,
log abc= log (aô)-j-log c = log a + log é-J-log c;
et ainsi de suite.
En particulier, le logarithme de la n me puissance d'un nombre a est égal à n fois le logarithme de ce nombre :
log a n = n log a.
Ensuite on peut dire que :
Le logarithme d'un quotient est égal à la différence entre le logarithme du dividende et celui du diviseur. Le logarithme de la racine n mo arithmétique d'un
•298 LtVRB IV.
nombre est égal au quotient du logarithme de ce nombre divisé par n.
En effet 1° si 7 = c, on a a = 6c, d'où :
et par suite 2° si l'on a
on a d'où
log a = log b -{- log c, log c = log a — log b ;
b = \/a, ou a =6", log a = n log 6,
log 6 = - log a.
On peut ajouter que, si le rapport des logarithmes de deux nombres a et b est un nombre commensurable positif
égal à la fraction ordinaire -, on a :
a = ^6*7 de même y si le rapport considéré est un nombre commensurable négatif égal en valeur absolue à la fraction
ordinaire -> on a :
En effet la première égalité donne :
loga = -(plog6) = ^logô; la seconde donne :
log a = log I — -(p log b) = — ^ log 6,
puisque le logarithme de 1 est zéro.
Une expression telle que
a m b n tfc* a' m ' b ln ' SfïF'
aura en vertu des propositions précédentes son logarithme égal à
m log a + n log b + - log c — m' log a' — n' log 6'
On voit donc que si Ton possède une table de logarithmes, c'est-à-dire une table donnant les logarithmes des nombres et les nombres qui correspondent à des logarithmes donnés, on pourra ramener les multiplications à des additions, les divisions aux soustractions, les extractions de racines à des divisions, et que par suite on exécutera avec la plus grande rapidité des calculs qui demandent beaucoup de temps et d'attention quand on les fait directement.
Le paragraphe suivant mettra suffisamment en évidence les avantages incomparables de l'emploi des logarithmes pour effectuer les calculs numériques.
§ 2. — Logarithmes vulgaires. Tables
de logarithmes.
160. — U y a une infinité de systèmes de logarithmes, car dans les progressions fondamentales (G) et (A) les nombres q et r sont arbitraires. La base d'un système de logarithmes est le nombre dont le logarithme est égal à 1 dans ce système.
Le système de logarithmes que Ton emploie pour ainsi dire uniquement a pour base 10; ce sont les logarithmes vulgaires ou décimaux. Leur emploi présente des avantages que la suite mettra en évidence.
Dans ce système, les progressions fondamentales sont :
"" Ï7v i, * # * Tn*' T7|* *» *ti, lu , îu , .•• îu , ••.
• •• *^-"W-,.., ~— z,-~i, u, lj «fi, • o, ••» w, •••
Le logarithme de 10" est w.
Donc le logarithme d'un nombre compris entre 10 n et 10 H + * est compris entre n et n -f- 1 ; de même le loga-
rithme d'un nombre compris entre j^ et . fln + 1 est compris entre — n et — (n -f- i).
Soit a un nombre supérieur à 1, et soit p le nombre des chiffres de sa par lie entière, à partir du premier chiffre significatif à gauche. Ce nombre est compris entre KF" 1 et 10''; par suile son logarithme est de la forme p — 14-'»' étant un nombre positif plus petit que l'unité.
Le nombre entier positif ou nul p — 1 est la caractéristique de log a ; le nombre / s'écrit sous forme décimale, et s'appelle la partie décimale de log a.
On voit que la caractéristique du logarithme d'un nombre a supérieur à 1 est égale au nombre des chiffres de la partie entière de ce nombre, diminué de 1.
Soit maintenant a un nombre inférieur à 1, mis sous forme décimale, et soit p le nombre de z^ros comptés après la virgule jusqu'au premier chiffre significatif à
gauche; le nombre a est compris entre rrry et TfyT+î ? P*?
suite son logarithme est compris entre — p et — (p -{- 1); on peut le mettre sous la forme — (p -f* I) + /, / étant un nombre positif plus petit que l'unité; le nombre entier négatif — (p -f- *) est encore la caractéristique de log a, / en est sa partie décimale.
La caractéristique du logarithme d'un nombre a inférieur à 1 est égale au nombre des zéros qui figurent dans ce nombre écrit sous forme décimale, depuis la virgule jusqu'au premier chiffre significatif à gauche, augmenté de i.
Par exemple, la caractéristique du logarithme de 0,02 est — 2; la partie décimale est 0,301 ; au lieu d'écrire :
log 0,02 = — 2+ 0,301,
on écrit en abrégé :
log 0,02 = 2,301.
PROGRESSIONS ET LOGARITHMES. 30 i
Toutes les fois que nous rencontrerons une telle écriture, il faut l'interpréter de la même façon ; c'est ainsi que
161. — L'avantage fondamental des. logarithmes décimaux consiste dans la propriété suivante :
Si deux nombres a et a' ne diffèrent que par la place de la virgule {ou, s'ils sont entiers, par les nombres des zéros qui les terminent), leurs logarithmes ont même partie décimale, et par suite ne diffèrent que par leurs caractéristiques.
En effet, si a est le plus grand des nombres donnés,
d'après l'énoncé le rapport —, est une certaine puissance
de 10, 10 n ; on a donc :
log a — log a' = log 10 n = n, et par suite
log a = n 4~ log a',
ce qui démontre bien la proposition énoncée.
Ainsi le logarithme de 0,02 étant 2,301 , celui de 2000
sera 3,201 ; celui de 0,000002 sera 6,201.
162. — Une table de logarithmes permet de calculer seulement avec une approximation déterminée le logarithme d'un nombre donné, ou bien inversement de trouver le nombre qui correspond à un logarithme donné.
Avant de dire comment on se sert d'une table de logarithmes, nous allons montrer sur des exemples comment, en appliquant ce qui a été dit aux n 09 156 et 157, on peut résoudre les mêmes questions sans table de logarithmes, et par suite, comment on peut construire une table de logarithmes, à défaut d'autres procédés plus rapides.
1° Soit à calculer le logarithme de 37 avec 4 décimales. La caractéristique est 1 ; la partie décimale est donc seule à calculer ; c'est la même que celle du logarithme de 3,7 ; et comme le logarithme de 3,7 a pour caractéristique 0, c'est le logarithme de 3,7.
Entre 1 el 10 insérons un moyen géométrique ; ce sera
VIO = 3,162, dont le logarithme est 0,5, moyen arithmétique entre et i, logarithmes de 1 et 10.
Le logarithme de 3,7 est compris entre 0,5 et 1 .
Ent re 3,162 et 10 insérons un moyen géométrique; ce
sera V^3,162x 10 = 5,623, dont le logarithme est
5^ti=o,„.
Continuons de même; nous aurons le tableau suivant :
Nombres. Logarithmes.
Le logarithme de 3,7 est donc 0,5682, à 7^ près.
Ce résultat est exact.
On a fait les calculs en employant les méthodes abrégées du Cours d'arithmétique; dans la colonne des logarithmes, on a gardé 6 chiffres décimaux, pour ne pas accumuler les erreurs.
Le calcul peut encore s'abréger beaucoup en remarquant que si a et b sont deux nombres voisins (a > b) on a :
donc, en prenantes = T , on commet une erreur par
excès moindre que - — R , ' . Ici on voit tout de suite que
l'on peut a ppliquer cette s implification dès qu'il s'agit du
calcul de ^3,652 X 3,785 : on supprime ainsi plus de la moitié du travail, puisqu'une moyenne arithmétique entre deux nombres voisins se prend à vue.
2° S'il s'agit de chercher le nombre qui correspond à un logarithme donné, on fera un calcul tout semblable ; mais cetle fois on sera guidé dans l'ordre des opérations par la connaissance du logarithme.
Voici un autre procédé pour calculer le logarithme d'un nombre a que l'on peut toujours supposer compris entre et J0. Le logarithme de a n est n log a ; si a n np chiffres à sa partie entière, on a :
p — 1 < log (a 11 ) < p, et par suite
*- <loga<£«
Si donc l'exposant n est assez grand pour que- soit
inférieur à r^, on pourra, en déterminant/?, trouver
log a à moins de rr^. A cet effet on cherchera, par des
élévations successives au carré, les nombres de chiffres des parties entières des diverses puissances a 1 , a 4 , a 8 , ...
de a. On ira jusqu'à la puissance a % , puisque Ton a 2" = 16384.
Ces multiplications successives se feront par la méthode abrégée en gardant chaque fois quatre chiffres au résultat, et se souvenant que le nombre des chiffres de la partie entière du carré d'un nombre a est égal au double du nombre des chiffres de la partie entière de a ou à ce double diminué d'une unité suivant les cas : la distinction se fait
30i LIVRE IV.
d'elle-même d'après l'opération. Par suite, dans le calcul on ne se préoccupera en aucune façon des virgules.
Si le nombre donné est 3,7 par exemple, on a le tableau suivant :
Premiers chiffres
