RÈGLE A CALCUL

170. — La règle à calcul est un instrument qui sert à faire sans le secours de la plume les multiplications, divisions, extractions de racines carrées et cubiques et les combinaisons de ces opérations, avec une approximation le plus souvent suffisante dans la pratique.

La règle à calcul ordinaire est en bois ; elle se compose d'une partie fixe ou règle proprement dite, et d'une partie mobile, appelée réglette ou coulisse, qui glisse à frottement doux dans les rainures pratiquées dans la règle.

La règle porte à sa face inférieure un tableau de nombres usuels ; sur ses côtés elle est divisée en centimètres et millimètres, et peut, par conséquent, servir à mesurer les longueurs ; sur le côté supérieur, qui forme biseau, elle est divisée en 25 centimètres; sur le côté inférieur, elle est divisée en 26 centimètres, longueur totale de la règle, et cette graduation se poursuit jusqu'à 52 centimètres, sur la partie de la règle qui apparaît quand on enlève la coulisse.

La face supérieure de la règle, qui seule nous intéresse, porte deux divisions ou échelles, Tune supérieure, l'autre inférieure.

L'échelle supérieure, ou échelle des nombres, se compose de deux parties identiques, placées l'une au bout de l'autre. Occupons-nous de la première à gauche. Les traits principaux portent les numéros 1, 2, 3, ... 9, 1; nous lirons 10 à la place de ce dernier. Les longueurs des intervalles 1—2, 1 — 3, 1—4, 1—5, ...1—9, 1 — lOsont proportionnelles aux logarithmes des nombres 2,3,4,5,... 9, 10; de sorte que, si nous prenons pour unité de longueur la distance des deux premiers traits de l'échelle supérieure numérotés 1, les longueurs des intervalles

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1 — 2, 1 —3, 1 — 4, ... sont précisément les logarithmes

des nombres 2, 3, 4, , puisque le logarithme de 10

est 1.

L'intervalle 1 — 2 est divisé en 50 parties ; et sur les traits successifs on suppose inscrits les nombres 4,02, 4,04, 4,06, ... de deux centièmes en deux centièmes. La lecture est facilitée par les longueurs inégales des traits.

Les intervalles 2 — 3, 3 — 4 et 4 — 5 sont divisés en 20 parties, et les traits correspondent aux nombres 2,05, 2,40,2,45, ... jusqu'à 4,90,4,95, 5, de cinq centièmes en cinq centièmes.

Enfin, les intervalles 5—6, 6—7, 7—8, 8—9, 9 — 40 sont divisés en 40 parties, et les traits correspondent aux nombres 5,4, 5,2, ... jusqu'à 9,8,9,9,40, de un dixième en un dixième.

En subdivisant à vue par la pensée les intervalles entre deux traits successifs, on peut lire un nombre quelconque compris entre 4 et 40, c'est-à-dire déterminer la place qui lui correspond.

Gomme précédemment, les divisions sont telles que, si l'une d'elles correspond au nombre a, la longueur de l'intervalle 4 — a soit précisément le logarithme de a.

La seconde partie de l'échelle des nombres est identique à la première. Les traits principaux portent les numéros 4, 2, 3 ... 9, 4 ; nous les lirons comme s'ils étaient inscrits 40, 20, 30, ... 90, 400; et par suite quand nous parlerons du trait 4 de l'échelle supérieure, il faudra entendre celui qui correspond au premier 4 à gauche.

L'intervalle 40 — 20 est partagé en 50 parties correspondant aux nombres 40,2, 40,4, 40,6, ... ; les intervalles 20 — 30, 30 — 40, 40 — 50 sont partagés chacun en 20 parties égales correspondant aux nombres 20,5, 24, 24,5, ... 49, 49,5, 50; les intervalles 50 — 60, 60—70, 70 — 80, 80 — 90, 90 — 400 sont partagés chacun en 40parliescorrespondantauxnombres54,52,...98,99, 400.

Puisque les deux moitiés de l'échelle supérieure sont identiques, il est clair, d'après les propriétés des logarithmes, que la longueur de l'intervalle 1 — - a, a étant un

nombre compris entre IQet 100, est toujours précisément le logarithme des.; et par suite plus généralement, a et b étant deux nombres compris entre 1 et 400, la longueur de Fintervalle a — b est précisément la différence log b — log a.

L'échelle inférieure de la face supérieure de la règle ou échelle des racines carrées a la même longueur que l'échelle supérieure ; elle porte les traits principaux 4 , 2, 3, ... 9, 1 ; nous lirons 10 à la place de ce dernier.

L'intervalle 1 — 2 est partagé en 100 parties correspondant aux nombres 1,01, 1,02, ... 1,99, 2; la lecture est facilitée par l'inscription sur la règle des nombres 1,1,

Les intervalles 2 — 3 et 3 — 4 sont partagés chacun en 50 parties correspondant aux nombres 2,02, 2,04, ... 3,96, 3,98, 4.

Les intervalles 4— 5,5— 6,6— 7,7— 8,8— 9,9— 10 sont partagés chacun en 20 parties égales correspondant aux nombres 4,05, 4,1,4,15, ...9,9,9,95, 10.

Puisque l'échelle inférieure est de longueur égale à la longueur totale de l'échelle supérieure, la distance 1 — a comptée sur l'échelle inférieure, a étant un nombre compris entre 1 et 10, est le double du logarithme de a, en conservant toujours, bien entendu, la même unité de longueur ; plus généralement, si a et b sont compris entre

1 et 10, la longueur de l'intervalle a — b est égale à

2 log b — 2 log a.

171. — Considérons maintenant la réglette ; elle porte à sa face supérieure deux échelles identiques à l'échelle supérieure de la règle et que nous lirons de la même façon.

La face inférieure de la réglette porte trois échelles. L'échelle supérieure, intitulée S, est divisée en degrés; les nombres inscrits permettent de lire les divisions qui correspondent à 1°, 2°, 3°, 4°, ... 9°, 10°, 15°, 20°, 30°, 40°, 50°, 60°, 70°.

L'intervalle à gauche de 1° est divisé en parties dont chacune vaut 5', de sorte que le premier trait à gauche,

après l'origine de la graduation, correspond à 35'.

Les intervalles 2° — 3°, 3° — 4°, 4° — 5° sont de même partagés en divisions dont chacune vaut 5'.

Les intervalles 5° — 6°, ... 9° — 10° sont partagés en divisions dont chacune vaut 40'; les intervalles 10° — 15° et 45° — 20° sont partagés en divisions dont chacune vaut 20'; l'intervalle 20° — 30° est partagé en divisions de 30'; les intervalles 30° — 40% 40° — 50°, 50° — 60° sont partagés en divisions dont chacune vaut 1°; l'intervalle 60° — 70° est partagé en divisions de 2°; enfin, trois traits après 70° permettent de lire 75°, 80° et 90°. Par la pensée, on peut fixer sur la règle, à vue, la place qu'occuperait un angle quelconque a inférieur à 90°.

Celte échelle a même longueur que les échelles de la règle; elle est construite de telle façon que, a et b étant deux angles aigus, la longueur de l intervalle a — b soit précisément la différence log sinb — log sin a, l'unité de longueur définie plus haut étant toujours conservée; en particulier, l'intervalle a — 90° a pour longueur — log sin a, puisque sin 90° = 1 ; celte échelle est dite échelle des sinus.

L'échelle du milieu de la face inférieure de la réglette, intitulée ï, est Yéchelle des tangentes. Elle est divisée comme l'échelle des sinus, mais la graduation ne va que jusqu'à 45°, et les intervalles 30° — 40°, 40° — 45° sont divisés en demi-degrés : elle a même longueur que l'échelle des sinus, et, si a et 6 sont deux angles inférieurs à 45°, la longueur de l'intervalle a — b est précisément la différence log tgb — log tga : en particulier, ï l'intervalle a — 45° a pour longueur — log tga, puisque tg 45° = 4 .

Enfin, l'échelle inférieure de la face inférieure de la coulisse, ou échelle des logarithmes, a encore même longueur que les précédentes; elle est divisée de droite à gauche en 500 parties égales; les traits numérotés 4,2,3,... correspondent aux nombres 0,4, 0,2, 0,3, ... et par suite les autres traits aux nombres 0,000, 0,002, 0,004, 0,006... 0,996,0,998,4,000.

Enfln, nous remarquerons que la réglette a une longueur

totale égale à celle de là règle, et que si on l'engageait dans la rainure en la retournant, et maintenant le boulon à droite de façon à faire coïncider ses extrémités avec celles de la règle, ce que rend impossible la présence du bouton, les extrémités des échelles des sinus, tangentes et logarithmes viendraient aussi en coïncidence avec les extrémités des échelles des nombres et des racines carrées. De plus, la différence des blancs qui restent à gauche du 4 de la règle et à gauche du 1 de la coulisse est égale au blanc qui reste à droite du 400 de la règle.

172. — La réglette peut être engagée dans la rainure de quatre façons différentes, suivant qu'elle présente à l'œil sa face supérieure ou inférieure et que le bouton est à droite ou à gauche : mais on n'emploie que les deux positions dans lesquelles se présente la face supérieure. Nous allons examiner successivement le parti que l'on peut tirer de la règle à calcul suivant que la réglette est engagée dans l'une ou l'autre de ces deux positions.

Première position. — La réglette présente sa face supérieure, le bouton est à droite. C'est la position normale de la réglette, celle que l'on emploie le plus souvent.

En tirant plus ou moins la coulisse, on fait varier sa position par rapport à la règle. Soit une position quelconque de la coulisse, a et a' deux nombres de l'échelle des nombres, b et b' les nombres correspondants de la coulisse :

a' l'intervalle a — a' est égal à log a' — log a = log - ;

b' l'intervalle b — b' est égal à log b' — log b = log «r- ;

mais ces deux intervalles sont égaux ; donc on a :

Ceci posé, soit à calculer un nombre x défini par l'égalité

on placera b de la coulisse sous a de l'échelle des nombres ; on lira x dans celte échelle au-dessus de b' sur la coulisse. Exemple. — Soii :

on trouve x = 5,50; le résultat exact est 5,4936...

Mais il est clair que l'opération décrite n'est pas toujours possible, car tous les nombres ne sont pas inscrits sur les échelles; quand elle ne Test pas, on peut la rendre possible de bien des façons; en voici une uniforme et toujours applicable. Par des déplacements convenables de virgules, on peut toujours écrire :

aM \ mrx a.b's 1

*=-ST xi0 " ou ^-if^W

b it b\ étant des nombres compris entre 1 et 10 qui se déduisent immédiatement de b,b', et a, étant un nombre compris entre 1 et 100 se déduisant de a, de façon que